ce=_=a12,1•c=?a,a2—c2=a2a2.押题精练22已知点F是双曲线a小•2丄2/丄、2°b_2cb+2ac…Xi+X2=(xi+X2)—2X1X2=2+aa-b2=1(a>0,b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是.答案(1,2)【详细分析】由AB丄x轴，可知△ABE为等腰三角形，又厶ABE是锐角三角形，所以/AEBb2222为锐角，即/AEF<45°于是AF
1，从而1b>0)的离心率为e=*,右焦点为F(c,0)，方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为X!和X2,则点PX,X2)必在圆x2+y2=2.(填“内”“外”“上”)答案内【详细分析】T乂件X2=—b,Xix2=—c.aa2c14a+2aX2a72,2427小…X1+X2=2=~<2.a4•-P(X1,X2)在圆x2+y2=2内.3.过抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上一点A(a,0)(a>0)的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线I:x=—a作垂线，垂足分别为M1、N1.(1)当a=p时，求证：AM」AN仁⑵记△AMM1、△AM1N1、△ANN1的面积分别为S、％S3.是否存在入使得对任意的a>0,都有S2=入1S3成立？若存在，求出入的值；若不存在，说明理由.(1)证明当a=p时，A(p,0)为该抛物线的焦点,由抛物线的定义知MA=MMi,NA=NNi,则/NNiA=ZNANi,/MMiA=ZMAM1.又/NNiA=ZBANi,ZMMiA=ZBAMi,则ZBANi+ZBAMi=ZNANi+ZMAMi,而ZBANi+ZBAMi+ZNANi+ZMAMi=i80°则ZNiAMi=ZBANi+ZBAMi=90°所以AMi丄ANi.⑵解可设直线MN的方程为x=my+a,x=my+a,2由丫2得y—2pmy—2pa=0.y=2px设M(xi,yi),N(x2,y2)，则yi+y2=2pm,yiy2=—2pa.iSi=2(xi+a)lyi|,S2=2(2a)|yi—y2|,1S3=2(X2+a)|y2|,由已知£=入iS3恒成立，则224a(yi—y2)=Xxi+a)(X2+a)|yiy2|.2222(yi—y2)=(yi+y2)—4yiy2=4pm+8pa,(xi+a)(x2+a)=(myi+2a)(my2+2a)2=myiy2+2ma(yi+y2)+4a2222=m(—2pa)+2max2pm+4a=4a+2pam.则得4a2(4p2m2+8pa)=2pa?(4a2+2pam2),解得=4,即当匸4时，对任意的a>0，都有S2=©S3成立.专题突破练（推荐时间：70分钟）、填空题1.设抛物线C:y2=2px(p>o)的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，贝UC的方程为.答案y2=4x或y2=16x【详细分析】由题意知：F号，0,抛物线的准线方程为x=-号，则由抛物线的定义知，XM=5-p，设以MF为直径的圆的圆心为g,yM］所以圆的方程为［x-2I2+J—yM/=25,又因为圆过点(0,2)，所以yM=4，又因为点M在C上，所以16=2p5—p，解得p=2或p=8,所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x.222.与椭圆$+16=1共焦点，离心率互为倒数的双曲线方程是2答案y2—专=i【详细分析】椭圆沪16=1的离心率为12，且焦点为(0,戈)，所以所求双曲线的焦点为(0,±2)且离心率为2,所以c=2,-=2得a=1,b2=c2—a2=3,故所求双曲a2线方程是y2—专=1.已知点A(2,0)，抛物线C:x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，贝UFM:MN=.【详细分析】由抛物线定义知离MH.即FM:MN=MH:MN=FO:AF=1:,5.22过双曲线字一器=1(a>0,b>0)的右焦点F，作圆x2+y2=a2的切线FM交y轴于点P,切圆于点M,2OM=OF+OP，则双曲线的离心率是.答案、2【详细分析】由已知条件知，点M为直三角形OFP斜边PF的中点，故OF=.2OM，即c=2a,所以双曲线的离心率为25.抛物线Ci：y=122px(p>o)的焦点与双曲线2C2:号—y2=i的右焦点的连线交Ci于第一象限的点M.若Ci在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p等于答案4333【详细分析】抛物线Ci的
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方程为X2=2py,其焦点F为0,2，双曲线C2的右焦点F'为(2,0)，渐近线方程为由y'=討■/得x=爭’故m*,p.由F、F'、M三点共线得p=433.3226.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线X—2.a=1的离心率为｛5,则m的值为mm十4答案2【详细分析】建立关于m的方程求解.222,m+m十4=5,-c=m+m十4,2e2=C2=a2•••m—4m+4=0,m=2.227.椭圆M:j十b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为Fi、F2,P为椭圆M上任一点，且PFiPF2的最大值的取值范围是［c2,3c2］，其中c=a2—b2，则椭圆M的离心率e的取值范围是答案戌*【详细分析】设P(x,y),Fi(—c,0),F2(c,0),则PFi=(—c—x,—y),PF2=(c—x,—y),tt222PFiPF2=x十y—c.又x2+y2可看作P(x,y)到原点的距离的平方，所以(x2+y2)max=a2,所以(PFiPF2)max=『，所以c2wb2=a2—c2w3c2,即e2<|,所以1b>0)的左，右焦点分别为Fi,F2,焦距为2c.