离散数学习题解答

离散数学习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 解答离散数学习题 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 习题一1.判断下列句子是否为命题？若是命题说明是真命题还是假命题。（1）3是正数吗？（2）x＋1=0。（3）请穿上外衣。（4）2＋1＝0。（5）任一个实数的平方都是正实数。（6）不存在最大素数。（7）明天我去看电影。（8）9＋5≤12。（9）实践出真知。（10）如果我掌握了英语、法语，那么学习其他欧洲语言就容易多了。解：（1）、（2）、（3）不是命题。（4）、（8）是假命题。（5）、（6）、（9）、（10）是真命题。（7）是命题，只是现在无法确定真值。2.设P 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示命题“天下雪”，Q表示命题“我将去书店”，R表示命题“我有时间”，以符号形式写出下列命题。王老师就讲这门课。（11）四边形ABCD是平行四边形，当且仅当ABCD的对边平行。（12）或者你没有给我写信，或者信在途中丢失了。解：（1）P：王皓球打得好，Q：王皓歌唱得好。原命题可符号化：P∧Q。（2）P：我看书，Q：我听音乐。原命题可符号化：P∧Q。（3）P：老张是球迷，Q：老李是球迷。原命题可符号化：P∧Q。（4）P：努力学习，Q：成绩会好。原命题可符号化：P→Q。（5）P：休息好，Q：工作好。原命题可符号化：Q→P。（6）P：a是偶数，Q：b是偶数，R：a+b是偶数。原命题可符号化：（P∧Q）→R。（7）P：我们游泳，Q：我们跑步。原命题可符号化：┐（P∧Q）。（8）P：我反悔，Q：太阳从西边出来。原命题可符号化：P→Q。（9）P：f(x)在点x0处可导，Q：f(x)在点x0处可微。原命题可符号化：P→←Q。（10）P：张老师讲这门课，Q：李老师讲这门课，R：王老师讲这门课。原命题可符号化：（┐P∧┐Q）→R。（11）P：四边形ABCD是平行四边形，Q：四边形ABCD的对边平行。原命题可符号化：P→←Q。（12）P：你给我写信，Q：信在途中丢失了。原命题可符号化：┐P←∣→（P∧Q）。4.判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合式公式。（1）(Q→R∧S)（2）(P→←(R→S))（3）((┐P→Q)→(Q→P)))（4）(RS→F)（5）((P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R)))解：（1）、（2）、（5）是合式公式，（3）、（4）不是合式公式。5.否定下列命题：（1）桂林处处山清水秀。（2）每一个自然数都是偶数。解：（1）桂林并非处处山清水秀。（2）并不是每一个自然数都是偶数。或：有些自然数不是偶数。6.给出下述每一个命题的逆命题、否命题和逆否命题。（1）如果天下雨，我将不去。（2）仅当你去我才不去。（3）如果Δ=b2−4ac<0，则方程ax2+bx+c=0无实数解。（4）如果我不获得奖学金，我就不能完成学业。解：（1）逆命题：如果我不去，那么天下雨。否命题：如果天不下雨，我就去。逆否命题：如果我去，那么天不下雨。（2）逆命题：如果你去，我将不去。否命题：如果我去，你将不去。逆否命题：如果你不去，我就去。（3）逆命题：如果方程ax2+bx+c=0无实数解，则Δ=b2−4ac<0。否命题：如果Δ=b2−4ac≥0，则方程ax2+bx+c=0有实数解。逆否命题：如果方程ax2+bx+c=0有实数解，则Δ=b2−4ac≥0。（4）逆命题：如果我不能完成学业，那么我没有获得奖学金。否命题：如果我获得奖学金，我就能完成学业。逆否命题：如果我就能完成学业，那么我就获得奖学金。7.求下列各式的真值表。（1）P→(R∨S)（2）(P∧R)∨(P→Q)（3）(P∨Q)→←(Q∨P)（4）(P∨┐Q)∧R（5）(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))解：（1）P→(R∨S)PRSR∨SP→(R∨S)1111111011101111000001111010110011100001（2）(P∧R)∨(P→Q)PQRP∧RP→Q(P∧R)∨(P→Q)111111110011101101100000011011010011001011000011（3）(P∨Q)→←(Q∨P)PQP∨QQ∨P(P∨Q)→←(Q∨P)11111101110111100001（4）(P∨┐Q)∧RPQR┐QP∨┐Q(P∨┐Q)∧R111011110010101111100110011000010000001111000110（5）(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))PQRQ→RP→(Q→R)P→QP→R(P→Q)→(P→R)原公式1111111111100010011011101111001100110111111110100111110011111110001111118.用真值表判断下列公式的类型：(1)P∨┐Q→Q(2)((P→Q)∨(R→S))→((P∨R)→(Q∨S))解：(1)P∨┐Q→QPQ┐QP∨┐QP∨┐Q→Q11011101100100100110（1）为可满足式。