2014年安徽省高考数学试卷及解析（理科）

2014年安徽省高考数学试卷（理科）　一、选择 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ：本大题共10小题，每小题5分，共50分、在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的、1、（5分）设i是虚数单位， 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示复数z的共轭复数、若z=1+i，则+i•=（　　）A、﹣2B、﹣2iC、2D、2i2、（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（　　）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件3、（5分）如图所示，程序框图（算法 流程 快递问题件怎么处理流程河南自建厂房流程下载关于规范招聘需求审批流程制作流程表下载邮件下载流程设计 图）的输出结果是（　　）A、34B、55C、78D、894、（5分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位、已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为（　　）A、B、2C、D、25、（5分）x，y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（　　）A、或﹣1B、2或C、2或﹣1D、2或16、（5分）设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx、当0≤x＜π时，f（x）=0，则f（）=（　　）A、B、C、0D、﹣7、（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（　　）A、21+B、18+C、21D、188、（5分）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对、其中所成的角为60°的共有（　　）A、24对B、30对C、48对D、60对9、（5分）若函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为（　　）A、5或8B、﹣1或5C、﹣1或﹣4D、﹣4或810、（5分）在平面直角坐标系xOy中、已知向量、，||=||=1，•=0，点Q满足=（+），曲线C={P|=cosθ+sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤||≤R，r＜R}、若C∩Ω为两段分离的曲线，则（　　）A、1＜r＜R＜3B、1＜r＜3≤RC、r≤1＜R＜3D、1＜r＜3＜R　二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分、把答案填在答题卡相应位置、11、（5分）若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是　　、12、（5分）数列{an}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q=　　、13、（5分）设a≠0，n是大于1的自然数，（1+）n的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn、若点Ai（i，ai）（i=0，1，2）的位置如图所示，则a=　　、14、（5分）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若|AF1|=3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为　　、15、（5分）已知两个不相等的非零向量，，两组向量，，，，和，，，，均由2个和3个排列而成，记S=•+•+•+•+•，Smin表示S所有可能取值中的最小值、则下列命题正确的是　　（写出所有正确命题的编号）、①S有5个不同的值；②若⊥，则Smin与||无关；③若∥，则Smin与||无关；④若||＞4||，则Smin＞0；⑤若||=2||，Smin=8||2，则与的夹角为、　三、解答题：本大题共6小题，共75分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、解答早答题卡上的指定区域、16、（12分）设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且b=3，c=1，A=2B、（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求sin（A+）的值、17、（12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛、假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立、（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）、18、（12分）设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x2﹣x3，其中a＞0、（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；（Ⅱ）当x∈[0，1]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值、19、（13分）如图，已知两条抛物线E1：y2=2p1x（p1＞0）和E2：y2=2p2x（p2＞0），过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1、A2两点，l2与E1、E2分别交于B1、B2两点、（Ⅰ）证明：A1B1∥A2B2；（Ⅱ）过O作直线l（异于l1，l2）与E1、E2分别交于C1、C2两点、记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值、20、（13分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=2BC，过A1、C、D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q、（Ⅰ）证明：Q为BB1的中点；（Ⅱ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；（Ⅲ）若AA1=4，CD=2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小、21、（13分）设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*、（Ⅰ）证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）p＞1+px；（Ⅱ）数列{an}满足a1＞，an+1=an+an1﹣p、证明：an＞an+1＞、　