若直线y={3(x+c)与椭圆r的一个交点M满足/MFiF2=2/MF2F1,则该椭圆的离心率等于答案【3—1【详细分析】由直线方程为y=.3(x+c),知/MFiF2=60°又/MFiF2=2/MF2F1,所以/MF2Fi=30°MF」MF2,所以MFi=c,MF2=.3c,所以MFi+MF2=c+.3c=2a.即e=a=3—i.229.已知F为双曲线C:x9—i6=i的左焦点，P,Q为c上的点•若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为.答案44【详细分析】由双曲线C的方程，知a=3,b=4,c=5,•••点A(5,0)是双曲线C的右焦点,且PQ=QA+PA=4b=16,由双曲线定义，PF—PA=6,QF—QA=6.•PF+QF=12+PA+QA=28,因此△PQF的周长为PF+QF+PQ=28+16=44.2210.已知P为椭圆h+二=1上的一点，M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x—3)2+y2=4上2516的点，贝UPM+PN的最小值为.答案7【详细分析】由题意知椭圆的两个焦点Fi,F2分别是两圆的圆心，且PFi+PF2=10,从而PM+PN的最小值为PFi+PF2—1-2=7.二、解答题22Xyl11.平面直角坐标系xOy中，过椭圆M:a因为P为AB的中点，且OP的斜率为,所以yo=2x0,即卩y1+y2=1(x1+X2).所以可以解得a2=2b2,即卩a2=2(a2—c2),即卩a2=2c2,又因为c=.3，所以a2=6,2所以M的方程为X+二=1.⑵因为CD丄AB,直线AB方程为x+y—3=0,所以设直线CD方程为y=x+m,22将x+y—,3=0代入x+3=1得:+b2=1(a>b>0)右焦点的直线x+y—3=0交M1于A,B两点，P为AB的中点，且0P的斜率为2.求M的方程；C,D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD丄AB,求四边形ACBD面积的最大值.解(1)设A(X1,y1),B(x2,y2),则22X12+a=1①-②，得X1—X22X1+X2*y1—y2y1+y2=0.by1—y2因为=-1,设P(xo,yo),所以可得AB=4*63；3x2—43x=0,即卩A(0,3),X1—X222将y=x+m代入x+%=1得:63223x+4mx+2m—6=0,18—2m2,设C(X3,y3),D(X4,y4),则CD=■,2.1X3+X42—4x3X4=又因为△=16m2—12(2m2—6)>0，即一3b>0)经过点P1,1e=2直线I的方程为x=4.I，离心率求椭圆C的方程；AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线I相交于点M，记FA、PB、PM的斜率分别为k?、k3.问：是否存在常数入使得划+k2=入k若存在，求入(1)由P的值；若不存在，说明理由.=1上，得4b2=1,又e=a=2,得a2=4c2,b2=3c2,②代入①得，c2=1,a2=4,b2=3.22故椭圆方程为x+y=1.3(2)设直线AB的方程为y=k(x—1),A(X1,y”，B(X2,y2).得,y=kx—1由x2y2+丄=1.43(4k2+3)x2—8k2x+4k2—12=0,8k24k2—12TOC\o"1-5"\h\zXl+X2=2,X1X2=24k2+34k2+333yi—2y2—2ki+k2=+Xi—1X2—1d3d3kX1—1—kX2—1—+X1—1X2—1=2k—I1込1一1X1+X2—228k一2224k2+33k—3k3=二1k—2,=2k—2•2X1X2—X1+X2+1=2k-2r4k—128k2“2—2+14k+34k+3=2k—1.又将x=4代入y=k(X—1)得M(4,3k),2+k2=2k3.故存在常数入=2符合题意.13.已知中心在原点，焦点在X轴上的椭圆C的离心率为2其一个顶点的抛物线x2=—43y的焦点.(1)求椭圆C的标准方程；⑵若过点P(2,1)的直线I与椭圆C在第一象限相切于点M，求直线I的方程和点M的坐标；⑶是否存在过点P(2,1)的直线I1与椭圆C相交于不同的两点A,B,且满足PAPB=PM2?若存在，求出直线I1的方程；若不存在，请说明理由.22解(1)设椭圆C的方程为X2+y2=1(a>b>0),ab由题意得b=.3,C=1，解得a=2,c=1.a222故椭圆C的标准方程为x+y=1⑵因为过点P(2,1)的直线I与椭圆C在第一象限相切，所以直线I的斜率存在,故可设直线I的方程为y=k(x—2)+1(kz0)..22X5+汁1由4即[X1X2—2(X1+X2)+4](1+k1)=4.y=kx—2+1得(3+4k2)x2—8k(2k—1)x+16k2—16k—8=0.因为直线I与椭圆C相切,所以△=[—8k(2k—1)]2—4(3+4k2)(16k2—16k—8)=0.1整理，得32(6k+3)=0,解得k=—311所以直线I的方程为y=—^(x—2)+1=—2x+2.将k=—寸代入①式，可以解得M点的横坐标为1,故切点M的坐标为1,I.⑶若存在直线I1满足条件，则直线I1的斜率存在，设其方程为y=k1(x—2)+1，代入椭圆C的方程得222(3+4k1)x—8k1(2k1—1)x+16k1—16k1—8=0.设A(X1,y1),B(X2,y2),因为直线I1与椭圆C相交于不同的两点A,B,222所以△=[—8k1(2k1—1)]—4(3+4k1)(16k1—16k1—8)=32(6k+3)>0.1216k1—16k1—8X1x2=所以k1>—夕8k1(2k1—1)X1+x2=2，+4k2—>—>—>2因为PAPB=PM2,5即(x1—2)(X2—2)+(y1—1)(y2—1)=4,所以(X1—2)(x2—2)(1+k1)=4,「16诸—16ki—8所以Fk厂—28k^+4(1+k2)3+4ki于是存在直线li满足条件，其方程为y=gx.,’2+4ki53+4ki4解得ki=g.1因为A,B为不同的两点，所以ki=2
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