第一章 高等代数多项式

高等代数高等代数HigherAlgebra湖南大学数学与计量经济学院多项式推荐教材：《高等代数简明教程》(上、下册)蓝以中著《高等代数》(上、下册)丘维声著《高等代数学》(第2版)姚慕生、吴泉水著推荐习题集：《高等代数精选题解》杨子胥著《高等代数中的典型问题与方法》李志慧、李永明著《高等代数题解精粹》钱吉林著多项式第一章多项式绪论与准备知识一、复数◆复数的概念◆复数的实部与虚部；模与幅角◆复数的三角 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示，欧拉公式◆代数基本定理准备知识二、数域的概念1、数的认识过程自然数整数有理数实数复数2、数的范围对问题的影响NZQRC多项式§1数环和数域§1数环和数域数是数学中的一个基本概念，人们对数的认识经历了一个长期的发展过程，由自然数到整数、有理数，然后是实数到复数。数学中的许多问题都和数的范围有关，数的范围不同，对同一问题的回答可能也不相同。例如在实数范围内没有根，但在复数域内就有一对共轭复根。在有理数范围内不能进行因式分解，但在实域内就可以分解。多项式§1数环和数域我们通常考虑的数的范围主要包括全体实数、全体有理数以及全体复数等，它们具有一些不同的性质，但也有很多共同的性质，在代数中经常将具有共同性质的对象统一进行讨论。一个数集中，数的加、减、乘、除运算称为数的代数运算。若数集P中任何两个数做某一运算后的结果仍然在这个数集P中，则称该数集P对这个运算是封闭的。 自然数集N对加、乘运算封闭，对减、除不封闭。 整数集Z对加、减、乘运算封闭，对除不封闭。 有理数集Q、实数集R、复数集C对加、减、乘、除(除数不为0)四种运算都封闭。多项式§1数环和数域根据数集对运算的封闭情况，可以得到两类数集：数环和数域。一、数环定义1：若P是由一些复数组成的非空集合，若数集P对加、减、乘三种运算都封闭，即对a，b∈P，总有a+b，a-b，a•b∈P，则称数集P是一个数环。例如：整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C都是数环。例1除了以上数环外，是否还有其他数环？有没有最小数环？例2一个数环是否一定包含0元？除零环外，是否还有只包含有限个元素的数环？多项式§1数环和数域例3证明是包含的最小数环。二、数域定义2：若P是由一些复数组成的集合，其中包含0和1，如果数集P对加、减、乘、除(除数不为0)四种运算都封闭，则称数集P是一个数域。定义3：若P是一个数环，如果①数集P内含有一个非零数②对a，b∈P，且b≠0，有a/b∈P，则称数集P是一个数域。例如：有理数集Q、实数集R、复数集C都是数域。多项式§1数环和数域例4证明是一个数域。例5设证明P2，P是一个数域，而且P是包含P1和P2的最小数域。例6证明任何数域都包含有理数域Q。例7在Q与R之间是否还有别的数域?R与C之间呢？例8设F1和F2是两个数域，证明：1）F1∩F2是一个数域；2）F1∪F2是数域的充分必要条件是F1⊆F2或F2⊆F1。多项式§2一元多项式的定义和运算§2一元多项式的定义和运算一、一元多项式的定义定义1：设x是一个文字(或符号)，n是一个非负整数，表达式其中a0，a1，…，an全属于数域P，称为系数在数域P中的一元多项式，或简称为数域P上的一元多项式。定义1在以下两方面推广了中学的多项式定义： 这里的x不再局限为实数，而是任意的文字或符号。 多项式中的系数可以在任意数域中。常数项，或称零次项称为首项，其中首项系数an≠0多项式§2一元多项式的定义和运算例如：是Q上的一元多项式。是R上的一元多项式。是C上的一元多项式。而定义2：如果在多项式f(x)与g(x)中，除去系数为零的项外，同次项的系数相等，那么就称多项式f(x)或g(x)相等，记为f(x)=g(x)多项式§2一元多项式的定义和运算定义3：设非负整数n称为多项式f(x)的次数，记为例如：几类特殊的多项式：零次多项式：次数为0的多项式，即非零常数。零多项式：系数全为0的多项式，即f(x)=0。对零多项式不定义次数，因此，在使用次数符号时，总假定f(x)≠0。首一多项式：首项系数为1的多项式。