参考答案与 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分、在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的、1、（5分）设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数、若z=1+i，则+i•=（　　）A、﹣2B、﹣2iC、2D、2i分析：把z及代入+i•，然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值、解答：解：∵z=1+i，∴，∴+i•==、故选：C、点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题、　2、（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（　　）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件分析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论、解答：解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件、故选：B、点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础、　3、（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（　　）A、34B、55C、78D、89分析：写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件，退出循环，输出z的值、解答：解：第一次循环得z=2，x=1，y=2；第二次循环得z=3，x=2，y=3；第三次循环得z=5，x=3，y=5；第四次循环得z=8，x=5，y=8；第五次循环得z=13，x=8，y=13；第六次循环得z=21，x=13，y=21；第七次循环得z=34，x=21，y=34；第八次循环得z=55，x=34，y=55；退出循环，输出55，故选：B、点评：本题考查程序框图中的循环结构，常用的方法是写出前几次循环的结果找规律，属于一道基础题、　4、（5分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位、已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为（　　）A、B、2C、D、2分析：先求出直线和圆的直角坐标方程，求出半径和弦心距，再利用弦长 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 求得弦长、解答：解：直线l的参数方程是（t为参数），化为普通方程为x﹣y﹣4=0；圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，化为直角坐标方程为x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4，表示以（2，0）为圆心、半径r等于2的圆、弦心距d==＜r，∴弦长为2=2=2，故选：D、点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题、　5、（5分）x，y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（　　）A、或﹣1B、2或C、2或﹣1D、2或1分析：由题意作出已知条件的平面区域，将z=y﹣ax化为y=ax+z，z相当于直线y=ax+z的纵截距，由几何意义可得、解答：解：由题意作出约束条件，平面区域，将z=y﹣ax化为y=ax+z，z相当于直线y=ax+z的纵截距，由题意可得，y=ax+z与y=2x+2或与y=2﹣x平行，故a=2或﹣1；故选：C、点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，注意目标函数的几何意义是解题的关键之一，属于中档题、　6、（5分）设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx、当0≤x＜π时，f（x）=0，则f（）=（　　）A、B、C、0D、﹣分析：利用已知条件，逐步求解表达式的值即可、解答：解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx、当0≤x＜π时，f（x）=0，∴f（）=f（）=f（）+sin=f（）+sin+sin=f（）+sin+sin+sin=sin+sin+sin==、故选：A、点评：本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，考查计算能力、　7、（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（　　）A、21+B、18+C、21D、18分析：判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的表面积、解答：解：由三视图可知，几何体是正方体的棱长为2，截去两个正三棱锥，侧棱互相垂直，侧棱长为1，几何体的表面积为：S正方体﹣2S棱锥侧+2S棱锥底==21+、故选：A、点评：本题考查三视图求解几何体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状、　8、（5分）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对、其中所成的角为60°的共有（　　