(2)((P→Q)∨(R→S))→((P∨R)→(Q∨S))PQRSP→QR→S(P→Q)∨(R→S)P∨RQ∨S(P∨R)→(Q∨S)原公式11111111111111010111111101111111111001111111101101111111010000100110010111111100001110000111111111101101001111010111101110100111011100111111111001010110000001111011100001110011（2）为可满足式。9.证明下列等价式。（1）P→(Q→P)┐P→(P→┐Q)（2）┐(P→←Q)(P∨Q)∧┐(P∧Q)（3）┐(P→Q)P∧┐Q（4）┐(P→←Q)(P∧┐Q)∨(┐P∧Q)（5）P→(Q∨R)(P∧┐Q)→R（6）(P→R)∧(Q→R)(P∨Q)→R（7）((P∧Q)→R)∧(Q→(S∨R))(Q∧(S→P))→R证明：（1）P→(Q→P)┐P∨(┐Q∨P)P∨(┐P∨┐Q)┐P→(P→┐Q)（2）┐(P→←Q)┐((P∧Q)∨(┐P∧┐Q))┐(P∧Q)∧┐(┐P∧┐Q))(P∨Q)∧┐(P∧Q)（3）┐(P→Q)┐(┐P∨Q)P∧┐Q（4）┐(P→←Q)┐((P→Q)∧(Q→P))┐(┐P∨Q)∨┐(┐Q∨P)(P∧┐Q)∨(┐P∧Q)（5）P→(Q∨R)┐P∨(Q∨R)┐(P∧┐Q)∨R(P∧┐Q)→R（6）(P→R)∧(Q→R)(┐P∨R)∧(┐Q∨R)(┐P∧┐Q)∨R┐(P∨Q)∨R(P∨Q)→R（7）((P∧Q)→R)∧(Q→(S∨R))(┐(P∧Q)∨R)∧(┐Q∨(S∨R))┐Q∨(┐P∧S)∨R┐(Q∧(┐S∨P))∨R┐(Q∧(S→P))∨R(Q∧(S→P))→R10.使用恒等式证明下列各式，并写出它们对偶的公式。（1）(┐(┐P∨┐Q)∨┐(┐P∨Q))⇔P（2）(P∨┐Q)∧(P∨Q)∧(┐P∨┐Q)⇔┐(┐P∨Q)（3）Q∨┐((┐P∨Q)∧P)⇔T证明：（1）(┐(┐P∨┐Q)∨┐(┐P∨Q))⇔(P∧Q)∨(P∧┐Q)⇔P∧(Q∨┐Q)⇔P∧T⇔P（2）(P∨┐Q)∧(P∨Q)∧(┐P∨┐Q)⇔P∨(┐Q∧Q)∧(┐P∨┐Q)⇔P∨F∧(┐P∨┐Q)⇔P∧(┐P∨┐Q)⇔(P∧┐P)∨(P∧┐Q)⇔F∨(P∧┐Q)⇔(P∧┐Q)⇔┐(┐P∨Q)（3）Q∨┐((┐P∨Q)∧P)⇔Q∨(┐(┐P∨Q)∨┐P)⇔Q∨(P∧┐Q)∨┐P⇔(Q∨┐P∨P)∧(Q∨┐P∨┐Q)⇔T∨T⇔T11.试证明{∨}，{→}不是全功能联结词集合。证明：若{∨}是最小联结词组，则┐P⇔(P∨...)对所有命题变元指派T，则等价式左边为F，右边为T，等价式矛盾。若{→}是最小联结词组，则┐P⇔P→(P→(P→...)...)对所有命题变元指派T，则等价式左边为F，右边为T，等价式矛盾。12.证明下列蕴涵式：（1）P∧Q⇒(P→Q)（2）P⇒(Q→P)（3）(P→(Q→R))⇒(P→Q)→(P→R)证明：（1）P∧Q→(P→Q)⇔┐(P∧Q)∨(P→Q)⇔(┐P∨┐Q)∨(┐P∨Q)⇔┐P∨(┐Q∨Q)⇔T因为P∧Q→(P→Q)为永真式，所以P∧Q⇒(P→Q)。（2）P→(Q→P)⇔┐P∨(┐Q∨P)⇔┐Q∨(┐P∨P)⇔T因为P→(Q→P)为永真式，所以P⇒(Q→P)。（3）(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))⇔┐(┐P∨(┐Q∨R))∨(┐(┐P∨Q)∨(┐P∨R))⇔(P∧(Q∧┐R))∨((P∧┐Q)∨(┐P∨R))⇔(P∧Q∧┐R)∨((P∨┐P∨R)∧(┐Q∨┐P∨R))⇔(P∧Q∧┐R)∨(┐P∨┐Q∨R)⇔((P∨(┐P∨┐Q∨R))∧(Q∨(┐P∨┐Q∨R))∧(┐R∨(┐P∨┐Q∨R))⇔T因为(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))为永真式，所以(P→(Q→R))⇒(P→Q)→(P→R)。13.对下列各公式，试仅用↑或↓表示。（1）┐P（2）P∧Q（3）P∨Q（4）P→Q解：（1）┐P⇔┐(P∧P)⇔P↑P（2）P∧Q⇔(P↑Q)↑(P↑Q)（3）P∨Q⇔┐(┐P∧┐Q)⇔(┐P↑┐Q)⇔(P↑P)↑(Q↑Q)（4）P→Q⇔┐P∨Q⇔(P↑P)∨Q⇔((P↑P)↑(P↑P))↑(Q↑Q)14.将下列公式化成与之等值且仅含{┐，→}中联结词的公式。（1）(P→┐Q)∧R（2）P→←(Q∧R)∨P解：（1）(P→┐Q)∧R⇔(┐P∨┐Q)∧R⇔(┐P∧R)∨(┐Q∧R)⇔┐(P∨┐R)∨┐(Q∨┐R)⇔┐(R→P)∨┐(R→Q)⇔(R→P)→┐(R→Q)（2）P→←(Q∧R)∨P⇔(P→((Q∧R)∨P))∧(((Q∧R)∨P)→P)⇔(┐P∨((Q∧R)∨P))∧(┐((Q∧R)∨P)∨P)⇔T∧(((┐Q∨┐R)∧┐P)∨P)⇔((┐Q∨┐R)∨P)⇔P∨(┐Q∨┐R)⇔P∨(Q→┐R)⇔┐P→(Q→┐R)15.如果A(P，Q，R)由R↑(Q∧┐(R↓P))给出，求它的对偶A*(P，Q，R)，并求出与A及A*等价且仅包含联接词“∧”，“∨”及“┐”的公式。解：A*(P，Q，R)：R↓(Q∨┐(R↑P))R↑(Q∧┐(R↓P))⇔┐(R∧(Q∧(R∨P)))⇔┐R∨┐Q∨(┐R∧┐P)R↓(Q∨┐(R↑P))⇔┐R∧┐Q∧(┐R∨┐P)16.把P↑Q表示为只含有“↓”的等价公式。解：P↑Q┐(P∧Q)┐((P↓P)↓(Q↓Q))((P↓P)↓(Q↓Q))↓((P↓P)↓(Q↓Q))17.证明：（1）┐(P↑Q)┐P↓┐Q（2）┐(P↓Q)┐P↑┐Q证明：（1）┐(P↑Q)┐(┐(P∧Q))(P∧Q)┐(┐P∨┐Q)┐P↓┐Q（2）┐(P↓Q)┐(┐(P∨Q))(P∨Q)┐(┐P∧┐Q)┐P↑┐Q18.