LectureNotesfor04116~04118#12006/9/18序论通信的目的是传输信息。我们所要学的是以电的方式存在的信息的传输问题，传输的方式一般也是以电的方式（其原理也可能被扩展到其他地方）。信息的表现形式之一是麦克风、录像设备、测量设备等输出的电信号，这些信号的数学模型是电压（或电流等）随时间的函数。一般来说，它的定义域是连续的时间轴（而不是只定义在某些时间点上）、取值域是一个连续的电压区间（而不是离散点集）。这样的信号叫做模拟信号，它在模仿一些物理量（声波、图像等）的变化。信息的表现形式之二是存在于电脑中的文本信息或二进制比特信息，或者是经过数字化了的模拟信号。数字化是借助采样和量化（类似于四舍五入）将模拟信号重新进行表达。这类信息是数字信息，其存在形式（信号）的数学模型也是时间的函数，只不过定义域是离散的时间点（定义域不是连续点集），取值域一般是元素个数有限的点集，这样的信号叫数字信号，因为它实际上就是一串数值。虽然具体到某个电路板上的数字信号仍然是存在于连续时间上的（比如TTL电路中的数字逻辑信号），但我们对他所做的模型还是离散序列，因为特征完全在这个序列里。所谓特征就是指我们真正想要的那些东西，比如对于一个TTL的数字信号，我们真正在意的只是那些bit值。很明显，通信系统的运行至少要包括发送方和接收方这样两个实体。因为发送方和接收方在空间上不在一处（依具体应用之不同，距离可能丛几米到数万公里，如无线鼠标、火星探测），所以我们就必须要想出一些办法来完成信息的传输。本课要学的就是这些办法中的最基本的一些。隔离发送方和接收方的也有可能是时间（比如存储音乐以便以后再听）。通信的基本原理是，发送方设法把要传的信息加载到一些适当的信号．．．．．上，这些信号到达接收方后由接收方解读出发送方想要告诉他的信息。不管具体应用情景是什么，在我们的模型中，发送的信号是经由信道到达接收方的。信道泛指从发送信号到接收信号的一切过程。经过信道到达接收方的接收信号（接收者观察到的信号）很有可能和发送信号有区别，例如可能变弱、可能有失真、可能被干扰。因为这些原因，所以才有前面提到的“适当的信号”一说，不适当的发送信号将无法达到我们的目的。无论何种通信系统，我们都一般性地建模为图1.1。其中信源是欲传送信息的来源，信宿是这些信息的目的地。编码泛指发送者将信息映射为适当的发送信号的行为，译码泛指接收者依据观察到的信号识别出发送信息的行为。我们将在后续的学习中逐渐认识这些概念。1/1欢迎访问慧易升考研网http://www.eduhys.com下载更多北邮通信考研复习
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LectureNotesfor04116~04118#22006/9/18确定信号分析一信号我们用st()之类的记号来表示信号，这个记号表明电压s是t的函数。s(100)的意思就是在100s时刻测量得到的s值。如果任意给定一个时间，我们能够做到无需观察，只要借助某种法则就可以断言出s的值，它就是确定信号。而在观察之前不可能精确预知的就是⎛⎞π随机信号。比如对于正弦波st()=cos⎜πt+⎟，无需等到100s时刻去测量，我们就能借⎝⎠4助计算器说出彼时的电压一定是0.707V。如同复数za=+jb其实就是指一对实数(ab,)一样，复信号z(t)也是指一对实信号{at(),b()t}：z()ta=+()tjb(t)。复数表示二维平面上的一个向量，复信号只不过是说这个复数是时间的函数，因此复信号表示时变的向量。ej2πft是一个复信号。从二维图示来说，它是一个幅度为1的向量在按逆时针方向旋转。转速f称作它的频率，频率的单位是周/秒，为纪念赫兹，又被命名为赫兹（Hz）。逆时针旋转称为正频率，顺时针旋转称为负频率。二信号是由一些基本元素按比例组合而成的如同物质由分子、原子构成一般。任意实或复的信号st()也是由一些基本元素组合而11成的。这个基本元素就是复单频信号ej2πft。例如：cos2πft=+ejf22πte−jπft，22ππ11−jjsin2πft=e2ejf()2πt++e2e−j2πft。下面将说明，周期信号以及任意信号也是如此。221.傅氏级数展开若存在T>0使得st()=st(+T)，则st()是周期信号。所有符合此条件的T中最小的叫最小周期，简称周期。最小周期为T的周期信号st()明显是一些复单频信号的组合，傅立叶级数揭示了这种结构：∞nj2πfnt，st()=∑cnefn=n=−∞T其中T21−jf2πmtcsm=()tedt(1)T∫−T2注：在本课的讨论范围内，除非特殊情况，我们一般不用对所需要的一些数学条件特别注重。因为物理信号一般都满足这些条件。2.傅氏变换任意信号st(),−∞