多项式§2一元多项式的定义和运算二、多项式的运算定义4：设是数域P上次数分别为n和m的多项式(不妨假设m≤n)，则多项式f(x)和g(x)的和，差为：当m<n时，设bm+1=…=bn=0。多项式f(x)和g(x)的乘积为：多项式§2一元多项式的定义和运算多项式的运算(加、减、乘)满足以下运算规律：加法交换律：f(x)+g(x)=g(x)+f(x)加法结合律：[f(x)+g(x)]+h(x)=f(x)+[g(x)+h(x)]乘法交换律：f(x)•g(x)=g(x)•f(x)乘法结合律：[f(x)•g(x)]•h(x)=f(x)•[g(x)•h(x)]乘法对加法的分配律：f(x)•[g(x)+h(x)]=f(x)•g(x)+f(x)•h(x)乘法对减法的分配律：f(x)•[g(x)-h(x)]=f(x)•g(x)-f(x)•h(x)多项式§2一元多项式的定义和运算三、多项式的次数定理定理1：设f(x)≠0，g(x)≠0，则①当f(x)±g(x)≠0时，有②多项式§2一元多项式的定义和运算推论1：f(x)•g(x)=0当且仅当f(x)=0或g(x)=0。由推论2可知，一元多项式满足乘法的消去律。推论2：若f(x)•g(x)=f(x)•h(x)，且f(x)≠0，则g(x)=h(x)。定义5：记P[x]={数域P上所有一元多项式全体}，由于P[x]对多项式的加、减、乘法封闭，故称P[x]为数域P上的一元多项式环。若记Pn[x]={数域P上所有次数小于n的一元多项式全体+零多项式}，那么Pn[x]是数域P上的一元多项式环吗？多项式§3整除的概念和性质§3整除的概念和性质一、带余除法例1用带余除法，求g(x)除f(x)所得的商式和余式，其中商式余式多项式§3整除的概念和性质二、多项式的整除性定义1：设f(x)，g(x)∈P[x]，若存在h(x)∈P[x]使得f(x)=g(x)h(x)则称g(x)整除f(x)，记为g(x)|f(x)。否则称g(x)不能整除f(x)，记为g(x)|f(x)。定义2：设f(x)，g(x)∈P[x]，当g(x)|f(x)时，g(x)称作f(x)的因式，f(x)称作g(x)的倍式。多项式§3整除的概念和性质当g(x)≠0时，带余除法给出了整除性的一个判别法。定理1：对任意的f(x)，g(x)∈P[x]，其中g(x)≠0，则g(x)|f(x)的充要条件是g(x)除f(x)的余式r(x)=0。例3设f(x)，g(x)，h(x)∈P[x]，其中h(x)≠0。证明：h(x)|(f(x)-g(x))当且仅当f(x)与g(x)除以h(x)所得的余式相等。多项式§3整除的概念和性质三、整除的性质性质1(a)对任意的f(x)∈P[x]，有f(x)|f(x)；(b)对任意的f(x)∈P[x]，有f(x)|0；(c)对任意的f(x)∈P[x]，a≠0，有a|f(x)；性质2对任意的f(x)，g(x)∈P[x]，若f(x)|g(x)，且g(x)|f(x)那么f(x)=cg(x)和g(x)=df(x)，其中c，d为非零常数。性质3对任意的f(x)，g(x)，h(x)∈P[x]，若f(x)|g(x)，且g(x)|h(x)，那么f(x)|h(x)。(整除的传递性)多项式§3整除的概念和性质性质4对任意的f(x)，g(x)，h(x)∈P[x]，若h(x)|f(x)，且h(x)|g(x)，那么h(x)|(f(x)±g(x))。性质5对任意的f(x)，gi(x)∈P[x]，i=1,2,…,r，若f(x)|gi(x)那么对任意的ui(x)∈P[x]，i=1,2,…,r，有f(x)|(u1(x)g1(x)+u2(x)g2(x)+…+ur(x)gr(x))性质7对任意的f(x)∈P[x]，c∈P且c≠0，有f(x)|cf(x)。称作多项式g1(x),g2(x),…,gr(x)的一个组合性质6对任意的f(x)，g(x)∈P[x]，若f(x)|g(x)，则对任意的h(x)∈P[x]，有f(x)|h(x)g(x)。多项式§3整除的概念和性质例4设g1(x)g2(x)|f1(x)f2(x)，1)证明：若f1(x)|g1(x)，f1(x)≠0，则g2(x)|f2(x)；2)若g1(x)|f1(x)，是否有g2(x)|f2(x)?多项式的根与因式分解会因数域的扩大而改变。