求公式P∧(P→Q)的析取范式和合取范式。解：P∧(P→Q)P∧(┐P∨Q)合取范式(P∧┐P)∨(P∧Q)析取范式19.求下列公式的主析取范式和主合取范式。（1）(┐P→Q)→(┐Q∨P)（2）(P→(P∨Q))∨R（3）(P→Q∧R)∧((┐P→(┐Q∧┐R))解：（1）真值表法PQ┐P→Q┐Q∨P(┐P→Q)→(┐Q∨P)11111101110110000011主析取范式为：(P∧Q)∨(P∧┐Q)∨(┐P∧┐Q)主合取范式为：P∨┐Q公式化归法(┐P→Q)→(┐Q∨P)┐(P∨Q)∨(┐Q∨P)(┐P∧┐Q)∨(┐Q∨P)(┐P∨┐Q∨P)∧(┐Q∨┐Q∨P)P∨┐Q主合取范式(P∧Q)∨(P∧┐Q)∨(┐P∧┐Q)主析取范式（2）真值表法(P→(P∨Q))∨RPQRP∨QP→(P∨Q)(P→(P∨Q))∨R111111110111101111100111011111010111001011000011原式为永真式，其主析取范式为所有小项的析取，即：m000∨m001∨m010∨m011∨m100∨m101∨m110∨m111不能表示为主合取范式。公式化归法(P→(P∨Q))∨R(┐P∨(P∨Q))∨RT∨RT（3）真值表法(P→Q∧R)∧((┐P→(┐Q∧┐R))PQRQ∧RP→Q∧R┐Q∧┐R┐P→(┐Q∧┐R)原公式1111101111000010101000101000011001111000010010000010100000001111主析取范式为：(P∧Q∧R)∨(┐P∧┐Q∧┐R)m111∨m000m7∨m0主合取范式为：M1∧M2∧M3∧M4∧M5∧M6M001∧M010∧M011∧M100∧M101∧M110(P∨Q∨┐R)∧(P∨┐Q∨R)∧(P∨┐Q∨┐R)∧(┐P∨Q∨R)∧(┐P∨Q∨┐R)∧(┐P∨┐Q∨R)20.求下列公式的主析取范式和主合取范式，并指出该公式的类型。（1）(┐P∨┐Q)→(P→←┐Q)（2）Q∧(P∨┐Q)（3）P∨(┐P→(Q∨(┐Q→R)))（4）(P→(Q∧R))∧(┐P→(┐Q∧┐R))（5）P→(P∧(Q→P))（6）(Q→P)∧(┐P∧Q)解：（1）PQ┐P∨┐QP→←┐Q(┐P∨┐Q)→(P→←┐Q)11001101110111100100主析取范式为：(P∧Q)∨(P∧┐Q)∨(┐P∧Q)主合取范式为：P∨Q公式为可满足式。（2）PQP∨┐QQ∧(P∨┐Q)1111101001000010主析取范式为：P∧Q主合取范式为：(┐P∨Q)∧(P∨┐Q)∧(P∨Q)公式为可满足式。（3）P∨(┐P→(Q∨(┐Q→R)))P∨(P∨(Q∨(Q∨R)))P∨Q∨R主合取范式M000M0m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7主析取范式公式为可满足式。（4）(P→(Q∧R))∧(┐P→(┐Q∧┐R))(┐P∨(Q∧R))∧(P∨(┐Q∧┐R))(┐P∨Q)∧(┐P∨R)∧(P∨┐Q)∧(P∨┐R)(┐P∨Q∨R)∧(┐P∨Q∨┐R)∧(┐P∨┐Q∨┐R)∧(P∨┐Q∨R)∧(P∨┐Q∨┐R)∧(P∨Q∨┐R)M100∧M101∧M111∧M010∧M011∧M001M4∧M5∧M7∧M2∧M3∧M1主合取范式m0∨m6m000∨m110主析取范式公式为可满足式。（5）P→(P∧(Q→P))┐P∨(P∧(┐Q∨P))(┐P∨P)∧(┐P∨(┐Q∨P))T主析取范式为：m0∨m1∨m2∨m3公式为永真式。（6）(Q→P)∧(┐P∧Q)(┐Q∨P)∧(┐P∧Q)(┐Q∧┐P∧Q)∨(P∧┐P∧Q)F主合取范式为：M0∧M1∧M2∧M3公式为永假式。21.用将合式公式化为范式的方法证明下列各题中两式是等价的。（1）(P→Q)∧(P→R)，P→(Q∧R)（2）(P→Q)→(P∧Q)，(┐P→Q)∧(Q→P)（3）P∧Q∧(┐P∨┐Q)，┐P∧┐Q∧(P∨Q)（4）P∨(P→(P∧Q))，┐P∨┐Q∨(P∧Q)证明：（1）(P→Q)∧(P→R)(┐P∨Q)∧(┐P∨R)P→(Q∧R)┐P∨(Q∧R)(┐P∨Q)∧(┐P∨R)（2）(P→Q)→(P∧Q)┐(┐P∨Q)∨(P∧Q)(P∧┐Q)∨(P∧Q)P∧(┐Q∨Q)P(┐P→Q)∧(Q→P)(P∨Q)∧(┐Q∨P)P∨(Q∧┐Q)P（3）P∧Q∧(┐P∨┐Q)(P∧Q∧┐P)∨(P∧Q∧┐Q)F┐P∧┐Q∧(P∨Q)(┐P∧┐Q∧P)∨(┐P∧┐Q∧Q)F（4）P∨(P→(P∧Q))P∨(┐P∨(P∧Q))T∨(P∧Q)T┐P∨┐Q∨(P∧Q)(┐P∨┐Q∨P)∧(┐P∨┐Q∨Q)T22.用推理规则证明以下各式。（1）┐(P∧┐Q)，┐Q∨R，┐R⇒┐P（2）A→(B∨C)，(D∨E)→A，D∨E⇒B∨C（3）B∧C，(B→←C)→(D∨E)⇒D∨E（4）P→Q，(┐Q∨R)∧┐R，┐(┐P∧S)⇒┐S证明：（1）┐(P∧┐Q)，┐Q∨R，┐R⇒┐P证明：(1)┐RP(2)┐Q∨RP(3)┐QT(1)(2)I(4)┐(P∧┐Q)P(5)┐P∨QT(4)E(6)┐PT(3)(5)I（2）A→(B∨C)，(D∨E)→A，D∨E⇒B∨C证明：(1)D∨EP(2)(D∨E)→AP(3)AT(1)(2)I(4)A→(B∨C)P(5)B∨CT(3)(4)I（3）B∧C，(B→←C)→(D∨E)⇒D∨E证明：(1)B∧CP(2)B→←CT(1)I(3)(B→←C)→(D∨E)P(4)D∨ET(2)(3)I（4）P→Q，(┐Q∨R)∧┐R，┐(┐P∧S)⇒┐S证明：(1)(┐Q∨R)∧┐RP(2)┐Q∨RT(1)I(3)┐RT(1)I(4)┐QT(2)(3)I(5)┐(┐P∧S)P(6)S→PT(5)E(7)P→QP(8)S→QT(6)(7)I(9)┐Q→┐ST(8)E(10)┐ST(4)(8)I23.