基本不等式（1）年级：高一学科：数学（人教A版）基本不等式（１）年级：高一学科：数学（人教A版）主讲人：马琳 学校：北京市第二十二中学我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用.那么，是否也有一些不等式，他们在解决不等式问
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时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面就来研究这个问题.前面，我们利用完全平方公式得到了一类重要不等式， ， ．当且仅当 时，等号成立.请同学们观察这个不等式，它的左边是两个数的平方的和，右边是这两个数的乘积的2倍．问题1特别地，如果,我们用分别代替上式中的可以得到怎样的式子？ 问题1特别地，如果,我们用分别代替上式中的可以得到怎样的式子？ 解：, 问题1特别地，如果,我们用分别代替上式中的可以得到怎样的式子？ 解：,, 问题1特别地，如果,我们用分别代替上式中的可以得到怎样的式子？ 解：,,. 结论： ．当且仅当时，等号成立.通常称它为基本不等式.其中，叫做正数的算术平均数，叫做正数 的几何平均数.基本不等式
表
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明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 问题2 ． 能否直接利用不等式的性质证明出基本不等式呢？当然，我们可以用作差比较法证明基本不等式.分析法 分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、
定理
三点共线定理勾股定理的证明证明勾股定理共线定理面面垂直的性质定理
、定义、公理）为止. 要证，①只要证.②问题2要证，①只要证.②要证②，只要证.③问题2要证，①只要证.②要证②，只要证.③要证③，只要证.④问题2要证，①只要证.②要证②，只要证.③要证③，只要证.④要证④，只要证.⑤问题2要证，①只要证.②要证②，只要证.③要证③，只要证.④要证④，只要证.⑤显然，⑤成立，当且仅当时，⑤中的等号成立．问题2要证，①只要证.②要证②，只要证.③要证③，只要证.④要证④，只要证.⑤显然，⑤成立，当且仅当时，⑤中的等号成立．只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了.问题2问题2问题2请同学们想一想上述证明中每一步推理的依据是什么呢？ 问题2问题2问题2问题2分析法的证明格式由于分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所以分析法在书写过程中必须有相应的文字说明：一般每一步的推理都用“要证…”“只要证…”的格式，当推导到一个明显成立的条件之后，指出显然…成立。同学们,经过从前面基本不等式的代数解释,你是否能联想到从几何角度基本不等式也有背景对应呢？下面我们一起来探究一下.问题3 在图2.2-1中，AB是圆的直径，点C是AB上一点AC=a,BC=b.过点C做垂直于AB的弦DE，连接AD,BD．你能在这个图中找到 和 分别是哪条线段的长吗？你能从这里得出基本不等式的几何解释吗？ 问题3 解：由图可知，圆的半径长为 ；那么哪条线段的长为 呢？ 问题3 解：如图2.2-1，可证即可得,因而.问题3 解：如图2.2-1，可证即可得,因而.由于小于或等于圆的半径，用不等式表示为．问题3解：如图2.2-1，可证即可得,因而.由于小于或等于圆的半径，用不等式表示为 .显然，当且仅当点C与圆心重合，即当时，上述不等式的等号成立.例1已知 ，求 的最小值． 例1已知 ，求 的最小值．分析：观察,发现 例1已知 ，求 的值． 分析：观察,发现联系基本不等式，可以利用正数的算术平均数与几何平均数的关系得到 的最小值是２. 例1已知 ． 解：因为所以 .当且仅当 ,即，也就是时，等号成立.因此所求最小值为2. 想一想， 当时， 成立吗？这时能说是的最小值吗？例1已知，求 的最小值． 分析：求的最小值，就是要求一个使都有当时，找不到能取到这个所对应的正数.因此所求最小值为2.当且仅当，取到最小值2. 例2已知x，y都是正数，求证： （１）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值； （２）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值. 例2已知x,y都是正数，求证： （１）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值； 证明：因为x,y都是正数，所以 ． 例2已知x,y都是正数，求证： （１）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值； 证明：因为x,y都是正数，所以 ．所以，当且仅当x=y时，上式等号成立． 例2已知x,y都是正数，求证： （１）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值； 证明：因为x,y都是正数，所以 ．所以，当且仅当x=y时，上式等号成立．于是，当x=y时，和x+y有最小值； 例2已知x,y都是正数，求证： （２）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值. 证明：当和x+y等于定值S时， ，所以 ． 例2已知x,y都是正数，求证： （２）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值. 证明：当和x+y等于定值S时， ，所以，即，当且仅当x=y时，上式等号成立． 例2已知x,y都是正数，求证： （２）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值. 证明：当和x+y等于定值S时， ，所以 ．当且仅当x=y时，上式等号成立．于是，当x=y时，积xy有最大值. 例2已知x，y都是正数，求证： （１）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值； （２）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值.1．基本不等式就是“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”，即对于,都有当且仅当时等号成立．2．用分析法利用不等式的性质证明基本不等式；并且在圆中利用已知线段的大小关系记住基本不等式的几何特征．3．利用基本不等式求代数式的最值时，首先明确代数式是否能转化为两个正数的和或积的形式，它们的和或者积是否是一个定值，不等式中的等号是否能取到，通俗的说就是“一正、二定、三相等”．祝大家学业有成，同学们再见！
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