狄拉克符号在有限群表示论中的应用

狄拉克符号在有限群表示论中的应用 狄拉克符号在有限群表示论中的应用 2010年9月 第47卷第5期 四川大学(自然科学版) JournalofSichuanUniversity(NaturalScienceEdition) Sep.2010 Vo1.47NO.5 doi:103969/j.issn.0490—6756.2010.05.031 狄拉克符号在有限群表示论中的应用 黎雷,陶军,张修明. (1.西南科技大学理学院,绵阳621010; 2.四川大学物理科学与技术学院,成都610064; 3.电子科技大学物理电子学院,成都610054) 摘要:根据量子力学中狄拉克符号适用于线性空间理论这一性质,作者将该符号体系用于 有限群表示论中,首先得到左正则表示与右正则表示的普遍关系.然后在该符号体系帮助下更 深刻的理解正交性定理与完备性定理,并且推导出正交性定理的第二种形式.最后重新表述特 征标相关理论,并在此基础上讨论特征标第二正交关系与正交性定理第二种形式问的联系. 关键词:量子力学;有限群表示论;狄拉克符号 中图分类号:O411.1文献标识码:A文章编号:0490—6756(2010)05—1099—04 TheapplicationsofdiracnotationsinrepresentatiOn theoryoffinitegroups LILei,TAOJun,ZHANGXiu—Ming. (1.SchoolofScience,SouthwestUniversityofScienceandTechnology,Mianyang621010, China; 2.SchoolofPhysicalScienceandTechnology,SichuanUniversity,Chengdu610064,China 3.SchoolofPhysicalElectronics,UniversityofElectronicScienceandTechnologyofChina,Chengdu610054,China) Abstract:BecausetheDiracnotationsareapplicabletotheoriesoflinearspace,theauthorsapplysuch notationstorepresentati0ntheoryoffinitegroups.Thegeneralrelationsbetweenleftandrightregular representati0nsareobtainedfirstly.Thenwiththehelpofsuchnotationsmoreprofoundcomprehension isacquiredintheorthogonalitytheoremandthecompletenessrelation,andthesecondorthogonalityre, lationisderivedeither.Finallybasedonre— expressingtheoriesforcharacters,therelationsbetweensec— ondorthogonalityrelationforcharactersandthesecondorthogonalityrelationarealsodiscussed. Keywords:quantummechanics,representationtheoryoffinitegroups,Diracnotations 1引 群论早已广泛应用到固体物理,核物理,粒子 物理和场论等物理学各个方向[卜引,在物理应用中 群表示理论起着非常关键的作用,例如,固体物理 中用空间群对晶体进行分类,并且根据空间群的不 可约表示来讨论能带的结构;中心力场中电子的能 级结构和简并度由群表示理论直接决定;历史上, 对夸克这种基本粒子的理论预言,就是利用群的表 示].有限群表示理论是群表示理论的一个重要组 成部分,其中一些定理可以用于紧致李群的表示理 论中[5].不过这部分内容的传统数学表述似乎不利 于初学者掌握其要领,某些定理的证明也较为繁 琐. 