0：s()atedt==e⎝⎠d()atS⎜⎟∫∫−∞−∞aa⎝⎠a⎛⎞f∞∞τ=−at−−j2πτ⎜⎟−jf2πt11⎝⎠a⎛⎞f而sa()−=tedts()ττed=S⎜⎟−∫∫−∞−∞aa⎝⎠a特别地：st()−↔S(−f)。3.时移st()−↔τS(f)e−j2πfτjf2π0t4.频移st()(e=−Sff0)5.共轭st*()↔S*(−f)∞∞*st*2()e−jfπtdt=⎡⎤s()te−−jf2π()tdt=−S*()f∫∫−∞⎣⎦⎢⎥−∞对于实信号：Sf*()−=S(f)（共轭对称）（更多性质见教材及信号与系统教材）4/4LectureNotesfor04116~04118#32006/9/21确定信号分析（续）一傅氏变换的性质∞∞1.Parserval定理s**()ts()tdt=S(f)S(f)df∫∫−∞12−∞12∞∞∞*∞s*2()ts(t)dt=⎡⎤S(f)ejfππtdf⎡S(u)ej2utdu⎤dt∫∫−∞12−∞⎣⎦⎢⎥∫−∞1⎣⎢∫−∞2⎦⎥∞∞∞=S()uS*2(f)e−jfππtej2utdfdudt∫∫∫−∞−∞−∞21∞∞∞*⎡⎤jt2π()u−f=S21()uS(f)edtdudf∫∫−∞−∞⎣⎦⎢⎥∫−∞∞∞∞=−S(u)S**()fδ(uf)dudf=S()fS(f)df∫∫−∞−∞21∫−∞12∞2.卷积ss12(ττ)(t−↔)dτS1()fS2()f∫−∞∞∞∞*ss()ττ(t−=)dτs(−τ)s(t+τ)dτ=⎡⎤s*(−τ)s(t+τ)dτ∫∫−∞12−∞12∫−∞⎣⎦12∞∞*==⎡⎤Sf*2()⎡S()fejfπτ⎤dτ⎡⎤S()fS()fejf2πτdτ∫∫−∞⎣⎦12⎣⎦−∞⎣⎦12∞3.乘积st12()s()t↔−S1(u)S2(fu)du∫−∞∞∞**∞st()s(t)e−−jf2*ππtdt==⎡⎤s()t⎡s(t)ej2ft⎤dt⎡S*(−u)⎤S(u+f)du∫∫−∞12−∞⎣⎦1⎣2⎦∫−∞⎣1⎦2∞=−Su()S(fu)du∫−∞12∞∞1⎛⎞n抽样4.∑∑sn()Tssδ(t−↔nT)S⎜⎟f−nn=−∞TTs=−∞⎝⎠snnn∑∑s(nTs)δδδ()t−=nTssss(t)()t−=nTs(t)∑()t−nTnn=−∞=−∞n=−∞nn11∞jt22ππnjt=×st()∑∑eTTss=s()teTTssnn=−∞=−∞因此n1∞⎛⎞n∑∑sn()Tssδ(t−↔nT)S⎜⎟f−nn=−∞TTs=−∞⎝⎠s二功率与能量∞2Ess=()tdt∫−∞1T22Pss=lim()tdtT→∞T∫−T21/5LectureNotesfor04116~04118#32006/9/21一个信号或者是功率信号（功率有限），或者是能量信号（能量有限）。请注意以后的各∞种数学处理中，处理能量信号和功率信号的差别只是：能量信号中的操作()•dt（求面∫−∞1T2积）因为对功率信号变得无意义，所以改成了lim()•dt（求平均）。这个改动实际T→∞T∫−T2上只是差一个系数1/T（在现实中T总归是有限大的）。三能量谱密度与功率谱密度1.定义∞∞22能量Ess=*()ts()tdt=S(f)dt，定义E()fS(f)为能量信号st()的∫−∞∫−∞s能量谱密度。11T222∞∞12功率PssT==lim()tdtlimST()fdf=limST()fdf，其中TT→∞TT∫∫−−T2→∞∞∫−∞T→∞T⎧≤st()tT2stT()=⎨是st()的短截，StT()是其傅氏变换。定义⎩0else12Pfs()limST(f)为功率信号st()的功率谱密度。T→∞T前面我们提到，信号是有一些不同频率的基本元素（ej2πft）组合而成的。信号的功率或能量也就是这些元素的能量或功率之和。总能量呈现出在频率轴上的分布。2.正负频率、单双边谱密度、带宽在物理测量的意义下，正负频率是不可分辨的。一个50Hz的正弦信号在频率计或示波器上显示的结果是+50Hz。虽然我们知道这个信号还能更进一步分解为+50Hz和-50Hz两个更为基本的频率元素ej100πt、e−j100πt，但普通的频率计和示波器不能感知到它们。而且，对于测量所要达到的目的来说，我们好像也没必要非得测出个负频率不可。比如，我们想知道某个干扰源在什么位置，某个收音机或者手机是否正确调谐到目标频道时，用不着操心负频率的事情。更何况，工程师们早就习惯了打祖上所传承下来的话语习惯。某个实信号在某个频率如105Hz处每Hz带宽内的功率是2W时，从数学上看，它应该是在−±1050.5Hz和105±0.5Hz处各分布有1W的功率。由此便有了单边谱密度和双边谱密度的说法，单边谱密度中没有负频率的概念，其数值是双边谱密度的2倍。本课中，如果前后文没有表明所提到的谱密度是单边还是双边时，缺省按双边对待。带宽是衡量信号频带宽度的一个量，它表示我们通过测量仪器可以感受到的频率范围，是在说，一个信号在频域看上去有多宽。通常带宽只按正频率部分计算。我们对带宽有多种定义。(1)信号主要能量所占带宽：指这个频带范围内集中了信号的大部分能量。对于基带信号（下BPfs()df同），带宽是∫−B的解，其中是所规定的比例，典型值如、等。B∞=ββ90%99%Pf()df∫−∞(2)3dB带宽：指功率谱密度从峰点下降到一半时的频带范围。若0频处功率谱密度最高，PB()1则带宽B是s=的解。Ps()02(3)等效矩形带宽：若信号的功率谱密度的面积和一个同高（指f=0处的高度）的矩形相同，此矩形频谱的带宽就是该信号的等效矩形带宽。若0频处功率谱密度最高，则带宽B是2/5LectureNotesfor04116~04118#32006/9/21∞Pfs()df∫−∞。20Ps()(4)主瓣带宽：有些信号的频谱明显呈现为主瓣、旁瓣这样的特征。