仅用规则P和T，推证以下公式。（1）┐A∨B，C→┐B⇒A→┐C（2）A→(B→C)，(C∧D)→E，┐F→(D∧┐E)⇒A→(B→F)（3）A∨B→C∧D，D∨E→F，⇒A→F（4）A→(B∧C)，┐B∨D，(E→┐F)→┐D，B→(A∧┐E)⇒B→E（5）(A→B)∧(C→D)，(B→E)∧(D→F)，┐(E∧F)，A→C⇒┐A证明：（1）┐A∨B，C→┐B⇒A→┐C证明：(1)┐A∨BP(2)A→BT(1)E(3)C→┐BP(4)B→┐CT(3)E(5)A→┐CT(2)(4)I（2）A→(B→C)，(C∧D)→E，┐F→(D∧┐E)⇒A→(B→F)证明：(1)A→(B→C)P(2)┐A∨┐B∨CT(1)E(3)(A∧B)→CT(2)E(4)(C∧D)→EP(5)C→┐(D∧┐E)T(4)E(6)(D∧┐E)→┐CT(5)E(7)┐F→(D∧┐E)P(8)┐F→┐CT(6)(7)I(9)C→FT(8)E(10)(A∧B)→FT(3)(9)I(11)┐A∨┐B∨FT(10)E(12)A→(B→F)T(11)E（3）A∨B→C∧D，D∨E→F⇒A→F证明：(1)A∨B→C∧DP(2)A∨B→DT(1)I(3)D∨E→FP(4)D→FT(3)I(5)A∨B→FT(2)(4)I(6)A→FT(5)I（4）A→(B∧C)，┐B∨D，(E→┐F)→┐D，B→(A∧┐E)⇒B→E证明：(1)┐B∨DP(2)B→DT(1)E(3)(E→┐F)→┐DP(4)D→┐(E→┐F)T(3)E(5)D→(E∧F)T(4)E(6)B→(E∧F)T(2)(5)I(7)B→ET(6)I（5）(A→B)∧(C→D)，(B→E)∧(D→F)，┐(E∧F)，A→C⇒┐A证明：(1)(A→B)∧(C→D)P(2)A→BT(1)I(3)C→DT(1)I(4)(B→E)∧(D→F)P(5)B→ET(4)I(6)D→FT(4)I(7)A→ET(2)(5)I(8)C→FT(3)(6)I(9)A→CP(10)A→FT(8)(9)I(11)A→(E∧F)T(7)(10)I(12)┐(E∧F)→┐AT(11)E(13)┐(E∧F)P(14)┐AT(12)(13)I24.用CP规则推证上题中的（1）、（2）、（3）和（4）式。证明：（1）┐A∨B，C→┐B⇒A→┐C证明：(1)AP（附加前提）(2)┐A∨BP(3)BT(1)(2)I(4)C→┐BP(5)┐CT(3)(4)I(6)A→┐CT(1)(5)CP（2）A→(B→C)，(C∧D)→E，┐F→(D∧┐E)⇒A→(B→F)证明：(1)AP（附加前提）(2)A→(B→C)P(3)B→CT(1)(2)I(4)(C∧D)→EP(5)C→┐(D∧┐E)T(4)E(6)B→┐(D∧┐E)T(3)(5)I(7)┐F→(D∧┐E)P(8)┐(D∧┐E)→FT(7)E(9)B→FT(6)(8)I(10)A→(B→F)CP(1)(9)（3）A∨B→C∧D，D∨E→F⇒A→F证明：(1)AP（附加前提）(2)A∨BT(1)I(3)A∨B→C∧DP(4)C∧DT(2)(3)I(5)DT(4)I(6)D∨ET(5)I(7)D∨E→FP(8)FT(6)(7)I(9)A→FCP(5)(8)（4）A→(B∧C)，┐B∨D，(E→┐F)→┐D，B→(A∧┐E)⇒B→E证明：(1)BP（附加前提）(2)┐B∨DP(3)DT(1)(2)I(4)(E→┐F)→┐DP(5)D→┐(E→┐F)T(4)E(6)┐(E→┐F)T(3)(5)I(7)E∧FT(6)E(8)ET(7)I(9)B→ECP(1)(8)25.证明下列各式。（1）R→┐Q，R∨S，S→┐Q，P→Q⇒┐P（2）S→┐Q，R∨S，┐R，┐P→←Q⇒P（3）┐(P→Q)→┐(R∨S)，(Q→P)∨┐R，R⇒P→←Q证明：（1）R→┐Q，R∨S，S→┐Q，P→Q⇒┐P证明：(1)PP(附加前提)(2)P→QP(3)QT(1)(2)I(4)R→┐QP(5)S→┐QP(6)Q→┐RT(4)E(7)Q→┐ST(5)E(8)┐RT(3)(6)I(9)┐ST(3)(7)I(10)┐R∧┐ST(8)(9)I(11)┐(R∨S)T(10)E(12)R∨SP(13)┐(R∨S)∧(R∨S)(矛盾)T(12)(13)I（2）S→┐Q，R∨S，┐R，┐P→←Q⇒P证明：(1)┐RP(2)R∨SP(3)ST(1)(2)I(4)S→┐QP(5)┐QT(3)(4)I(6)┐P→←QP(7)(┐P→Q)∧(Q→┐P)T(6)E(8)┐P→QT(7)I(9)┐Q→PT(8)E(10)PT(5)(9)I（3）┐(P→Q)→┐(R∨S)，(Q→P)∨┐R，R⇒P→←Q证明：(1)RP(2)(Q→P)∨┐RP(3)Q→PT(1)(2)I(4)┐(P→Q)→┐(R∨S)P(5)(R∨S)→(P→Q)T(4)E(6)P→QT(1)(5)I(7)(P→Q)∧(Q→P)T(3)(6)I(8)P→←QT(7)E26.甲、乙、丙和丁四人参加考试，有人问他们，谁的成绩最好？甲说“不是我”，乙说“是丁”，丙说“是乙”，丁说“不是我”。四人的回答只有一人符合实际。问成绩最好的是哪些？若只有一人成绩最好，是谁？解：设A：甲的成绩最好。B：乙的成绩最好。C：丙的成绩最好。D：丁的成绩最好。