）A、24对B、30对C、48对D、60对分析：利用正方体的面对角线形成的对数，减去不满足题意的对数即可得到结果、解答：解：正方体的面对角线共有12条，两条为一对，共有=66条，同一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满足题意，一组平行平面共有6对不满足题意的直线对数，不满足题意的共有：3×6=18、从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对、其中所成的角为60°的共有：66﹣18=48、故选：C、点评：本题考查排列组合的综合应用，逆向思维是解题本题的关键、　9、（5分）若函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为（　　）A、5或8B、﹣1或5C、﹣1或﹣4D、﹣4或8分析：分类讨论，利用f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，建立方程，即可求出实数a的值、解答：解：＜﹣1时，x＜﹣，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞﹣1；﹣≤x≤﹣1，f（x）=﹣x﹣1+2x+a=x+a﹣1≥﹣1；x＞﹣1，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞a﹣2，∴﹣1=3或a﹣2=3，∴a=8或a=5，a=5时，﹣1＜a﹣2，故舍去；≥﹣1时，x＜﹣1，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞2﹣a；﹣1≤x≤﹣，f（x）=x+1﹣2x﹣a=﹣x﹣a+1≥﹣+1；x＞﹣，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞﹣+1，∴2﹣a=3或﹣+1=3，∴a=﹣1或a=﹣4，a=﹣1时，﹣+1＜2﹣a，故舍去；综上，a=﹣4或8、故选：D、点评：本题主要考查了函数的值域问题、解题过程采用了分类讨论的思想，属于中档题、　10、（5分）在平面直角坐标系xOy中、已知向量、，||=||=1，•=0，点Q满足=（+），曲线C={P|=cosθ+sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤||≤R，r＜R}、若C∩Ω为两段分离的曲线，则（　　）A、1＜r＜R＜3B、1＜r＜3≤RC、r≤1＜R＜3D、1＜r＜3＜R分析：不妨令=（1，0），=（0，1），则P点的轨迹为单位圆，Ω={P|（0＜r≤||≤R，r＜R}表示的平面区域为：以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环，若C∩Ω为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，进而根据圆圆相交的充要条件得到答案、解答：解：∵平面直角坐标系xOy中、已知向量、，||=||=1，•=0，不妨令=（1，0），=（0，1），则=（+）=（，），=cosθ+sinθ=（cosθ，sinθ），故P点的轨迹为单位圆，Ω={P|（0＜r≤||≤R，r＜R}表示的平面区域为：以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环，若C∩Ω为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，故|OQ|﹣1＜r＜R＜|OQ|+1，∵|OQ|=2，故1＜r＜R＜3，故选：A、点评：本题考查的知识点是向量在几何中的应用，其中根据已知分析出P的轨迹及Ω={P|（0＜r≤||≤R，r＜R}表示的平面区域，是解答的关键、　二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分、把答案填在答题卡相应位置、11、（5分）若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是　　、分析：根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式为y=sin（2x+﹣2φ），再根据所得图象关于y轴对称可得﹣2φ=kπ+，k∈z，由此求得φ的最小正值、解答：解：将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣φ）+]=sin（2x+﹣2φ）关于y轴对称，则﹣2φ=kπ+，k∈z，即φ=﹣﹣，故φ的最小正值为，故答案为：、点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题、　12、（5分）数列{an}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q=　1　、分析：设出等差数列的公差，由a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列列式求出公差，则由化简得答案、解答：解：设等差数列{an}的公差为d，由a1+1，a3+3，a5+5构成等比数列，得：，整理得：，即+5a1+a1+4d、化简得：（d+1）2=0，即d=﹣1、∴q==、故答案为：1、点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题、　13、（5分）设a≠0，n是大于1的自然数，（1+）n的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn、若点Ai（i，ai）（i=0，1，2）的位置如图所示，则a=　3　、分析：求出（1+）n的展开式的通项为，由图知，a0=1，a1=3，a2=4，列出方程组，求出a的值、解答：解：（1+）n的展开式的通项为，由图知，a0=1，a1=3，a2=4，∴，，，，a2﹣3a=0，解得a=3，故答案为：3、点评：本题考查解决二项式的特定项问题，关键是求出展开式的通项，属于一道中档题、　14、（5分）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若|AF1|=3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为　x2+=1　、分析：求出B（﹣c，﹣b2），代入椭圆方程，结合1=b2+c2，即可求出椭圆的方程、解答：解：由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），AF2⊥x轴，∴|AF2|=b2，∴A点坐标为（c，b2），设B（x，y），则∵|AF1|=3|F1B|，∴（﹣c﹣c，﹣b2）=3（x+c，y）∴B（﹣c，﹣b2），代入椭圆方程可得，∵1=b2+c2，∴b2=，c2=，∴x2+=1、故答案为：x2+=1、点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题、　