问题：数域P上的多项式f(x)与g(x)的整除性是否会因为数域的扩大而改变？多项式§4最大公因式§4最大公因式一、两个多项式的最大公因式定义1：对任意的f(x)，g(x)∈P[x]，若存在h(x)∈P[x]，使得h(x)|f(x)，h(x)|g(x)，则称h(x)是f(x)和g(x)的一个公因式。定义2：对任意的f(x)，g(x)∈P[x]，d(x)是多项式f(x)和g(x)的一个公因式。若对f(x)和g(x)的任意一个公因式h(x)，都有h(x)|d(x)，则称d(x)是多项式f(x)和g(x)的最大公因式。多项式§4最大公因式所要考虑的问题：(1)任何两个多项式是否都有最大公因式？(存在性问题)(2)若存在最大公因式，如何求？(求法问题)(3)最大公因式是否唯一？(唯一性问题)引理1：对任意的f(x)，g(x)∈P[x]，若其带余除法为f(x)=q(x)g(x)+r(x)则两对多项式f(x)，g(x)和g(x)，r(x)有相同的公因式和最大公因式。由引理1知，求f(x)和g(x)的最大公因式可以转化为求g(x)和r(x)的最大公因式。多项式§4最大公因式定理1：对任意的f(x)，g(x)∈P[x]，存在最大公因式d(x)，而且d(x)可以表示为f(x)和g(x)的一个组合，即存在多项式u(x)，v(x)∈P[x]，使得d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)。定理1表明对任意的两个多项式都存在最大公因式d(x)，而且d(x)是这两个多项式的一个组合。由定理1的证明过程可以构造出求最大公因式的方法：辗转相除法。若对不全为零的多项式，用符号(f(x)，g(x))表示首项系数为1的最大公因式，那么(f(x)，g(x))是唯一确定的。多项式§4最大公因式例1设求(f(x)，g(x))，并求u(x)，v(x)使得(f(x)，g(x))=u(x)f(x)+v(x)g(x)。例2设g(x)≠0，h(x)为任意多项式。证明：(f(x)，g(x))=(f(x)-h(x)g(x)，g(x))二、两个多项式互素定义3：对任意的f(x)，g(x)∈P[x]，若(f(x)，g(x))=1，则称多项式f(x)和g(x)互素。显然f(x)和g(x)互素，那么它们的公因式只有零次多项式。反之，f(x)和g(x)的公因式只有零次多项式，则f(x)和g(x)互素。多项式§4最大公因式定理2：对任意的f(x)，g(x)∈P[x]，多项式f(x)和g(x)互素的充要条件是存在多项式u(x)，v(x)∈P[x]，使得u(x)f(x)+v(x)g(x)=1。性质1(f(x)，h(x))=1，(g(x)，h(x))=1，则(f(x)g(x)，h(x))=1多项式互素的性质性质2(f(x)，g(x))=1，f(x)|g(x)h(x)，则f(x)|h(x)性质3f1(x)|g(x)，f2(x)|g(x)，且(f1(x)，f2(x))=1，则f1(x)f2(x)|g(x)多项式§4最大公因式例3设f(x)，g(x)为两个次数大于零的多项式。证明：若(f(x)，g(x))=1，则存在多项式u(x)，v(x)满足u(x)f(x)+v(x)g(x)=1，其中并且满足这样条件的多项式u(x)，v(x)是唯一的。多项式§4最大公因式三、多个多项式的最大公因式定义4：设f1(x)，f2(x)，…，fs(x)∈P[x]，s≥2，若存在多项式h(x)∈P[x]，有h(x)|fi(x)，i=1，2，…，s，则称h(x)是多项式f1(x)，f2(x)，…，fs(x)的一个公因式。定义5：设f1(x)，f2(x)，…，fs(x)∈P[x]，s≥2，若多项式d(x)是多项式f1(x)，f2(x)，…，fs(x)的公因式，而且这组多项式的任意一个公因式都整除d(x)，则称多项式f1(x)，f2(x)，…，fs(x)的最大公因式。符号(f1(x)，f2(x)，…，fs(x))表示这组多项式的首一最大公因式。