直线的倾斜角与斜率第一课时新知探究问题1 我们知道，经过平面直角坐标系中的一点，可以有无数条不同的直线，如图所示，过同一点的直线l1，l2，l3，l4，它们彼此之间的不同点是什么？你能找到一个量来描述他们的不同点吗？你找到的量，能够使图中任意两条不同的直线都有不同的取值吗？一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角；如果这条直线与x轴平行或重合，则规定这条直线的倾斜角为0°．这样直线倾斜角的取值范围为[0°，180°）（即[0，π））．新知探究问题2 平面直角坐标系中的两点可以确定一条直线，那么这两点当然也可以确定直线的倾斜角．如图所示，分别写出以下直线的倾斜角，并总结出一般的结论经过A（－1，－1）B（3，－1）的直线l1，1xyO1l3DFCBAEl1l2经过C（2，1），D（2，2）的直线l2；经过E（－1，0），F（1，2）的直线l3．因为A，B两点的纵坐标相同而横坐标不同，所以直线l1的倾斜角为0°；因为C，D两点的横坐标相同而纵坐标不同，所以直线l2的倾斜角为90°；对于E，F来说，如果过F点作x轴的垂线FN且N为垂足，则可以看出△ENF是等腰直角三角形，因此l3的倾斜角为45°．N新知探究问题3 一般地，如果A（x1，y1），B（x2，y2）是直线l上两个不同的点，直线l的倾斜角为θ，尝试填写下面的空白．（1）当y1＝y2时（此时必有x1≠x2），θ＝______；（2）当x1=x2时（此时必有y1≠y2），θ＝______；（3）当x1≠x2且y1≠y2时，可以构造以AB为斜边且两直角边分别平行与坐标轴或在坐标轴上的直角三角形，此时，tanθ＝________，而且这个式子在x1≠x2且y1＝y2也是成立的．一般地，如果A（x1，y1），B（x2，y2）是直线l上两个不同的点，直线l的倾斜角为θ，则（2）当x1=x2时（此时必有y1≠y2），θ＝90°（1）当y1＝y2时（此时必有x1≠x2），θ＝0°0°90°新知探究问题3 一般地，如果A（x1，y1），B（x2，y2）是直线l上两个不同的点，直线l的倾斜角为θ，尝试填写下面的空白．（1）当y1＝y2时（此时必有x1≠x2），θ＝______；（2）当x1=x2时（此时必有y1≠y2），θ＝______；（3）当x1≠x2且y1≠y2时，可以构造以AB为斜边且两直角边分别平行与坐标轴或在坐标轴上的直角三角形，此时，tanθ＝________，而且这个式子在x1≠x2且y1＝y2也是成立的．一般地，如果A（x1，y1），B（x2，y2）是直线l上两个不同的点，直线l的倾斜角为θ，则（3）当x1≠x2且y1≠y2时，可以构造以AB为斜边且两直角边分别平行与坐标轴或在坐标轴上的直角三角形，0°90°此时， ，而且这个式子在x1≠x2且y1＝y2也是成立的．新知探究（1）一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝tanθ为直线l的斜率；当θ＝90°时，称直线l的斜率不存在．（2）若A（x1，y1），B（x2，y2）是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的斜率为当x1＝x2时，直线l的斜率不存在．初步应用例1 已知直线l经过点A（－1，3）与B（0，2），求直线l的斜率k与倾斜角θ．解答：因为A，B两点的横坐标不相等，所以斜率因此tanθ＝-1，由θ∈[0，π）可知倾斜角初步应用例2 已知平面直角坐标系中的四条直线l1，l2，l3，l4如图所示，设它们的倾斜角分别为θ1，θ2，θ3，θ4，而且斜率分别为k1，k2，k3，k4，分别将倾斜角和斜率按照从小到大的顺序排列．解答：按照倾斜角的定义，从图上可以看出θ1＜θ2＜θ3＜θ4，因为ki＝tanθi，i＝1，2，3，4，又因为正切函数在[0，）递增且函数值大于0，在[，π）递增且函数值小于0，所以k3＜k4＜k1＜k2．1xyO1l4Al1l3l2初步应用当直线的倾斜角为0°时，直线的斜率为0；当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率为正数，此时直线的斜率随着倾斜角的增大而增大；问题4 通过这个例题，请同学们总结斜率随倾斜角变化的规律？当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在；当直线的倾斜角为钝角时，直线的斜率为负数，此时直线的斜率随着倾斜角的增大而增大．同样，直线的斜率也可以反映倾斜角的范围．初步应用问题5 从直线的倾斜角与斜率都反映了直线相对于x轴的倾斜程度这一点出发，考察平面直角坐标系中三个不同的点共线的充要条件，并举例说明．平面直角坐标系中每一条直线的倾斜角与斜率都是唯一的，因此可以看出，平面直角坐标系中三个不同的点共线的充要条件，从倾斜角考虑，是任意两点确定的直线的倾斜角都相等；从斜率考虑，是任意两点确定的直线的斜率，要么都不存在，要么都相等．初步应用问题5 从直线的倾斜角与斜率都反映了直线相对于x轴的倾斜程度这一点出发，考察平面直角坐标系中三个不同的点共线的充要条件，并举例说明．例如，如右上图，对于A（－2，0），B（0，2），C（1，3），有因此KAB＝KAC，从而直线AB与直线AC的倾斜角也相等，因此A，B，C三点共线．1xyO1BCA1xyO1EFD如右下图，对于D（－2，0），E（－1，2），F（0，3）有此KFD≠KFE，从而直线FE与直线FD的倾斜角也不相等，因此E，F，D三点不共线．初步应用例3 已知A（－2，－1），B（0，－3），C（1，－4），D（2，－6），则A，B，C三点共线吗？A，B，D呢？所以KAB＝KAC≠KAD，因此A，B，C三点共线，A，B，D三点不共线．解答：因为归纳小结问题6 什么是斜率？斜率的表达式是什么？一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝tanθ为直线l的斜率；当θ＝90°时，称直线l的斜率不存在．若A（x1，y1），B（x2，y2）是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的斜率为当x1＝x2时，直线l的斜率不存在．作业布置作业：教科书练习1目标检测如图所示，直线l的倾斜角为（ ）CA．30°B．60°C．120°D．以上都不对解析：根据倾斜角的定义知，直线l的倾斜角为30°＋90°＝120°．2目标检测直线l过点M（1，2），N（2，5），则l的斜率为（ ）AA．3B．－3C．D．解析：根据题意，l的斜率为＝3．目标检测解答：设直线的倾斜角为α，斜率为k，当0°≤α＜90°时，k＝tanα≥0，当α＝90°时无斜率，当90°＜α＜135°时，k＝tanα＜－1，故直线l的斜率k的取值范围是（－∞，－1）∪[0，＋∞）．3已知直线l的倾斜角为α，且0°≤α＜135°，则直线l的斜率的取值范围是________．（－∞，－1）∪[0，＋∞）谢谢大家敬请各位老师提出宝贵
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文理分科指导河道管理范围浙江建筑工程概算定额教材专家评审意见党员教师互相批评意见
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