15、（5分）已知两个不相等的非零向量，，两组向量，，，，和，，，，均由2个和3个排列而成，记S=•+•+•+•+•，Smin表示S所有可能取值中的最小值、则下列命题正确的是　②④　（写出所有正确命题的编号）、①S有5个不同的值；②若⊥，则Smin与||无关；③若∥，则Smin与||无关；④若||＞4||，则Smin＞0；⑤若||=2||，Smin=8||2，则与的夹角为、分析：依题意，可求得S有3种结果：S1=++++，S2=+•+•++，S3=•+•+•+•+，可判断①错误；进一步分析有S1﹣S2=S2﹣S3=+﹣2•≥+﹣2||•||=≥0，即S中最小为S3；再对②③④⑤逐一分析即可得答案、解答：解：∵xi，yi（i=1，2，3，4，5）均由2个和3个排列而成，∴S=xiyi可能情况有三种：①S=2+3；②S=+2•+2；③S=4•+、S有3种结果：S1=++++，S2=+•+•++，S3=•+•+•+•+，故①错误；∵S1﹣S2=S2﹣S3=+﹣2•≥+﹣2||•||=≥0，∴S中最小为S3；若⊥，则Smin=S3=，与||无关，故②正确；③若∥，则Smin=S3=4•+，与||有关，故③错误；④若||＞4||，则Smin=S3=4||•||cosθ+＞﹣4||•||+＞﹣+=0，故④正确；⑤若||=2||，Smin=S3=8||2cosθ+4=8，∴2cosθ=1，∴θ=，即与的夹角为、综上所述，命题正确的是②④，故答案为：②④、点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的数量积的综合应用，考查推理、分析与运算的综合应用，属于难题、　三、解答题：本大题共6小题，共75分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、解答早答题卡上的指定区域、16、（12分）设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且b=3，c=1，A=2B、（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求sin（A+）的值、分析：（Ⅰ）利用正弦定理，可得a=6cosB，再利用余弦定理，即可求a的值；（Ⅱ）求出sinA，cosA，即可求sin（A+）的值、解答：解：（Ⅰ）∵A=2B，，b=3，∴a=6cosB，∴a=6，∴a=2；（Ⅱ）∵a=6cosB，∴cosB=，∴sinB=，∴sinA=sin2B=，cosA=cos2B=2cos2B﹣1=﹣，∴sin（A+）=（sinA+cosA）=、点评：本题考查余弦定理、考查正弦定理，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于中档题、　17、（12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛、假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立、（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）、分析：（1）根据概率的乘法公式，求出对应的概率，即可得到结论、（2）利用离散型随机变量分别求出对应的概率，即可求X的分布列；以及均值、解答：解：用A表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛的是事件，Ak表示第k局甲获胜，Bk表示第k局乙获胜，则P（Ak）=，P（Bk）=，k=1，2，3，4，5（Ⅰ）P（A）=P（A1A2）+P（B1A2A3）+P（A1B2A3A4）=（）2+×（）2+××（）2=、（Ⅱ）X的可能取值为2，3，4，5、P（X=2）=P（A1A2）+P（B1B2）=，P（X=3）=P（B1A2A3）+P（A1B2B3）=，P（X=4）=P（A1B2A3A4）+P（B1A2B3B4）=，P（X=5）=P（A1B2A3B4A5）+P（B1A2B3A4B5）+P（B1A2B3A4A5）+P（A1B2A3B4B5）==，或者P（X=5）=1﹣P（X=2）﹣P（X=3）﹣P（X=4）=，故分布列为：X2345PE（X）=2×+3×+4×+5×=、点评：本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力、　18、（12分）设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x2﹣x3，其中a＞0、（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；（Ⅱ）当x∈[0，1]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值、分析：（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性即可；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，讨论两根与1的大小关系，判断函数在[0，1]时的单调性，得出取最值时的x的取值、解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1+a﹣2x﹣3x2，由f′（x）=0，得x1=，x2=，x1＜x2，∴由f′（x）＜0得x＜，x＞；由f′（x）＞0得＜x＜；故f（x）在（﹣∞，）和（，+∞）单调递减，在（，）上单调递增；（Ⅱ）∵a＞0，∴x1＜0，x2＞0，∵x∈[0，1]，当时，即a≥4①当a≥4时，x2≥1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，1]上单调递增，∴f（x）在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值、②当0＜a＜4时，x2＜1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，x2]单调递增，在[x2，1]上单调递减，因此f（x）在x=x2=处取得最大值，又f（0）=1，f（1）=a，∴当0＜a＜1时，f（x）在x=1处取得最小值；当a=1时，f（x）在x=0和x=1处取得最小值；当1＜a＜4时，f（x）在x=0处取得最小值、点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值的知识，考查学生分类讨论思想的运用能力，属中档题、　