教学案例基本信息题目一元二次方程根与系数的关系学科数学年级九年级教材内容人教版九年级上册第二十三章第3节：一元二次方程根与系数的关系个人信息姓名单位
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者徐跃鉴江西省万年县石镇中学教材
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一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以前一单元中的求根公式为基础的。教材通过一元二次方2程ax+bx+c=0(a≠0)的根x1、x2得出一元二次方程根与系数的关系，以及以数x1、x2为根的一元二次方程的求方程模型。然后通过4个例题介绍了利用根与系数的关系简化一些计算的知识。学情分析1．学生已学习用求根公式法解一元二次方程，。2．本课的教学对象是初中三年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，3．在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。教学目标1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。3、情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。教学重点和难点1、重点：一元二次方程根与系数的关系。2、难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言
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述，以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。教学过程教学环节教师活动预设学生行为设计意图解下列方程：2x2+5x+3=03x2-2x-8=0此得出一元二次方程并根据问题2和以上的求解填写下的根与系数的关系；还表2若方程ax+bx+c=0（a≠0）的两根可以让学生用自己的请观察上表，你能发现两根之和、两为语言表述这种关系，来根之积与方程的系数之间有什么关x1=，x2=。加深理解和记忆。系吗？则这个关系是一个法国问题引探问题4.请根据以上的观察发现进一x1+x2=+=数学家韦达发现的，所2；步猜想：方程ax+bx+c=0（a≠0）的x1x2=·以也称之为韦达定理。根x1，x2与a、b、c之间的关系：____________。问题5.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。分小组讨论以上的问题，并作出推理证明。2问题6.在方程ax+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c的作用吗？（引导学生反思本设计采用“实践——性小结）观察——发现——猜①二次项系数a是否为零，决定着方想——证明”的过程，程是否为二次方程；使学生既动手又动脑，②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程且又动口，教师引导启两根互为相反数；探索发现学生交流探讨发，避免注入式地讲授2③当a≠0时，△=b<-4ac>可判定根一元二次方程根与系的情况；数的关系，体现学生的2④当a≠0，b<-4ac>≥0时，主体学习特性，培养了x1+x2=，x1x2=。学生的创新意识和创⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为新精神。0。1）2x2-3x+1=0x1+x2=________x1x2=_________（2）3x2+5x=0x1+x2=________x1x2=根据根与系数的关系写出下列方程__________尝试发展的两根之和与两根之积（方程两根为此试一试、巩固知识（3）5x2+x-2=0x1+x2=x1，x2、k是常数）_________x1x2=__________（4）5x2+kx-6=0x1+x2=_________x1x2=__________利用根与系数的关系，求一元二次方将平方和、倒数和转化程2x2-3x-1=0的两个根的（1）平方222拓展创新x1+x2=(x1+x2)-2x1x2;为两根和与积的代数和，（2）倒数和。式讨论：解上面问题的思路是什么？1、方程的根是由系数决定的。2、a≠02时，方程ax+bx+c=0是一元二次方2师生共同归程。3、当a≠0，b-4ac≥0时，本课主要研究了什么？回顾
总结
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2纳小结x1+x2=，x1x2=。4、b-4ac的值可判定根的情况。5、方程根与系数关系的有关应用。板书设计一元二次方程根与系数的关系2如果ax+bx+c=0（a≠0）的两根是x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=。2问题6.在方程ax+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c的作用吗？①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；2③当a≠0时，△=b<-4ac>可判定根的情况；2④当a≠0，b<-4ac>≥0时，x1+x2=，x1x2=。⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0。学生学习活动评价设计本节课充分让学生分析、观察、提高了学生的归纳能力及推理论证的能力教学反思1、一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础。2．以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力3．一元二次方程的根与系数的关系，在中考中多以填空，选择，解答题的形式出现，考查的频率较高，也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成部分。4、使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能力。力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习，获得数学活动经验，教师应注意引导。
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