多项式§4最大公因式定理3：若f1(x)，f2(x)，…，fs-1(x)的最大公因式存在，则多项式f1(x)，…，fs-1(x)，fs(x)的最大公因式也存在，而且(f1(x)，…，fs-1(x)，fs(x))=((f1(x)，…，fs-1(x))，fs(x))进而存在多项式u1(x)，u2(x)，…，us(x)使得u1(x)f1(x)+…+us(x)fs(x)=(f1(x)，…，fs-1(x)，fs(x))多项式§4最大公因式定义6：设多项式f1(x)，f2(x)，…，fs(x)∈P[x]，s≥2，若(f1(x)，f2(x)，…，fs(x))=1，则称f1(x)，f2(x)，…，fs(x)互素。定义7：设多项式f1(x)，f2(x)，…，fs(x)∈P[x]，s≥2，若对i，j=1，2，…，s，i≠j，有(fi(x)，fj(x))=1，则称f1(x)，f2(x)，…，fs(x)两两互素。性质4：若f1(x)，f2(x)，…，fs(x)两两互素，则f1(x)，f2(x)，…，fs(x)互素，反之则不一定成立。多项式§5因式分解定理§5因式分解定理一、不可约多项式定义1：设p(x)是数域P上次数≥1的多项式，如果它不能表示成数域P上的两个次数比p(x)低的多项式的乘积，则称p(x)为数域P上的不可约多项式。否则，称为可约多项式。由定义可知： 一次多项式都是不可约多项式。 多项式的可约性与系数域有关。 对零多项式和零次多项式，不讨论它们的可约性。多项式§5因式分解定理不可约多项式的性质性质1若p(x)是不可约多项式，则只有c|p(x)和cp(x)|p(x),其中c∈P，且c≠0。性质2若p(x)是不可约多项式，则对任意的多项式f(x)，有p(x)|f(x)或者(p(x)，f(x))=1。性质3若p(x)是不可约多项式，且对任意两个多项式f(x),g(x)有p(x)|f(x)g(x)，则p(x)|f(x)或者p(x)|g(x)。推论1若p(x)是不可约多项式，且p(x)|f1(x)f2(x)…fs(x)，则对某个fi(x)，1≤i≤s，有p(x)|fi(x)。多项式§5因式分解定理例1设p(x)为数域P上的次数大于零的多项式。证明：若p(x)对任意多项式f(x)有p(x)|f(x)或(p(x)，f(x))=1，则p(x)是数域P上的不可约多项式。(性质2的逆命题)例2设p(x)为数域P上的次数大于零的多项式。若对任意两个多项式f(x)和g(x)，当p(x)|f(x)g(x)时必有p(x)|f(x)或者p(x)|g(x)。证明p(x)一定是数域P上的不可约多项式。(性质3的逆命题)二、因式分解定理定理1：数域P上任意一个次数≥1的多项式f(x)都可以分解成数域P上一些不可约多项式的乘积。(存在性定理)多项式§5因式分解定理定理2：数域P上任意一个次数≥1的多项式f(x)分解成数域P上一些不可约多项式的乘积f(x)=p1(x)p2(x)…pr(x)若不记零次多项式的差异和因式的排列次序，那么f(x)分解成不可约因式的乘积的分解式是唯一的。(唯一性定理)即若有两个分解式f(x)=p1(x)p2(x)…pr(x)=q1(x)q2(x)…qt(x)则有①r=t②适当调整qj(x)的位置后，有pi(x)=ciqi(x)i=1，2，…，r定理1和2在理论上有其重要性，但没有给出一个具体的分解方法。实际上，普遍可行的因式分解方法并不存在。多项式§5因式分解定理三、标准(典型)分解式多项式§5因式分解定理由标准分解式的定义可知 每个多项式的标准分解式是唯一的。 利用多项式的标准分解式可以判断一个多项式是否整除另一个多项式。(3)利用两个多项式的标准分解式，可以直接写出它们的最大公因式。虽然利用标准分解式可以很方便地写出最大公因式，但是标准分解式并不容易求得，因此求最大公因式的一般方法还是辗转相除法。多项式§5因式分解定理例3求在Q[x]，R[x]上的分解式。例4证明：多项式f(x)与g(x)互素的充要条件是对任意的正整数n，fn(x)和gn(x)都互素。例5设f(x)与g(x)为两个不全为零的多项式，n是任意整数证明：(f(x)，g(x))n=(fn(x)，gn(x))多项式§6重因式§6重因式定义1不可约多项式p(x)称为f(x)的k重因式，如果pk(x)|f(x)而pk+1|f(x)。当k=1时，p(x)称为f(x)的单因式。当k>1时，p(x)称为f(x)的重因式。