于是我们也可以用主瓣宽度来反映信号在频域的宽度。主瓣带宽指从f=0到功率谱第一个零点之间的宽度。N例：某实信号st()的功率谱密度是Pf()==051×0−10WHz。当我们用仪器去测量时，s2我们在1Hz带宽内测到的功率值是N0。在进行某些数学处理时，我们心中明白，这N0瓦的功率其实是正负两部分频率的总功率，所以画图时画的高度是N02。计算功率时的处理，比如在97.4MHz为中心的B=100kHz带宽范围内的功率是−−1054。NB0=×2()5×10×10=10W=0.1mW四自相关函数1.定义∞对能量信号：R()τst*()s(t+ττ)d∫−∞1∞对功率信号：R()ττlimst∗+()s(t)dtT→∞T∫−∞自相关函数反映了信号和其延迟版本的关联程度。对于直流，无论延迟多少，信号都是一样的。对于其他信号，如果频谱中没有线谱分量，则有limR(τ)=0。τ→∞2.自相关函数有如下性质：1．自相关函数的傅氏变换是能量（功率）谱密度：R()τ↔Es(f)或者R(τ)↔Pfs()可用Parserval定理得到。2．自相关函数在τ=0时最大，最大值就是能量（功率）：R()τ≤RE(0)=s或者R(τ)≤RP(0)=s∞∗首先，对能量信号有R(0)=st()s()tdt=Es，功率信号同理。其次,根据许瓦兹∫−∞222∞∞∞2不等式有R()ττ=+st∗()s(t)dτ≤s()tdτ×s()t+τdτ=E2。等号仅∫∫−∞−∞∫−∞s当st∗=()Ks∗(t+τ)时成立，由此即可得R(τ)≤R(0)。对于功率信号同理可证。许瓦兹不等式（SchwartzInequality）：2∞∞22∞u()xv()xdx≤u()xdxv()xdx∫∫−∞−∞∫−∞等号在ux()=∗Kv(x)时成立。3．自相关函数满足共轭对称RR()τ=∗(−τ)这是因为R(τ)的傅氏变换（能量谱密度或者功率谱密度）是实函数。特别的，实信号的自相关函数是实偶函数。3/5欢迎访问慧易升考研网http://www.eduhys.com下载更多北邮通信考研复习资料LectureNotesfor04116~04118#32006/9/21五互谱密度1.互能量与互功率两个信号st1()、s2(t)之和ut()=+s1(t)s2(t)的能量是∞2Es=+()ts()tdtu∫−∞12∞∞22∞∞=+s()tdts()tdt+s∗∗()ts()tdt+s()ts()tdt∫∫−∞12−∞∫−∞12∫−∞21EE12E12E21=+EE12+E12+E21E12和E21叫st1()、s2(t)之间的互能量（也可把E1、E2叫自能量）。注1：两信号相加结果的能量（功率）并不一定是各自能量（功率）之和。例如st1()=2的功率是4，st2()=−1的功率是1，st12()+s(t)=1的功率是1而不是5，因为这两个信号之间有-4的互功率。注2：两个单频信号相加会发生干涉现象。依据相互的相位关系，干涉可能是建设性的（互功率为正）或者破坏性的（互功率为负）。互能量（功率）所反映的就是这一点。j200πtj200πt2例：信号st1()=e和信号st2()=+(1j)e的功率分别是E1=1、E2=+12j=，∗它们之间的互功率是E12=+1j，E21=()1+=j1−j，总的互功率是2，所以j200πtst12()+=s()t(2+j)e的功率是1+2+2=5。2.互能量谱密度、互功率谱密度任意两个信号叠加时，它们的频率分量各自发生干涉，从而有各自的互功率（互能量）。互功率（互能量）在频率上的分布就是互功率（互能量）谱密度。∞∞∗∗对能量信号，互能量Es12==1(t)s2(t)dtS1()fS2()fdf（它可能是复值的），∫∫−∞−∞称∗E12(fS)1(f)S2(f)∗∗为互能量谱密度，E21()fS2()fS1(fE)=12(f)自然也是互能量谱密度。T2∞∗∗⎡1⎤对于功率信号，互功率Ps12==lim1()ts2(t)dtlimS1TT()fS2(f)df，TT→∞∫∫−−T2∞⎣⎢→∞T⎦⎥称1∗Pf12()limS1TT()fS2(f)T→∞T1∗∗为互功率谱密度，Pf21()limS2TT()fS1()f=P12(f)也是互功率谱密度。T→∞T六互相关函数1.定义∞∗对能量信号，定义互相关函数为R12()τst1()s2(t+τ)dt。对功率信号，定义互∫−∞T21∗相关函数为R12()ττlimst1()s2(t+)dt。如同自功率，τ=0时的互相关值就是T→∞T∫−T2互功率。2.性质4/5LectureNotesfor04116~04118#32006/9/211．互相关函数的傅氏变换是互能量（功率）谱密度：R12(τ)↔E12(f)，R12()τ↔P12(f)。（可由Parserval定理证明）。2．互相关函数的最大值是RR1()002()，RR12()τ≤1()0R2(0)，可用许瓦兹不等式证明。（互功率小于自功率的几何平均，另外它也小于算术平均）∗3．对称性：R12()τ=R21(−τ)∞∞∗∗∞s∗∗(t)s()t+=τdt⎡⎤s(t)s()t+ττdt=⎡s∗(x)s(x−)dx⎤=R∗(−τ)∫∫−∞12⎣⎦⎢⎥−∞12⎣⎢∫−∞21⎦⎥214．