因为四人的回答只有一人符合实际，所以若甲的回答符合实际，有：(┐A∧┐D∧┐B∧D)若乙的回答符合实际，有：(A∧D∧┐B∧D)若丙的回答符合实际，有：(A∧┐D∧B∧D)若丁的回答符合实际，有：(A∧┐D∧┐B∧┐D)所以：(┐A∧┐D∧┐B∧D)∨(A∧D∧┐B∧D)∨(A∧┐D∧B∧D)∨(A∧┐D∧┐B∧┐D)T即(A∧D∧┐B)∨(A∧┐D∧┐B)T但(A∧D∧┐B)∨(A∧┐D∧┐B)(A∧D∧┐B∧C)∨(A∧D∧┐B∧┐C)∨(A∧┐D∧┐B∧C)∨(A∧┐D∧┐B∧┐C)(A∧D∧┐B∧C)表示甲、丙和丁三人并列成绩最好。(A∧D∧┐B∧┐C)表示甲、丁两人并列成绩最好。(A∧┐D∧┐B∧C)表示甲、丙两人并列成绩最好。(A∧┐D∧┐B∧┐C)表示甲成绩最好。若只有一人成绩最好，是甲。27.三人估计比赛结果，甲说“A第一，B第二”。乙说“C第二，D第四”。丙说“A第二，D第四”。结果三人估计得都不全对，但都对了一个，问A、B、C、D的名次。解：设A：A第一。B：B第二。C：C第二。D：D第四。E：A第二。根据题意有：(A←∣→B)∧(C←∣→D)∧(E←∣→D)成立。将其化为析取范式的形式：(A←∣→B)∧(C←∣→D)∧(E←∣→D)((A∧┐B)∨(┐A∧B))∧((C∧┐D)∨(┐C∧D))∧((E∧┐D)∨(┐E∧D))((A∧┐B∧C∧┐D)∨(A∧┐B∧┐C∧D)∨(┐A∧B∧C∧┐D)∨(┐A∧B∧┐C∧D))∧((E∧┐D)∨(┐E∧D))其中(A∧┐B∧┐C∧D)和(┐A∧B∧C∧┐D)不复合题意，可以从上式中删去，原式化为：((A∧┐B∧C∧┐D)∨(┐A∧B∧┐C∧D))∧((E∧┐D)∨(┐E∧D))(A∧┐B∧C∧┐D∧E∧┐D)∨(┐A∧B∧┐C∧D∧E∧┐D)∨(A∧┐B∧C∧┐D∧┐E∧D)∨(┐A∧B∧┐C∧D∧┐E∧D)(A∧┐B∧C∧┐D∧E)∨(┐A∧B∧┐C∧D∧┐E)(A∧┐B∧C∧┐D∧E)中C和E)同时成立矛盾，故只能是(┐A∧B∧┐C∧D∧┐E)成立，即B第二，D第四，A第三，C第一。28.A，B，C，D四个人中要派两个人出差，按下述三个条件有几种派法？如何派？（1）若A去则C和D要去一人；（2）B和C不能都去；（3）C去则D要留下。解：设A：A去。B：B去。C：C去。D：D去。则（1）可表示为：A→(C←∣→D)；（2）可表示为：┐(B∧C)；（3）可表示为：C→┐D。(1)(2)(3)同时成立，即A→(C←∣→D)∧┐(B∧C)∧(C→┐D)成立。将其化为析取范式的形式：A→(C←∣→D)∧┐(B∧C)∧(C→┐D)(┐A∨(┐C∧D)∨(C∧┐D))∧(┐B∨┐C)∧(┐C∨┐D)(┐A∨(┐C∧D)∨(C∧┐D))∧((┐B∧┐C)∨(┐B∧┐D)∨┐C∨(┐C∧┐D))(┐A∧┐B∧┐C)∨(┐A∧┐B∧┐D)∨(┐A∧┐C)∨(┐A∧┐C∧┐D)∨(┐C∧D∧┐B∧┐C)∨(┐C∧D∧┐B∧┐D)∨(┐C∧D∧┐C)∨(┐C∧D∧┐C∧┐D)∨(C∧┐D∧┐B∧┐C)∨(C∧┐D∧┐B∧┐D)∨(C∧┐D∧┐C)∨(C∧┐D∧┐C∧┐D)(┐A∧┐B∧┐C)∨(┐A∧┐B∧┐D)∨(┐A∧┐C)∨(┐A∧┐C∧┐D)∨(┐B∧┐C∧D)∨(┐C∧D)∨(┐B∧C∧┐D)上式划线的部分不符合题意，因此复合题意的有：(┐A∧┐C)∨(┐B∧┐C∧D)∨(┐C∧D)∨(┐B∧C∧┐D)，(┐A∧┐C)表示B和D去，(┐B∧┐C∧D)表示A和D去，(┐C∧D)表示A和D去或B和D去，(┐B∧C∧┐D)表示A和C去。故总共有三种派法：B和D去，A和D去或A和C去。29.在一个盗窃案件中，已知下列事实：（1）甲或乙是窃贼。（2）甲是窃贼，作案时间不会发生在夜间12点以前。（3）若乙的证词正确，则夜间12点时被盗物品所在房间灯光未灭。（4）若乙的证词不正确，则作案时间发生在夜间12点以前。（5）夜间12点被盗房间的灯光灭了。判断谁是盗贼，用构造证明法写出结论的判断过程。证明：设A：甲是窃贼。B：乙是窃贼。C：作案时间发生在夜间12点以前。D：乙的证词正确。E：夜间12点被盗房间的灯光灭了。则（1）可以表示为：A∨B。（2）可以表示为：A→┐C。（3）可以表示为：D→┐E。（4）可以表示为：┐D→C。（5）可以表示为：E。以下是推理过程：(1)EP(2)D→┐EP(3)┐DT(1)(2)I(4)┐D→CP(5)CT(3)(4)I(6)A→┐CP(7)┐AT(5)(6)I(8)A∨BP(9)BT(7)(8)I所以B成立，即乙是窃贼。30.构造下面推理的证明：（1）如果今天是星期六，我们就要到独秀峰或象鼻山去玩，如果独秀峰游人太多，我们就不去独秀峰。今天是星期六。独秀峰游人太多，所以我们去象鼻山玩。（2）如果马会飞或羊吃草，则母鸡就会是飞鸟，如果母鸡是飞鸟，那么烤熟的鸭子还会跑。烤熟的鸭子不会跑。所以，羊不吃草。证明：（1）P：今天是星期六，Q：我们要到独秀峰去玩，R：我们要到象鼻山去玩，S：独秀峰游人太多。P→(Q←∣→R)，S→┐Q，P，S⇒R（1）SP（2）S→┐QP（3）┐QT（1），（2）I（4）PP（5）P→(Q←∣→R)P（6）Q←∣→RT（4），（5）I（7）┐QT（6）I（8）RT（7）I（2）P：马会飞，Q：羊吃草，R：母鸡就会是飞鸟，S：烤熟的鸭子会跑。（P∨Q）→R，R→S，┐S⇒┐Q（1）┐SP（2）R→SP（3）┐RT（1），（2）I（4）（P∨Q）→RP（5）┐（P∨Q）T（3），（4）I（6）┐P∧┐QT（5）E（7）┐QT（6）I习题二1.用谓词表达式符号化下列命题。（1）小王不是学生。（2）小王聪明而又好学。（3）小王和小张是好朋友。（4）他是田径或球类运动员。（5）若m是奇数，则2m不是奇数。（6）每一个有理数都是实数。（7）某些实数是有理数。