多项式§6重因式定义2多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的一阶导数f'(x)是比f(x)低一次的多项式f'(x)=annxn-1+an-1(n-1)xn-2+…+a1一阶导数f'(x)的导数称为f(x)的二阶导数，记为f''(x)。f''(x)的导数称为f(x)的三阶导数，记为f'''(x)。f(x)的k阶导数记为f(k)(x)。一个n次多项式的导数是一个n-1次多项式，它的n阶导数就是一个常数，它的n+1阶导数就是零。多项式§6重因式多项式的基本求导法则：1)(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)2)(cf(x))'=cf'(x)3)(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)4)(fm(x))'=mfm-1(x)f'(x)定理1若不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式(k>1)，则p(x)是f'(x)的k-1重因式。推论1若不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式(k≥1)，则p(x)是f(x)，f'(x)，…，f(k-1)(x)的因式，但不是f(k)(x)的因式。多项式§6重因式推论2不可约多项式p(x)是f(x)的重因式的当且仅当p(x)是f(x)与f'(x)的公因式。推论3多项式f(x)无重因式的充要条件是f(x)与f'(x)互素。多项式§7多项式函数§7多项式函数一、多项式函数的定义定义1设f(x)∈P[x]，对任意的x∈P，作映射f：x→f(x)∈P映射f确定了数域P上的一个函数f(x)，f(x)称为P上的多项式函数。定义2设f(x)∈P[x]，对任意的c∈P，数f(c)=ancn+an-1cn-1+…+a0称为当x=c时多项式函数f(x)的值，若f(c)=0，则称c为f(x)在数域P中的根或零点。多项式§7多项式函数二、余数定理和综合除法定理1(余数定理)用一次多项式x-c去除多项式f(x)，所得的余式就是一个常数，即这个多项式在x=c时的值f(c)。问题：有没有更简单的方法确定带余除法f(x)=q(x)(x-c)+r利用综合除法求q(x)与r时应注意： 多项式系数按降幂排列，有缺项必须补上零 除式x+b应变为x-(-b)多项式§7多项式函数例1求用x+2除f(x)=x5+x3+2x2+8x-5的商和余式。例3每个多项式f(x)都可以唯一表示为x-x0的方幂和，即c0+c1(x-x0)+c2(x-x0)2+…+cn(x-xn)n的形式，其中c0，c1，…，cn为常数。例4把f(x)=x5+x3+2x2+8x-5表示为x+2的方幂和。例2设f(x)=x4+2x3-3x2+4x-5，求f(1+i)。多项式§7多项式函数定理2(因式定理)(x-c)是多项式f(x)的一个因式的充要条件是f(c)=0。例5当a，b是什么数时，f(x)能被g(x)整除？其中f(x)=x4-3x3+6x2+ax+b，g(x)=x2-1。三、多项式的根定义3若x-c是f(x)的k重因式，则称c是f(x)的一个k重根。当k=1时，c称为f(x)的一个单根。多项式§7多项式函数定理3(根的个数定理)P[x]中的n次多项式(n≥0)在数域P中的根至多有n个，重根按重数计算。定理4设f(x)，g(x)∈P[x]，它们的次数都不超过n。若在P中有n+1个不同的数使得f(x)与g(x)的值相等。问题：设a1，a2，…，an是P中n个不同的数，b1，b2，…，bn是P中n个任意的数，能否确定一个n-1次多项式f(x)，使得f(ai)=bi，i=1，2，…，n多项式§7多项式函数四、多项式相等与多项式函数相等的关系1、多项式相等，即f(x)=g(x)⇔对应项的系数相等。2、多项式函数相等，即f(x)=g(x)⇔∀c∈P有f(c)=g(c)。定理5P[x]中两个多项式f(x)和g(x)相等的充要条件是它们在P上定义的多项式函数相等。多项式§8复系数与实系数多项式§8复系数与实系数多项式问题：对于P[x]中的多项式多项式f(x)，它在数域P上未必有根，但在复数域C上是否有根?