st1()+s2(t)的自相关函数是RR1(τ)++2(ττ)R12()+R21(τ)，当两个信号不相关时，和的自相关函数是自相关函数之和∞∗⎡⎤s()t++st()⎡s(tττ)+st(+)⎤dt∫−∞⎣⎦12⎣12⎦∞=⎡⎤st∗∗()s()t+ττ++st()s()t+st∗∗()s()t+ττ++st()s()tdt∫−∞⎣⎦11122122=+RR11()ττ2()+R21()τ+R2()τ不相关的意思就是互相关函数整体为0，∀ττ,RR12()=21(τ)=0。注意它和正交的差别。5.若s1(t)和s2(t)的频谱不重叠，即若Sf12()S(f)=0，则它们不相关。不同频率分量的单频信号是不相关的。∗∗若ab=0则必然ab=0，因此Sf12()S(f)=0表明互谱密度Sf12()(Sf)=0，因此互相关为0。定性理解：相关表示两个信号包含一些共同的东西。只要两个信号有共同的基本元素（频率分量），它们的互相关函数就不可能是恒为0的。七单频信号和周期信号信号st()=ejf2π0t的自相关函数是ejf2π0τ，它是一个周期函数。st()的功率是2j2πf0τst()=1W，全部集中在f=f0处，因此功率谱密度就是δ(f−f0)，这与e的傅氏变换一致。j2πf1tjf2π2t对于两个不同频率的单频信号st1()=e和st2()=e，其互相关函数为∞∞−jf22ππ12tjf22πτ22()t+−jfτjπ(ff1)tRe12()τ==edteedt=0。因此st()+s(t)的互相关函∫∫−∞−∞12数及功率谱密度是各自互相关函数及功率谱密度之和。nnjt2π周期为的周期信号是功率信号。若其傅氏级数展开式为T，则Tst()st()=∑cnen=−∞st()的自相关函数是∞n2j2πτTRcsn()τ=∑en=−∞功率谱密度为∞2⎛⎞nPfsn()=−∑cδ⎜⎟fn=−∞⎝⎠T5/5LectureNotesfor04116~04118#42006/9/21线性系统一线性系统的概念1.线性时不变系统(1)线性：若x1(t)、x2(t)产生的输出分别是y1(t)、y2(t)，则对任意的常数a、b，ax1()t+bx2(t)产生的输出是ay12(t)+by(t)。(2)时不变：若x(t)产生的输出是yt()，则将x(t)任意延迟τ后的输出是原来输出的延迟。即xt(−τ)的输出是yt()−τ。若非特别指出，以后“线性系统”一词总指线性时不变系统。理解：线性系统实际上一个有频率选择性的复数放大器。它把输入信号中频率为f的分量的幅度放大了A倍，相位前移了ϕ，也即它是一个放大倍数为Aejϕ的复数放大器。对不同的输入频率，放大倍数可能不同，也即Aejϕ可能是f的函数，这个函数Hf()=A()fejϕ(f)叫传递函数。具体到实线性系统（冲激响应为实函数），Hf()=A(f)ejϕ(f)的含义是说：输入是频率为f的正弦波时，输出还是频率为f的正弦波，不过幅度会被放大A(f)倍，相位会增加ϕ(f)。比如输入是cos(2πt+1)时，输出为At(1c)(os⎣⎡2π++1ϕ1)⎦⎤。2.一些性质(1)频谱关系：Yf()=Hf()X(f)(2)冲激响应ht()输入单位冲激δ(t)时的时间响应，其频率响应是Hf()(3)卷积∞Yf()=Hf()X(f)导致yt()=−h(tτ)x(ττ)d∫−∞∞注：xt()=−x(τ)δτ(t)dτ=limx(n∆τ)δ(t−n∆τ)∆τ，表明信号x(t)可理解∫−∞∆→τ0∑n成由无数微小冲激组成，每个小冲激⎣⎦⎡⎤xn(∆τ)∆τδ(t−n∆τ)的响应是⎣⎦⎡⎤xn()∆∆τττh(t−n∆)，故x(t)的响应是∞y()t=∆lim⎡⎤x(nτ)∆ττht(−n∆)=x(τ)ht(−τ)dτ。∆→τ0∑⎣⎦∫−∞n(4)级联、并联认识到线性系统其实是复数放大，便知道复数的四则运算规则必然成立。由此，第21~22页性质(1)~(4)是一目了然的。交换律：Hf12()H(f)(=H2f)H1(f)，信号经过两个放大器时，放大次序可以交换。分配律：H12()f⎣⎦⎡⎤Hf()+=H3()fH1(f)Hf2()+H1(f)H3(f)结合律：Hf12()⎣⎦⎡⎤H()fH3()f=⎣⎡Hf1()H2(f)⎦⎤H3(f)1/2LectureNotesfor04116~04118#42006/9/21(5)输出的功率（能量）谱密度2频率为f处的复数放大倍数是Hf()，功率放大倍数是Hf()，故2Pfyx()=P()fH(f)二理想滤波器1.无失真系统如果信号经过系统后除了幅度变化和延迟外，波形没有变化，即若yt()=ax(t−t0)，则称这个系统是无失真的。无失真也即要求在信号的带宽范围内有Hf()=a−2jπft0，即幅频特性是直线，相频特性是过原点的直线。频率为f的分量经过Hf()=a(f)ejϕ(f)后产生的相移为ϕ(f)，产生的延迟为ϕ(f)ϕ()f。称τ()f为时延频率特性（简称时延特性）。因此无失真就是要求：幅频2πf2πf特性为直线，时延特性为直线。−jθ在复信号的范畴内，yt()=ax(t−t0)中的a是复数也算无失真。对于a=αe，此时无失真的线性系统的Hf()=αe−jf(2πτθ+)，此时的相频特性是不过原点的直线，其斜率dfϕ()为延迟。对任意的Hf()，称τ()f为群时延频率特性（简称群时延特性）。