收稿日期:2009—1l一30 基金项目:西南科技大学博士基金(06ZX7115) 作者简介:黎雷(1978一),男,四川省青神县人,讲师,研究方向为粒子物理和凝聚态 物理.E-mail:lilei@swust.edu.cn 言 110O四川大学(自然科学版)第47卷 在量子物理中狄拉克符号的引入不仅可以使 物理公式的表达非常简洁,更重要的是能将公式背 后所隐含的物理概念和内涵作更加深刻的表述.狄 拉克符号[6]最早是用于表述量子力学希尔伯特空 间中的矢量,但根据该符号体系的引入过程可见, 它也能应用于更一般的线性空间.文章把狄拉克符 号应用到有限群的表示理论中,发现不但可以简洁 深刻的表述有限群表示论中的相关定理,还可以方 便的得到有限群左,右正则表示问的普遍关系,简 化部分定理的证明. 文章结构如下,首先把狄拉克符号运用到群空 间中,讨论其在群正则表示中的应用,得出左,右正 则表示间的普遍关系;接着重新表述有限群表示理 论中的正交性,完备性定理,并得出正交性定理的 第二种形式;最后在群表示特征标理论这部分中给 出特征标第一,第二正交关系非常清晰明了的证 明,且详细讨论了正交性定理的第二种形式与特征 标第二正交关系之间的联系. R(gi)gj—gjg一gz 知<幻Ig7一<glI=<ggjl,所以对右正则 表示有: R(g)=?fgi><gifgfg><gl— ?珥 ?Igi<gigjI(4) 上式推导中用到作为群空间的算符保持内积不变, 故是幺正算符:g7=g/+.比较(3),(4)两式,可见 左,右正则表示间的关系为: L(g)=R(g)(5) 从以上推导可见,左正则表示就是把群元算符g 向右作用在右矢空间j>上,而右正则表示则是把 群元算符g『向左作用在左矢空间<l上.上面已 经将有限群正则表示换成量子力学的语言,其核心 想法是在正则表示空间中有内积概念,因此这些概 念完全和量子力学希尔伯特空间的所有特征类似, 要紧的是,采用这里的语言更加直接,更加简单.接 下来将把此语言用到群表示论的其它定理中. 2左,右正则表示间的普遍关系3正交性定理的第二种表述形式 取群空间V.(严格说来应为群代数R.)作为 有限群G的表示空间,群元在中既是矢量又是 线性算符,故可定义群G的左正则表示L(G)或右 正则表示R(G),并且在左,右正则表示中,表示空 间的基矢都取作群元g,满足: (gf,毋)=如,gf,gJ?Rc 根据狄拉克符号,引入左矢空间<I和右矢空间 I>,上述基矢可表为: Igl毋>,<gl—Ig,>(1) 它们满足如下正交,完备关系: IgiIgi>=如,?Jgi><giI—(2i 为群空间的恒等算符.左矢空间,右矢空间再加 上它们之间内积的定义合起来等价于原来定义了 内积的群空间. 把左正则表示的定义 L(g)gi—gfg一,gf,gJ,gk?G 表述为狄拉克符号形式: glg』>一Igk>一lgg> 由(2)式的完备性表述,对左正则表示: L(g)一?Ig><gIgIg』><gjI—,m ?Igigi><giI J 同样可由右正则表示的定义: 有限群不等价不可约表示中正交性定理表述为: ?A二(g)Agi)=== n3,, p 其中为有限群G的阶,A一,A为G的不等价不可 约幺正表示,表示维数分别为:s.,.仿照量子力学 中<I>三<I>三(),引人IA> 代表群空间V中的矢量,则..Ap(毋)= <gIA二>,A二(g)I*一<A二Ig>.根据 (2)式中的完备性,该正交性定理可重新表为: <AIA一,,(6) (6)式表明A:>作为群空间的矢量互相正交,再 由完备性定理,所有这些矢量{fA二>)可以作为群 空间V.的完备基矢组,即: ?I><A二j一声'?v一 ?』><I一 p,? 其中l>三?詈fA二>为正交归一基矢?至此 可以看到对群空间可以选择(1g>)或 {l>)这两套不同的正交归一基矢组进行理 第5期黎雷等:狄拉克符号在有限群表示论中的应用1101 论表述.在(7)式两端同时左乘<gl,右乘 fgJ>: 善<gfIA二P><A二lgl>一<J.毋> 又可推导出正交性定理的第二种表述形式: ?s,fA品()A:(g):(8)p'' 4有限群特征标理论 在群表示的特征标理论中,表示的特征标定义 为: z(g):TrA(g)一?A(g) 根据前面的讨论引入I>这一群空间矢量 z(g)=<gl>,I;c>一?IA>(9) 对有限群G的不等价不可约幺正表示A一,A,可定 义相应的特征标矢量l>,I>对它们做内积: <l>一?<ApIAt,,>= _rt?,,一 再利用(2)式中的完备关系即得特征标第一正交关 系: 音<Jl>一 1"l ?