定理1(代数基本定理)每个次数≧1的复系数多项式在复数域中有一个根。定理2每个次数≧1的复系数多项式在复数域中一定有一个一次因式。一、复系数多项式多项式§8复系数与实系数多项式定理3任何次数≧1的复系数多项式在复数域中有n个根(重根按重数计算)。推论1复数域上任何次数≧1的多项式都是可约的，即复数域上，不可约多项式只能是一次多项式。推论2任何一个次数≧1的复系数多项式在复数域上都能分解为一次因式的乘积，在适当排序后，这个分解是唯一的。多项式§8复系数与实系数多项式一般的复系数多项式在复数域上的根与系数的关系。设f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=a0(x-α1)(x-α2)…(x-αn)则a1/a0=-(α1+α2+…+αn)a2/a0=(α1α2+α1α3+…+α1αn+…+αn-1αn)………an/a0=(-1)nα1α2…αn例1求一个首项系数为1的4次多项式，使它以1和4为单根，-2为2重根。多项式§8复系数与实系数多项式二、实系数多项式定理4如果α是实系数多项式f(x)的一个复根，则α的共轭复数ã也是f(x)的根，而且α与ã有相同的重数。定理5任何次数≧1的实系数多项式在实数域上都可唯一分解为一次因式与二次因式的乘积。推论3R[x]中不可约多项式除一次多项式外，只含有非实共轭复根的二次不可约多项式。多项式§8复系数与实系数多项式推论4实系数多项式在实数域上的标准分解式F(x)=a0(x-c1)l1…(x-cs)ls(x2+p1x+q1)k1…(x2+prx+qr)kr其中c1…cs,p1…pr,q1…qr全为实数，l1…ls,k1…kr全为正整数，并且x2+pi+qi在实数域上是不可约的，即pi2-4qi<0例2已知实系数多项式x3+2x2+qx+r=0有一根是试求q，r，并求该方程的解。例3求多项式xn-1在复数域和实数域上的因式分解。多项式§9有理系数多项式§9有理系数多项式一、整系数多项式的可约性定义1(本原多项式)若非零整系数多项式f(x)的系数互素，则称f(x)是一个本原多项式。定理1(高斯引理)两个本原多项式的乘积仍是本原多项式。定理2一个非零整系数多项式f(x)在有理数域上可约的充要条件是它在整数环上可约。多项式§9有理系数多项式推论1设f(x)，g(x)是整系数多项式，且g(x)是本原的，如果f(x)=g(x)h(x)，其中h(x)是有理系数多项式，则h(x)一定是整系数多项式。例1设f(x)，g(x)是整系数多项式，若f(x)=g(x)h(x)，则h(x)是否一定是整系数多项式。例2设f(x)，g(x)是本原多项式，且g(x)整除f(x)，证明：f(x)除以g(x)的商也是本原多项式。多项式§9有理系数多项式问题：有理数域Q上的不可约多项式有什么特征？定理3(Eisenstein定理)设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0是一个整系数多项式，若存在素数p使得1、p|an2、p|an-1，an-2，…，a03、p2|a0则f(x)在有理数域上是不可约的。例3证明多项式f(x)=xn+3在有理数域上是不可约的。多项式§9有理系数多项式例4判断多项式f(x)=x6-10x3+2，g(x)=5x4-6x3+12x+6在有理数域上是否可约？例5设f(x)是有理数域上的多项式。证明：f(x)在有理数域是不可约的当且仅当存在有理数a≠0，b，使得多项式g(x)=f(ax+b)在有理数域上不可约。例6判断多项式x4+4kx+1(k为整数)在Q上是否可约。多项式§9有理系数多项式二、整系数多项式的有理根定理4设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0是一个整系数多项式，若有理数r/s是它的一个有理根，其中r，s互素，那么必有s|an，s|a0，特别地，如果f(x)的首项系数an=1，那么f(x)的有理根是整数，而且是a0的因子。例7求方程2x4-x3+2x-3=0的有理根。例8证明f(x)=x3-5x+1在Q上是不可约。