因G2πdf此，在复信号的意义下，无失真就是要求幅频特性为直线，群时延特性为直线。这种无失真也叫“复包络无失真”。2.理想滤波器⎧1f±≤fB理想带通滤波器（BPF）：Hf()=⎨c⎩0else⎧1f≤B理想低通滤波器（LPF）：Hf()=⎨⎩0else注意实际的理想不会是这么理想的，上面的BPF和LPF只是一种“模型”。我们研究问题的模式总是先假设⋯⋯，然后再谈论问题。谈论问题的时候，不再纠缠假设本身是否正确。理想化的模型能使问题变得简明，容易看清楚。我们的假设当然也不是毫无道理的，它是建立在一定的实际基础之上的，但和实际会有一些误差。有些时候这种误差并不影响所讨论的问题，此时就不必介意。如果模型的误差对结论有重要影响，就专门来研究它，或者再建立一个更适当的模型。请类比物理中的质点，我们不会因为质点这个模型而拒绝物理学的理论。2/2LectureNotesfor04116~04118#52006/9/25线性系统（续）一Hilbert变换1.定义Hilbert变换是对实信号x(t)定义的一种变换，变换结果记为xˆ(t)。其实质是实信号移相90度，即正频率分量的相位后移90度，负频率分量的相位前移90度。Hilbert变换器其⎧−jf>01实就是一个线性系统，其传递函数为Hf()=⎨，冲激响应为ht()=。⎩jf<0πt注：对一个信号实现了移相90度，也就等于实现了1/4周期的时延。若频率越低则时延也越大。当频率趋于0时，这个时延也将趋于无限大。因此，对于0频或者极低的频率，Hilbert变换没有实际意义。2.性质(1)连续两次变换就是反相变换一次移相90度，两次移相180度，即反相。(2)Hilbert变换后，能量或者功率不变，能量或者功率谱密度不变每个频率分量的功率和这个频率分量的相位无关，而Hilbert变换只涉及信号的相位，不改变幅度，所以经过变换后该频率分量的功率不变。于是变换后的功率谱密度不变，总的功率自然也不变。Pxx=Pˆ，Pfxx()=Pˆ(f)，Rxx(fR)=ˆ(f)(3)偶函数的变换是奇函数，奇函数的变换是偶函数∞xˆ(tH)=+()fX()f(cos2ππftjsin2ft)df∫−∞∞对于偶函数x(t)，X()fx=(t)(cos2πft−jsin2πft)dt是偶的，而Hf()是奇∫−∞∞函数。所以xˆ(tH)=()fX()fjsin2πfdf是奇函数。∫−∞∞对于奇函数x(t)，X()fx=(t)(cos2πft−jsin2πft)dt是奇函数，所以∫−∞∞xˆ(tH)=()fX()fcos2πfdf是偶函数。∫−∞(4)信号和它的Hilbert变换正交∞定义：若xt()y()tdt=0，则称x(ty),(t)正交。∫−∞(5)信号和它的Hilbert变换之间的互相关函数是自相关函数的Hilbert变换ˆˆRRxxˆ()τ=x(τ)，RRxxˆ(τ)=−x(τ)1/4欢迎访问慧易升考研网http://www.eduhys.com下载更多北邮通信考研复习资料LectureNotesfor04116~04118#52006/9/25∞∞∞*Rxˆ(ττ)=+()txˆˆ(t)dt=x(t−τ)x(t)dt=⎡⎤x(t−τ)xˆ()tdtxx∫∫−∞−∞∫−∞⎣⎦∞∞∗2=−⎡⎤X()fe−jf2πτ⎡⎤jfsgn()X()fdf=⎡⎤−jfsgn()X()fejf2πτdf∫∫−∞⎣⎦⎣⎦−∞⎣⎦22即Rτ的傅氏变换是⎡⎤−jfsgnXf。注意Xf是Rτ的傅氏变换，xxˆ()⎣⎦()()()x()代表变换，所以ˆ。⎣⎡−jsgn(f)⎦⎤HilbertRxxˆ(τ)=Rx(τ)二解析信号（AnalyticSignal）1.定义给定实信号x(t)，由它构造的解析信号是zt()=+x(t)jxˆ(t)。jf2π0t例：ef=+cos2π0tjsin2πf0t，f0>0。2.性质1(1)x()tz==Re{}(t)⎡⎤z()t+z∗(t)2⎣⎦(2)zt()只有正频率分量，z∗(t)只有负频率分量⎧20Xf()f>Zf()=+X()fj⎣⎦⎡⎤−jsgn()fX()f=X()f⎣⎡1+sgn()f⎦⎤=⎨⎩00f<∗∗∗⎧20Xf(−>)f⎧00f>z(t)的复氏变换为Zf()−=⎨⎨=⎩00f<⎩20Xf()f<(3)zt()的能量是st()的2倍由x(t)和xˆ(t)的正交性可得。三带通信号与带通系统1.带通信号与基带信号如果信号x(t)的频谱分量主要集中在某个频率fc附近，远离0频，则称此信号为带通信号。如果信号x(t)的频谱分量主要集中0频附近，则称此信号为基带信号。2.带通信号的复基带表示给定一个实带通信号x(t)，相应就给定了它的解析信号zt()=+x(t)jxˆ(t)。zt()没有负频率分量，且其能量主要集中在fc附近。定义实带通信号x(t)的复包络为−j2πfctxtL()z()te。记xL(t)的实部虚部分别为xc(t)、xs(t)，它们分别叫做同相分量和正交分量。记xL(t)的幅度为A(t)，相角为ϕ(t)，则jϕ(t)xLc()tx=+(t)jxs(t)=A(t)e22−1xs(t)A()tx=cs()t+x(t)，ϕ()t=tanxc()txc()tA=()tcosϕ(t)，xs(tA)=(t)sinϕ(t)于是带通信号x(t)可以表示为2/4LectureNotesfor04116~04118#52006/9/25jf2πctxt()=Re{xL(t)e}=xcc()tfcos2πt−xs()tsin2πfct=+At()cos⎣⎦⎡⎤2πϕfct()t这是带通信号常用的3种表示方式。