19、（13分）如图，已知两条抛物线E1：y2=2p1x（p1＞0）和E2：y2=2p2x（p2＞0），过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1、A2两点，l2与E1、E2分别交于B1、B2两点、（Ⅰ）证明：A1B1∥A2B2；（Ⅱ）过O作直线l（异于l1，l2）与E1、E2分别交于C1、C2两点、记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值、分析：（Ⅰ）由题意设出直线l1和l2的方程，然后分别和两抛物线联立求得交点坐标，得到的坐标，然后由向量共线得答案；（Ⅱ）结合（Ⅰ）可知△A1B1C1与△A2B2C2的三边平行，进一步得到两三角形相似，由相似三角形的面积比等于相似比的平方得答案、解答：（Ⅰ）证明：由题意可知，l1和l2的斜率存在且不为0，设l1：y=k1x，l2：y=k2x、联立，解得、联立，解得、联立，解得、联立，解得、∴，、，∴A1B1∥A2B2；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知A1B1∥A2B2，同（Ⅰ）可证B1C1∥B2C2，A1C1∥A2C2、∴△A1B1C1∽△A2B2C2，因此，又，∴、故、点评：本题是直线与圆锥曲线的综合题，考查了向量共线的坐标表示，训练了三角形的相似比与面积比的关系，考查了学生的计算能力，是压轴题、　20、（13分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=2BC，过A1、C、D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q、（Ⅰ）证明：Q为BB1的中点；（Ⅱ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；（Ⅲ）若AA1=4，CD=2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小、分析：（Ⅰ）证明平面QBC∥平面A1D1DA，可得△QBC∽△A1AD，即可证明Q为BB1的中点；（Ⅱ）设BC=a，则AD=2a，则==，VQ﹣ABCD==ahd，利用V棱柱=ahd，即可求出此四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积之比；（Ⅲ）△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A1E，则DE⊥平面AEA1，DE⊥A1E，可得∠AEA1为平面α与底面ABCD所成二面角，求出S△ADC=4，AE=4，可得tan∠AEA1==1，即可求平面α与底面ABCD所成二面角的大小、解答：（Ⅰ）证明：∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，∴平面QBC∥平面A1D1DA，∴平面A1CD与面QBC、平面A1D1DA的交线平行，∴QC∥A1D∴△QBC∽△A1AD，∴=，∴Q为BB1的中点；（Ⅱ）解：连接QA，QD，设AA1=h，梯形ABCD的高为d，四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积为V1，V2，设BC=a，则AD=2a，∴==，VQ﹣ABCD==ahd，∴V2=，∵V棱柱=ahd，∴V1=ahd，∴四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积之比；（Ⅲ）解：在△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A1E，则DE⊥平面AEA1，∴DE⊥A1E，∴∠AEA1为平面α与底面ABCD所成二面角的平面角，∵BC∥AD，AD=2BC，∴S△ADC=2S△ABC，∵梯形ABCD的面积为6，DC=2，∴S△ADC=4，AE=4，∴tan∠AEA1==1，∴∠AEA1=，∴平面α与底面ABCD所成二面角的大小为、点评：本题考查面面平行的性质，考查体积的计算，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题、　21、（13分）设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*、（Ⅰ）证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）p＞1+px；（Ⅱ）数列{an}满足a1＞，an+1=an+an1﹣p、证明：an＞an+1＞、分析：第（Ⅰ）问中，可构造函数f（x）=（1+x）p﹣（1+px），求导数后利用函数的单调性求解；对第（Ⅱ）问，从an+1着手，由an+1=an+an1﹣p，将求证式进行等价转化后即可解决，用相同的方式将an＞an+1进行转换，设法利用已证结论证明、解答：证明：（Ⅰ）令f（x）=（1+x）p﹣（1+px），则f′（x）=p（1+x）p﹣1﹣p=p[（1+x）p﹣1﹣1]、①当﹣1＜x＜0时，0＜1+x＜1，由p＞1知p﹣1＞0，∴（1+x）p﹣1＜（1+x）0=1，∴（1+x）p﹣1﹣1＜0，即f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣1，0]上为减函数，∴f（x）＞f（0）=（1+0）p﹣（1+p×0）=0，即（1+x）p﹣（1+px）＞0，∴（1+x）p＞1+px、②当x＞0时，有1+x＞1，得（1+x）p﹣1＞（1+x）0=1，∴f′（x）＞0，∴f（x）在[0，+∞）上为增函数，∴f（x）＞f（0）=0，∴（1+x）p＞1+px、综合①、②知，当x＞﹣1且x≠0时，都有（1+x）p＞1+px，得证、（Ⅱ）先证an+1＞、∵an+1=an+an1﹣p，∴只需证an+an1﹣p＞，将写成p﹣1个相加，上式左边=，当且仅当，即时，上式取“=”号，当n=1时，由题设知，∴上式“=”号不成立，∴an+an1﹣p＞，即an+1＞、再证an＞an+1、只需证an＞an+an1﹣p，化简、整理得anp＞c，只需证an＞c、由前知an+1＞成立，即从数列{an}的第2项开始成立，又n=1时，由题设知成立，∴对n∈N*成立，∴an＞an+1、综上知，an＞an+1＞，原不等式得证　24/24