（8）并非每一个实数都是有理数。（9）每一个自然数不是奇数就是偶数。（10）不管黑猫白猫，抓住老鼠就是好猫。（11）有会说话的机器人。（12）有的人不吃萝卜，但人都要喝水。解：（1）S(x)：x是学生。w：小王。┐S(w)（2）C(x)：x聪明。S(x)：x好学。w：小王。C(w)∧S(w)（3）F(x，y)：x和y是好朋友。w：小王。z：小张。F(w，z)（4）S(x)：x是田径运动员。B(x)：x是球类运动员。h：他。S(h)∨B(h)（5）O(x)：x是奇数。O(m)→┐O(2m)。（6）Q(x)：x是有理数。R(x)：x是实数。(x)(Q(x)→R(x))（7）Q(x)：x是有理数。R(x)：x是实数。(x)(R(x)∧Q(x))（8）Q(x)：x是有理数。R(x)：x是实数。┐(x)(R(x)→Q(x))（9）N(x)：x是自然数。O(x)：x是奇数。E(x)：x是偶数。(x)(N(x)→(O(x)←∣→E(x)))（10）B(x)：x是黑猫。W(x)：x是白猫。G(x)：x是好猫。Z(x)：x抓住老鼠。论域为{猫}。(x)((B(x)∨W(x))∧Z(x)→G(x))（11）M(x)：x是机器人。T(x)：x会说话。(x)(M(x)∧T(x))（12）M(x)：x是人。E(x)：x吃萝卜。D(x)：x喝水。(x)(M(x)∧┐E(x))∧(x)(M(x)→D(x))2.用谓词表达式符号化下列命题。（1）并非所有大学生都能成为科学家。（2）直线A平行于直线B，当且仅当直线A不相交于直线B。（3）某些运动员是大学生。（4）某些教练员是年老的，但是很健壮。（5）王教练既不年老，也不健壮。（6）某些大学生运动员是国家对选手。（7）所有运动员都钦佩某些教练。（8）有些大学生不钦佩教练。（9）并不是所有的汽车都比火车快。（10）男人一定比女人高，是不对的。（11）某些汽车慢于所有的火车，但至少有一火车快于每一汽车。（12）两个不相等的实数间，必存在第三个实数。解：（1）S(x)：x是大学生。K(x)：x是科学家。┐(x)(S(x)→K(x))（2）P(x,y)：x平行于y。C(x,y)：x与y相交。a：直线A。b：直线B。P(a,b)→←┐C(a,b)（3）S(x)：x是大学生。A(x)：x是运动员。(x)(A(x)∧S(x))（4）T(x)：x是教练员。O(x)：x是年老的。J(x)：x是健壮的。(x)(T(x)∧O(x)∧J(x))（5）O(x)：x是年老的。J(x)：x是健壮的。w：王教练。┐O(w)∧┐J(w)（6）S(x)：x是大学生。A(x)：x是运动员。G(x)：x是国家对选手。(x)(A(x)∧S(x)∧G(x))（7）A(x)：x是运动员。T(x)：x是教练员。P(x,y)：x钦佩y。(x)(A(x)→(y)(T(y)∧P(x,y)))（8）S(x)：x是大学生。T(x)：x是教练员。P(x,y)：x钦佩y。(x)(S(x)∧(y)(T(y)→┐P(x,y)))（9）C(x)：x是汽车。T(x)：x是火车。K(x,y)：x比y快。┐(x)(C(x)→(y)(T(y)→K(x,y)))（10）M(x)：x是男人。W(x)：x是女人。T(x,y)：x比y高。┐(x)(M(x)→(y)(W(y)→T(x,y)))（11）C(x)：x是汽车。T(x)：x是火车。K(x,y)：x比y快。(x)(C(x)∧(y)(T(y)→┐K(x,y)))∧(y)(T(y)∧(x)(C(x)→K(y,x)))（12）R(x)：x是实数。E(x,y)：x等于y。(x)(y)((R(x)∧R(y)∧┐E(x,y))→(z)(R(z)∧┐E(x,z)∧┐E(y,z)))3.试表示出“A是B的外祖父”，只允许用以下谓词：P(x)表示“x是人”，F(x，y)表示“x是y的父亲”，M(x，y)表示“x是y的母亲”。解：P(A)∧P(B)∧P(C)∧F(A，C)∧M(C，B)4.利用谓词公式翻译下列命题。（1）如果有限个数的乘积为零，那么至少有一个因子等于零。（2）对于每一个实数x，存在一个更大的实数y。（3）存在实数x，y和z，使得x与y之和大于x与z之积。解：（1）N(x)：x是有限个数的乘积。Z(y)：y为零。P(x)：x的乘积为零。F(y)：y是乘积中的一个因子。(x)(N(x)∧P(x)→(y)(F(y)∧Z(y)))（2）R(x)：x是实数。Q(x,y)：y大于x。(x)(R(x)→(y)(R(y)∧Q(x,y)))（3）R(x)：x是实数。G(x,y)：x大于y。(x)(y)(z)(R(x)∧R(y)∧R(z)∧G(x+y,x·z))5.自然数一共有3条公理。（1）每个数都有惟一的一个数是它的后继数。（2）没有一个数使数1是它的后继数。（3）每个不等于1的数都有惟一的一个数是它的直接先行者。用两个谓词表达上述3条公理。解：N(x)：x是自然数。S(x,y)：y是x的后继数。（1）(x)(N(x)→(!y)(N(y)∧S(x,y)))（2）┐(x)(N(x)∧S(x,1))（3）(x)(N(x)∧┐S(x,2)→(!y)(N(y)∧S(y,x)))6.对下面的每个公式指出约束变元和自由变元。（1）(x)P(x)→P(y)（2）(x)(P(x)∧Q(x))∧(x)S(x)（3）(x)(y)(P(x)∧Q(y))→(x)R(x)（4）(x)(y)(P(x，y)∧Q(z))解：（1）x为约束变元，受(x)约束，y为自由变元。（2）(P(x)∧Q(x))的x为约束变元，受(x)约束，S(x)的x为约束变元，受(x)约束。（3）(P(x)∧Q(y))的x和y为约束变元，分别受(x)和(y)约束，R(x)的x为约束变元，受(x)约束。