熟悉这些表示对理解各类模拟或数字调制很重要。3.频谱关系给定带通信号x(t)，其傅氏变换为X(f)。则它的解析信号的频谱是：⎧20Xf()f>Zf()=⎨。⎩0else其复包络xL(t)的频谱为∞⎧+2Xf(f)f∈basebandXf()==x(t)e−jf2πtdtZ(f+f)=cLL∫−∞c⎨⎩0else1同相分量x()tx=⎡()t+x*(t)⎤，其频谱为cL2⎣L⎦1X()fX=+⎡⎤()fX∗∗(−f)=X(f+f)+X(−f+f)，f∈BaseBandcL2⎣⎦Lcc1正交分量x()tx=⎡⎤()t−x*(t)，其频谱为sL2j⎣⎦L1X()fX=−⎡⎤()fX∗∗(−f)=j⎡X(f−f)−X(f+f)⎤，f∈BaseBandsL2j⎣⎦L⎣cc⎦给定复包络的频谱为XL(f)时，带通信号的频谱为1X()fX=−⎡()ff+X∗(−f−f)⎤2⎣LcLc⎦给定复包络的功率谱密度为Pf时，带通信号的功率谱密度为XL()1Pf()=−⎡P()ff+P(−f−f)⎤XX4⎣LLcXc⎦给定带通信号的功率谱密度为PX(f)时，复包络的功率谱密度为⎧+4PfXc(f)f∈basebandPfX()=⎨L⎩0else4.带通系统的基带等效前面的结果是说，一个带通信号的基本信息都在复包络中。本节所要说的是，带通信号经过带通系统的问题完全可以等价为一个基带信号经过基带系统的问题。设有一个带通信号x(t)，其复包络是xL(t)。将x(t)送入一个带通系统，其冲激响应是ht()，传递函数是Hf()。此带通系统的输出也是一个带通信号yt()，其复包络为yL(t)。今若有这样一个基带系统，输入xL(t)产生的激响就是yL(t)，那么用这个基带系统进行分析就等价于分析原来的带通系统。此基带系统叫做原带通系统的等效基带系统。3/4LectureNotesfor04116~04118#52006/9/25为了能够用等效基带的方法分析问题，我们需要确定出它的冲激响应he(t)或者传递函数He(f)。对于带通系统，我们有Yf()=∈HfX()(f),fpassband等效基带系统满足YfLe()=∈H(f)XL(f),fbaseband由此可得：⎧+Hf()fcf∈baseband1HfeL()==⎨H()f⎩0021ht()+jhˆ(t)ht()==h()te−j2πfcteL22等效基带是一种方法，利用它我们可以绕过带通分析，从基带上进行分析，这对于通信问题的分析及仿真都会带来很大的便利。4/4LectureNotes62004/9/06EquationChapter1Section1随机问题随机性表示事物有多种可能性。对于这样的事情，我们是通过可能性（Probability）和期望（Expectation）来把握的。本章谈论这方面的一些数学工具。一概率空间{Ω,,FP}：Ω是所有样本的集合，随机事件是一些样本的集合，F是所有可以谈论概率的事件的集合，概率PF:→[0,1]是定义在F上的函数（就是说，对每一个可以谈论概率的事件，我们给它对应了一个数，这个数叫概率），此函数满足可加性：即对于不相交的A1、A2有PA()12∪=AP(A1)+P(A2)，另外P(Ω)=1。二数学期望1NEX[]==xP()Xx=limxi离散随机变量∑∑N→∞xi∈ΩN=1∞1NEX[]==xp()xdxlimxi连续随机变量∫−∞N→∞∑Ni=1第一个等式是利用分布计算出期望，后一个等式则是用统计的方法实测出结果，xi是N次实验中的第i次实验结果。1N函数的数学期望：Ef⎡⎤()x==f(x)p()xdxlimf()xi⎣⎦∫N→∞∑Ni=12数值特征：EX、EX⎡2⎤、方差EX⎡−m⎤、⋯⋯[]⎣⎦⎣(X)⎦三相关与独立对于两个随机变量X、Y，两个单独的一维分布不足以描述清楚它们之间的关系，所以需要二维分布。二维分布描述(x,y)的各种可能取值的出现情况。两个随机变量之间的关系体现在相关这种运算中：E[]XY=∑xyP(x,y)(1)()xy,∈ΩE[]XY=∫p()x,yxydxdy(2)式(1)中的Ω是二元的概率空间，指一切可能的(x,y)的集合。如果两个随机变量进行相关运算的结果满足E[XY]=E[X]E[Y]，或者如果协方差，则称这两个随机变量不相关，否则称它们是相关的。随机变EX⎣⎡()−−mX(YmY)⎦⎤=01/2LectureNotes62004/9/06量的均值是个常数（非随机的），因此研究随机性时可以剔出这个均值。假如问题中已经剔出了均值，则是否相关就是看E[XY]的是不是等于0。两个随机变量X、Y相关的实质是说它们包含了一个共同的随机分量。令X=aZ+Z1，Yb=Z+Z2，其中Z,,Z1Z2这三个随机变量两两不相关。X、Y都包含了Z这个随机成分。记Z,,Z1Z2的期望分别为：mm,,1m2，则⎡⎤2E[XY]=+abE⎣⎦Zbm12m+amm+m1m22E[]XE[Y]=+ab{E[Z]}bm12m+amm+m1m222所以E[XY]=E[X]E[Y]意味着E⎣⎦⎡⎤ZE={[]Z}，即Z的方差为0，即Z是非随机的。