(g)'(g)一(1o)i 因为对群G同一类元素的特征标相同,故特征 标x(g)实际上是类的函数.设群G有个类,第 K类有个元素,群元g?K,对不可约表示Ap 有: 一 ):去)= <Kl;(>,g?K类 即:JK>一去J>?全体IKi>(=1,2, …,)构成群空间.的子空间,称为类空间.不同 的类无公共元素,故: <KfIKj>一0,i?.『 对同一类 <K>=(丢)耋<g>=丢 于是得到类空间以(IK>}为基矢的正交,完备关 系: <KilKj>一,K><一Ic (11) J.为类空间的单位算符. 由有限群的所有不等价不可约表示特征标在 类空间是完备的这一定理,也可以选与不可约表示 对应的I一>(p一1,2,…,口)作为类空间的正交, 完备基,根据这一定理豫一q,g为有限群G不等价 不可约表示的个数,即: <3(一>=,?1><一I P1? (12) 由(11),(12)两式: <K{IKj>一 1<K iI><IKJ>一d 即得出特征标第二正交关系: ?(K)(K)=(13) 特征标第二正交关系与正交性定理的第二种形式 (8)式是密切相联的,从(8)式出发: = (毋)一p,'v? ?P()A二 ?二(g)A0()一,"v" ?Tr(A(ggi))p? 由重排定理和特征标的定义及性质可得: ?s(g):?s(K)一蛾, 这里e代表群G的单位元素,对应的类为K: ().根据():,结合特征标第二正交关系式 (13),可见(14)式恰是其中K:K的情况;显然 (14)式还包括了勃恩赛德定理?s;:. 5结语 从以上讨论可以看到,采用狄拉克符号,简化 了某些繁琐的证明过程,能使有限群表示论中公式 的推导更加清楚和直截了当,含义也更加深刻,特 别是所得的左,右正则表示问的普遍关系具有一定 的应用价值,而正交性定理的第二种形式又具有一 定的理论意义.值得一提的是,国内外一些关于群 论及其在物理中应用的着作中已用到狄拉克符号 来表述非希尔伯特空间上的理论,比如陈金全的着 作中多次用此符号体系表述一般线性空间的基 矢,马中骐的着作中用于讨论半单李代数的正则 形式;而Cornwell的着作?中则用来表述连续群. 总之狄拉克符号不光在量子物理中有着极其重要 1102四川大学(自然科学版)第47卷 的地位,在群表示论中也起着不可忽视的作用. 参考文献: SattingerDH,WeaverOL.Liegroupsandalgebras withapplicationstOphysics,geometry,andmechan— ies[M].NewYork:Springer-Verlag,1986;Gil— moreR.Liegroups,physics,andgeometry[M]. Cambridge:CambridgeUniversityPress,2008;徐婉 棠,喀兴林.群论及其在固体物理中的应用[M-1.北 京:高等教育出版社,2004. 宋元军,王顺金,王庆武,等.代数结构破缺对几何 相位的影响口].四川大学:自然科学版,2007, 44(1):115. 张华,吕晓夫.利用手征微扰理论计算强子八重态 的质量EJ1.四川大学:自然科学版,2006,43 (1):151. Gell—MannMAschematicofbaryonsandmesons /-j].PhysLett,1964,8(3):214;ZweigG.AnSU (3)modelforstronginteractionsymmetryandits breakingI-J].CERNReport,1964,No.8181/Th 8419. 韩其智,孙洪洲.群论[M].北京:北京大学出版 社,1985. DiracPAM.Theprinciplesofquantummechanics [M].4Ed.Oxford:OxfordUniversityPress, 1958. 陈金全.群表示论的新途径[M].上海:上海科学 技术出版社,1984. 马中骐.物理学中的群论[M].2版.北京:科学出 版社,2006. CornwellJF.Grouptheoryinphysics:Anintroduc— tion[M].London:AcademicPress,1997:283. [责任编辑:陈向荣] ]]]]]I竺I ]]]]I=lI竺J