（4）(P(x，y)∧Q(z))的x和y为约束变元，分别受(x)和(y)约束，Q(z)中的z为自由变元。7.如果论域是集合{a，b，c}，试消去下面公式中的量词。（1）(x)P(x)（2）(x)P(x)∧(x)Q(x)（3）(x)(P(x)→Q(x))（4）(x)┐(P(x)∨(x)(P(x)解：（1）P(a)∧P(b)∧P(c)（2）(P(a)∧P(b)∧P(c))∧(Q(a)∧Q(b)∧Q(c))（3）(P(a)→Q(a))∧(P(b)→Q(b))∧(P(c)→Q(c))（4）(┐P(a)∧┐P(b)∧┐P(c))∨(P(a)∧P(b)∧P(c))8.试求下列各式的真值。（1）(x)(P(x)∨Q(x))，其中P(x)：x=1，Q(x)：x=2，论域是{1，2}。（2）(x)(P→Q(x))∨R(a)，其中P：2>1，Q(x)：x≤3，R(x)：x>5，a：5，论域是{-2，3，6}。解：（1）(x)(P(x)∨Q(x))(P(1)∨Q(1))∧(P(2)∨Q(2))(T∨F)∧(F∨T)T∧TT（2）(x)(P→Q(x))∨R(a)(P→Q(-2))∧(P→Q(3))∧(P→Q(6))∨R(a)(T→T)∧(T→T)∧(T→F)∨FT∧T∧F∨FF9.对下列谓词公式中的约束变元进行换名。（1）(x)(y)(P(x，z)→Q(y))→←S(x，y)（2）((x)(P(x)→(R(x)∨Q(x)))∧(x)R(x))→(z)S(x，z)解：（1）(u)(v)(P(u，z)→Q(v))→←S(x，y)（2）((u)(P(u)→(R(u)∨Q(u)))∧(v)R(v))→(z)S(x，z)10.对下列谓词公式中的自由变元进行代入。（1）((y)A(x，y)→(x)B(x，z))∧(x)(z)C(x，y，z)（2）((y)P(x，y)∧(z)Q(x，z))∨(x)R(x，y)解：（1）((y)A(u，y)→(x)B(x，v))∧(x)(z)C(x，w，z)（2）((y)P(u，y)∧(z)Q(v，z))∨(x)R(x，w)11.考虑以下赋值。论域D={1，2}指定常数a：1，b：2指定函数f：f(1)=2，f(2)=1指定谓词P：P(1，1)T，P(1，2)T，P(2，1)F，P(2，2)F求以下各式的真值。（1）P(a，f(a))∧P(b，f(b))（2）(x)(y)P(y，x)（3）(x)(y)(P(x，y)→P(f(x)，f(y)))解：（1）P(a，f(a))∧P(b，f(b))P(1，f(1))∧P(2，f(2))P(1，2)∧P(2，1)T∧FF（2）(x)(y)P(y，x)(x)(P(1，x)∨P(2，x))(P(1，1)∨P(2，1))∧(P(1，2)∨P(2，2))(T∨F)∧(T∨F)T∧TT（3）(x)(y)(P(x，y)→P(f(x)，f(y)))(x)((P(x，1)→P(f(x)，f(1)))∧(P(x，2)→P(f(x)，f(2))))((P(1，1)→P(f(1)，f(1)))∧(P(1，2)→P(f(1)，f(2))))∧((P(2，1)→P(f(2)，f(1)))∧(P(2，2)→P(f(2)，f(2))))((T→F)∧(T→F))∧((F→F)∧(F→T))(F∧F)∧(T∧T)F∧TF12.将下面各式翻译成自然语言，然后在不同的个体域中确定它们的真值。（1）(x)(y)(x·y=0)（2）(x)(y)(x·y=0)（3）(x)(y)(x·y=1)（4）(x)(y)(x·y=1)（5）(x)(y)(x·y=x)（6）(x)(y)(x·y=x)（7）(x)(y)(z)(x-y=z)个体域分为（a）实数集合R（b）整数集合Z（c）正整数集合Z+（d）非零实数集合R-{0}解：（1）对于任意的x，存在y，使得x·y=0。（2）存在x，对于任意的y，都有x·y=0。（3）对于任意的x，存在y，使得x·y=1。（4）存在x，对于任意的y，都有x·y=1。（5）对于任意的x，存在y，使得x·y=x。（6）存在x，对于任意的y，都有x·y=x。（7）对于任意的x，任意的y，存在z，使得x-y=z。个体域分为（a）实数集合R（1）真（2）真（3）假（4）假（5）真（6）真（7）真（b）整数集合Z（1）真（2）真（3）假（4）假（5）真（6）真（7）真（c）正整数集合Z+（1）假（2）假（3）假（4）假（5）真（6）假（7）假（d）非零实数集合R-{0}（1）假（2）假（3）真（4）假（5）真（6）假（7）假13.判断下面公式的真假，如果是真，请证明之；如果为假，请给出P和Q的解释，以说明公式为假（1）(x)(P(x)→Q(x))(x)P(x)→(x)Q(x)（2）(x)P(x)→(x)Q(x)(x)(P(x)→Q(x))解：（1）(x)(P(x)→Q(x))(x)(┐P(x)∨Q(x))(x)┐(P(x)∧┐Q(x))┐(x)(P(x)∧┐Q(x))┐((x)P(x)∧(x)┐Q(x))┐(x)P(x)∨┐(x)┐Q(x))(x)┐P(x)∨(x)Q(x))(x)┐P(x)∨(x)Q(x))┐(x)P(x)∨(x)Q(x))(x)P(x)→(x)Q(x)（2）(x)P(x)→(x)Q(x)(x)(P(x)→Q(x))不成立。P(x)：x成绩优秀。Q(x)：x获得奖学金。论域为所有学生。(x)P(x)→(x)Q(x)表示：若所有学生成绩都优秀，则所有学生都获得奖学金。(x)(P(x)→Q(x))表示：任何一个学生，只要成绩优秀，他就获得奖学金。显然“任何一个学生，只要成绩优秀，他就获得奖学金。”可以推出“若所有学生成绩都优秀，则所有学生都获得奖学金。”