就是说，如果两个随机变量不相关的话，有可能都包含常数，但肯定不会包含共同的随机分量。把这个常数因素排除，则相关运算的结果为0就是不相关，协方差（covariance）就是在这样做。两个随机事件独立是说：PA(),B=P(A)P(B)。对于两个随机变量，就是要求联合概率密度函数可以分解为各自密度函数之积。下面是对相关、独立的一些直观理解：相关是说X和Y在数量上包含有共同的分量，独立是说X、Y在发生的原因上没有联系。相关一定不独立：若X、Y包括一个共同的随机量Z，那么致使Z发生的原因会同时对X、Y的结果起到作用，因此它们不可能是独立的；独立一定不相关：如果X、Y的发生原因没有任何联系，它们就不会包含一个公共的随机分量。不相关未必独立：不包含公共的随机分量未必表示这两个随机变量没有共同的发生原因，例如：设X是均匀分布在[0,2π]上的随机变量，YX1=sin、Y2=cosX这两个随机变量是一个原因造成的，因此不独立（可通过精确的数学定义来论证这一点），可以验证它们不相1关：EY[]Y==E[sinXcosX]E[sin2X]=0。1222/2欢迎访问慧易升考研网http://www.eduhys.com下载更多北邮通信考研复习资料LectureNotesfor04116~04118#72006/9/28随机过程一随机过程1.随机过程的描述(1)随机过程可以理解为许多随机变量X，为了区分这些随机变量，我们将其标记成Xt或X(t)。这些随机变量的个数和实数一样多。t对应到时间，它们就是一个过程。即对任意一个时间t，X(t)就是一个随机变量(2)随机过程也可以理解为：样本空间Ω的每个元素是一个波形（函数）。因为随机过程是无限个随机变量，所以需要任意N维分布才能完全描述其分布特性。大部分情况下，我们只涉及到二维分布。定义：随机过程的自相关函数定义为RtX(),*t+=τE⎣⎡X(t)X(t+τ)⎦⎤定义：任意随机过程X(t)的平均功率定义为样本功率的数学期望。⎡⎤22PE==x()tE⎡⎤X()t=R()t,tXX⎣⎦⎢⎥⎣⎦2.平稳性与遍历性数学上对宽平稳、严平稳都有明确的定义。宽平稳是说多维分布独立于时移，宽平稳是说均值及自相关函数与绝对时间无关。从理解上来说，平稳的意思就是与绝对时间无关。对于实际信号，严平稳包含了宽平稳（但注意数学老师不这么认为）。通信中多数情况只涉及二维分布特性，因此以后说的平稳都指宽平稳。平稳过程的自相关函数⎡∗⎤与t无关。RtXX(),t+=τE⎣X(t)X(t+τ)⎦=R(τ)RX()τ有如下性质：21.R0=EX⎡t⎤是Xt的平均功率X()⎣()⎦()2.⎡⎤∗RXX()τ≤=RE()0⎣⎦X(t)X(t)*3.⎡⎤∗∗⎡⎤∗REX()τ=+⎣⎦X(t)X(tττ)={E⎣X(t+)X(t+τ−τ)⎦}=RX()−τ222柯西-许瓦兹不等式（Cauchy-SchwartzInequality）：EX⎡⎤∗Y≤E⎡X⎤⎡EY⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦联合平稳：互相关也只和时间差有关。遍历性：如果某个时间平均的特征（比如均值、功率等等）对所有的样本都相同，则称此特征具有遍历性。遍历过程的意思是说每个样本都能反映整个随机过程的各种特征。宽遍历过程：所有一阶、二阶特征都具有遍历性。二随机过程的功率谱密度定义：随机过程x(t)的平均功率谱密度定义为样本的功率谱密度的数学期望，即2⎡2⎤⎡⎤XfEXT()ftT()⎣⎦Pfxx()==E⎡⎤P()fE⎢⎥lim=lim⎣⎦⎢⎥TT→∞TT→∞⎣⎦1/7LectureNotesfor04116~04118#72006/9/28t其中Px(f)是某个样本的功率谱密度，XT(f)是样本短截后的傅氏变换。注：理解的要点是，随机过程的每个样本是一个确定信号，它有功率、功率谱（作为实际问题，我们不必操心那些功率和功率谱不存在的函数）。对于随机的东西，我们总是用数学期望来对它作出整体描述。定义：随机过程x(t)的平均自相关函数定义为样本自相关函数的数学期望，也等于概率自相关函数的时间平均。即T2t⎡1∗⎤Rxx()ττ==ER⎡⎤()Elimx()tx(t+τ)dt⎣⎦⎢T→∞T∫−T2⎥⎣⎦T21∗=+limEx⎡⎤()tx(tτ)dt=Rx()t,t+τT→∞T∫−T2⎣⎦定理（维纳－辛钦）：随机过程的功率谱密度是平均自相关函数的傅氏变换Pf=+EFF⎡⎤x∗∗txtτ=+E⎡⎤xtxtττ=FRx(){⎣⎦()()}{⎣⎦()()}()x()特例1：对于遍历过程，每个样本的功率谱密度就是随机过程的功率谱密度特例2：对于平稳过程，RRxx()τ=+(t,tτ)=Rx()τ=Rx(τ)，所以功率谱密度是随机过程的自相关函数⎡∗⎤的傅氏变换。REx()τ=⎣x(t)x(t+τ)⎦特例3：对于循环平稳过程，⎡∗⎤与t有关，是t的周期函数，设周REx()τ=⎣x(t)x(t+τ)⎦1T期为T，则时间平均只需在一个周期内进行：R()ττ=+Rt(),tdt。xT∫0x三高斯过程定义：任意N维分布是联合正态分布的随机过程。要非常熟悉一维分布：若x服从N()0,σ2，21⎪⎪⎧⎫()xm−则px()=exp−。通信中噪声和干扰一般建模为平稳高斯过程。2⎨2⎬2πσ⎩⎭⎪⎪2σ四随机过程通过线性系统1.平稳过程通过线性系统后还是平稳过程2.高斯过程通过线性系统后还是高斯过程，非高斯过程通过后有变成高斯的趋向3.功率谱密度：2Pfyx()=H(f)P()f4.直流分量：E⎣⎦⎡⎤yt()=H()0E⎣⎡x(t)⎦⎤对于平稳过程E⎣⎦⎡⎤yt()=H(0)E⎣⎡x(t)⎦⎤五窄带平稳高斯噪声1.定义功率谱密度为常数，即Pf()=N02的平稳高斯过程叫白高斯噪声。这是通信中最基本的噪声。N0是单边的功率谱密度，N02是双边的功率谱密度。白高斯噪声通过带通系统的输2/7LectureNotesfor04116~04118#72006/9/28出叫窄带高斯噪声。简称窄带噪声ntW()nt()2注：图中的Hf()的等效矩形带宽是B，意思是说Hf()和一个带宽为B的理想BPF有相同的面积。（缺省情况下，我们假设Hf()在其中心频率处的高度是1。）2.窄带噪声的表达式窄带噪声是带通信号，因此可以写成n()t=2ncc(t)cosπft−ns(t)sin2πftc=+at()cos⎣⎦⎡⎤2πϕfct(t)jf2πct=Re{}ntL()ejϕ(t)其中复包络ntLc()=+n()tjns(t)=a(t)e3.性质(1)nt()是0均值的平稳高斯过程，功率为N0B证：因为nt()是白高斯噪声通过线性系统的输出，由此易知0均值、平稳、高斯这几个特征。nt()的功率为∞∞22∞NN00Pnn==P()fdfH()fdfH=()fdf∫∫−∞−∞22∫−∞2∞2Hf()的等效矩形的面积是2B=Hf()df，所以PNn=0B。∫−∞(2)nt()的Hilbert变换ntˆ()是0均值的窄带平稳高斯过程，功率为N0B，Rnnˆ()τ=R(τ)，ˆRRnnˆˆ()τ=−nn(ττ)=Rn()。证：Hilbert变换是线性系统，所以ntˆ()是0均值的窄带平稳高斯过程，其自相关函数为⎡⎤∞∞nt()−+un(tτ−v)Rˆ()τ=Edudvn⎢⎥∫∫−∞−∞⎣⎦ππuv∞Ru()τ+−vndv∞∞Rv()τ−+u∞∫−∞==ndudvπvdu∫∫−∞−∞ππuv×∫−∞πu∞∞Ruˆˆ()ττ+−R()uˆ==nndu−du=−Rˆ()τ=R()τ∫∫−∞ππuu−∞nn因此，ntˆ()和nt()有相同的功率谱，故也有相同的功率。⎡⎤∞∞nt+−ττvR−v()n()ˆRnnˆ()t,t+=τEn(t)dv=dv=Rn()τ⎢⎥∫∫−∞−∞⎣⎦ππvv⎡⎤∞∞nt−+vRτv()n()ˆRˆ()t,t+=τEn(t+ττ)dv=dv=−R()nn⎢⎥∫∫−∞−∞n⎣⎦ππvv3/7LectureNotesfor04116~04118#72006/9/28注：窄带噪声一般建模为平稳遍历过程，因此上述结果也是意料中的。因为前面讲Hilbert变换时，确定信号也有类似的结论。(3)由nt()构成的解析信号zt()=+n(t)jnˆ(t)是0均值平稳复高斯过程。解析信号zt()的自相关函数是2Rn(τ)的解析函数。zt()共轭不相关。定义：平稳过程X(t)和Yt()的共轭相关函数是X∗(t)和Yt()这两个过程的自相关函数，即EX⎣⎡()tY(t+τ)⎦⎤。若共轭相关函数为0，则称X(t)和Yt()共轭不相关。若X(t)的共轭自相关函数为0，则称X(t)共轭不相关，也就是说X∗(t)和X(t)不相关。证：易见0均值、平稳、高斯这几点。⎡⎤∗ˆˆRz()ττ=+E⎣⎦z(t)z(t)=E{⎣⎡n(t)−jnt()⎦⎣⎤⎡nt(+τ)(+jnt+τ)⎦⎤}=+RRττ+j⎡⎤Rτ−Rτ=2⎡Rτ+jRˆτ⎤nn()ˆˆ()⎣⎦nn()nˆn()⎣n()n()⎦E⎣⎦⎡⎤z()tz(t+=ττ)E{⎣⎡nt()+jnˆˆ(t)⎦⎤⎣⎡n(t+)+jnt(+τ)⎦⎤}=−RRn(ττ)nˆˆ()+j⎣⎦⎡⎤Rnn()τ+Rnnˆ()τ=0注：2倍体现了zt()的功率是nt()的两倍。4。窄带噪声的复包络nL(t)是0均值平稳复高斯过程。复包络的自相关函数是窄带噪声nt()的自相关函数的复包络的2倍，复包络的功率谱密度为⎧+4Pfnc(f)f∈BaseBandPfn()=⎨L⎩0otherwise功率为2N0B，nL(t)共轭不相关。−j2πfct证：ntL()=z()te∗∗jf22ππt−+jf2πτ()t−jfτEn⎡⎤()tn(t+=τ)E⎡⎤z(t)ec×z(t+ττ)ec=R()ec=R()τ⎣⎦L⎣⎦znL⎡⎤−−jf22ππcctjftE⎣⎦⎡⎤nL()t===E⎣⎦zt()eE⎣⎡zt()⎦⎤e0故nL(t)是平稳过程。zt()是复高斯过程，所以nL(t)是复高斯过程。RR()ττ=+2⎡⎤()jRˆ(τ)e−j2πfcτnnL⎣⎦n1jf2πcτRRnn()ττ=Re{}()e2LPf=+2s⎡⎤Pff−gnf+fPf+fnnL()⎣⎦(c)(c)n(c)⎧+4Pf()ff∈BaseBand=⎨nc⎩0else功率PR==02R02=NB。nnLL()n()0−jf2πt−+jf2πτ()tEn⎡⎤tnt+=ττE⎡zteczt+ec⎤⎣⎦LL
浙公网安备 33021202002483