反之未必成立。14.求证：(x)(P(x)→Q(x))(x)P(x)→(x)Q(x)证明：(x)(P(x)→Q(x))(x)(┐P(x)∨Q(x))(x)┐P(x)∨(x)Q(x))┐(x)P(x)∨(x)Q(x))(x)P(x)→(x)Q(x)15.求证：(x)(y)(P(x)→Q(y))(x)P(x)→(y)Q(y)证明：(x)(y)(P(x)→Q(y))(x)(y)(┐P(x)∨Q(y))(x)┐P(x)∨(y)Q(y)┐(x)P(x)∨(y)Q(y)(x)P(x)→(y)Q(y)16.下列推导过程中有何错误？（1）(x)(P(x)→Q(x))P（2）P(a)→Q(a)US(1)（3）(x)P(x)P（4）P(a)ES(3)（5）Q(a)T(2),(4)I（6）(x)Q(x)EG(5)解：应先消去存在量词。17.把以下各式化为前束范式。（1）(x)(P(x)→(y)Q(x，y))（2）(x)(┐((y)P(x，y))→((z)Q(z)→R(x)))（3）(x)(y)(((z)P(x，y，z)∧(u)Q(x，u))→(v)Q(y，v))解：（1）(x)(P(x)→(y)Q(x，y))(x)(┐P(x)∨(y)Q(x，y))(x)(y)(┐P(x)∨Q(x，y))（2）(x)(┐((y)P(x，y))→((z)Q(z)→R(x)))(x)((y)P(x，y)∨((z)Q(z)→R(x)))(x)((y)P(x，y)∨(┐(z)Q(z)∨R(x)))(x)((y)P(x，y)∨((z)┐Q(z)∨R(x)))(x)(y)(z)(P(x，y)∨┐Q(z)∨R(x))（3）(x)(y)(((z)P(x，y，z)∧(u)Q(x，u))→(v)Q(y，v))(x)(y)(┐((z)P(x，y，z)∧(u)Q(x，u))∨(v)Q(y，v))(x)(y)((z)┐P(x，y，z)∨(u)┐Q(x，u))∨(v)Q(y，v))(x)(y)(z)(u)(v)(┐P(x，y，z)∨┐Q(x，u)∨Q(y，v))18.求等价于下面各式的前束析取范式和前束合取范式。（1）((x)P(x)∨(x)Q(x))→(x)(P(x)∨Q(x))（2）(x)(P(x)→(y)((z)Q(x，y)→┐(z)R(y，x)))（3）(x)P(x)→(x)((z)Q(x，z)∨(z)R(x，y，z))（4）(x)(P(x)→Q(x，y))→((y)P(y)∧(z)Q(y，z))解：（1）((x)P(x)∨(x)Q(x))→(x)(P(x)∨Q(x))因为((x)P(x)∨(x)Q(x))(x)(P(x)∨Q(x))，所以((x)P(x)∨(x)Q(x))→(x)(P(x)∨Q(x))为永真式，不写为前束范式的形式。（2）(x)(P(x)→(y)((z)Q(x，y)→┐(z)R(y，x)))(x)(┐P(x)∨(y)(Q(x，y)→┐R(y，x)))(x)(y)(┐P(x)∨┐Q(x，y)∨┐R(y，x)))前束合取范式(x)(y)((┐P(x)∧Q(x，y)∧R(y，x))∨(┐P(x)∧Q(x，y)∧┐R(y，x))∨(┐P(x)∧┐Q(x，y)∧R(y，x))∨(┐P(x)∧┐Q(x，y)∧┐R(y，x))∨(P(x)∧┐Q(x，y)∧R(y，x))∨(P(x)∧┐Q(x，y)∧┐R(y，x))∨(P(x)∧Q(x，y)∧┐R(y，x)))前束析取范式（3）(x)P(x)→(x)((z)Q(x，z)∨(z)R(x，y，z))┐(x)P(x)∨(x)((z)Q(x，z)∨(z)R(x，y，z))(x)┐P(x)∨(x)((z)Q(x，z)∨(u)R(x，y，u))(x)(┐P(x)∨(z)Q(x，z)∨(u)R(x，y，u))(x)(z)(u)(┐P(x)∨Q(x，z)∨R(x，y，u))前束合取范式(x)(z)(u)((┐P(x)∧Q(x，z)∧R(x，y，u))∨(┐P(x)∧Q(x，z)∧┐R(x，y，u))∨(┐P(x)∧┐Q(x，z)∧R(x，y，u))∨(┐P(x)∧┐Q(x，z)∧┐R(x，y，u))∨(P(x)∧Q(x，z)∧R(x，y，u))∨(P(x)∧Q(x，z)∧┐R(x，y，u))∨(P(x)∧┐Q(x，z)∧R(x，y，u)))前束析取范式（4）(x)(P(x)→Q(x，y))→((y)P(y)∧(z)Q(y，z))┐(x)(┐P(x)∨Q(x，y))∨((y)P(y)∧(z)Q(y，z))(x)(P(x)∧┐Q(x，y))∨((u)P(u)∧(z)Q(y，z))(x)(u)(z)((P(x)∧┐Q(x，y))∨(P(u)∧Q(y，z))前束析取范式(x)(u)(z)((P(x)∨P(u))∧(P(x)∨Q(y，z))∧(┐Q(x，y)∨P(u))∧(┐Q(x，y)∨Q(y，z)))前束合取范式19.求下列各式的斯柯伦范式。（1）(x)P(x)∧┐(x)Q(x)（2）(x)P(x)→(x)Q(x)（3）((x)P(x)∨(y)Q(y))→(x)R(x)（4）(x)(P(x)→Q(x，y))→((y)R(y)→(z)S(y，z))解：（1）(x)P(x)∧┐(x)Q(x)(x)P(x)∧┐(y)Q(y)(y)(x)(P(x)∧┐Q(y))（2）(x)P(x)→(x)Q(x)(x)P(x)→(y)Q(y)(x)(y)(P(x)→Q(y))（3）((x)P(x)∨(y)Q(y))→(x)R(x)┐((x)P(x)∨(y)Q(y))∨(x)R(x)(┐(x)P(x)∧┐(y)Q(y))∨(x)R(x)((x)┐P(x)∧(y)┐Q(y))∨(x)R(x)(x)(y)(z)(┐P(x)∧┐Q(y)∨R(z))（4）(x)