第三章静电场中的电介质、判断
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
1、X2、V3、X4、X当同一电容器内部充满同一种均匀电介质后，介质电容器的电容为真空电容器的对有极分子组成的介质，它的介电常数将随温度而改变。在均匀介质中一定没有体分布的极化电荷。均匀介质的极化与均匀极化的介质是等效的。（内有自由电荷时，有体分布）1r倍。5、V6、在无限大电介质中一定有自由电何存在。如果一平行板电容器始终连在电源两端，则充满均匀电介质后的介质中的场强与真空中场强相等。V7、V在均匀电介质中,如果没有体分布的自由电荷，就一定没有体分布的极化电荷。在均匀电介质中,只有PxP为恒矢量时，才没有体分布的极化电荷。PxPyPzp=恒矢量X9、V电介质可以带上自由电荷，但导体不能带上极化电荷。10、电位移矢量D仅决定于自由电荷。X11、电位移线仅从正自由电荷发出，终止于负自由电荷。V12、在无自由电荷的两种介质交界面上，荷产生的电场，Ep为极化电荷产生的电场）V13、在两种介质的交界面上，当界面上无面分布的自由电荷时，电位移矢量的法向分量是连续的。V14、在两种介质的交界面上，电场强度的法向分量是连续的。X15、介质存在时的静电能等于在没有介质的情况下，中原有位置的过程中外力作的功。X16、当均匀电介质充满电场存在的整个空间时，Ef线连续,Ep线不连续。（其中，Ef为自由电把自由电荷和极化电荷从无穷远搬到场介质中的场强为自由电荷单独产生的场强的r分之一。V二、选择题1.一平行板真空电容器，充电到一定电压后与电源切断，把相对介质常数为介质充满电容器。则下列说法中不正确的是：r的均匀电(A)介质中的场强为真空中场强的r倍。(B)介质中的场强为自由电荷单独产生的场强的r倍。D2.A3.(C)(D)介质中的场强为原来场强的/介质中的场强等于真空中的场强。r倍。如果电容器两极间的电势差保持不变，这个电容器在电介质存在时所储存的自由电荷与没有电介质（即真空）时所储存的电荷相比（A）增多（B）减少（C）相同（D）不能比较在图中，A是电量qo的点电荷，B是一小块均匀的电介质,下列说法中不正确的是：S1、S2和S3都是封闭曲面,0Eds0Dds(A)S3S1DdsDDds口Dds(B)S1S2S3DEfds百Efds口Ef(C)S1S2S3(D)Ea,Ef，EbEf，EcEfS2SS3dsD4.在均匀极化的电介质中，挖出一半径为r，高度为h的圆柱形空腔，圆柱的轴平行于极化强度P底面与P垂直，当h?r时，则空腔中心Eo和Do与介质中E和D的关系为:(A)EorE(B)(C)EoDo0EoDo(A)Eo（rDoEo(B)0(C)Do0Eo(D)DorD（D）C5.在均匀极化的，挖出一半径为r，高度为h的圆柱形空腔，圆柱的轴平行于极化强度的关系为:P底面与P垂直，当h?r时，则空腔中心^0和Do与介质中E和D1）EhJ2r厂P—►1FrE一个介质球其内半径为R，外半径为R+a，在球心有一电量为q。的点电荷，对于R
表
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示为1E-D?E2适用于（各向同性的均匀线性）介质。线性8、若先把均匀介质充满平行板电容器，（极板面积为S,极反间距为L,板间介电常数为r）然后使电容器充电至电压U。在这个过程中，电场能量的增量是（9、平行板电容器的极板面积为S,极板间距为（d1d2d）,它们的相对介电常数分别为d中间有两层厚度各为d1和d2的均匀介质r1和r2。（1）当金属板上自由电荷的面密度为f时,两层介质分界面上极化电荷的面密度p=(）。（2）两极板间的电势差r1r2)。(3)电容C=d1r2d2r1f0r1r2sr1r20r1r2d2r1r2d110、如图所示一平行板电容器充满三种不同的电介质，相对介电常数分别为r1,r2和r3。极板面积为A，两极板的间距为2d,略去边缘效应，此电容器的电容是（）。0Ar1r2r3illjd2d211、无限长的圆柱形导体，半径为r2r3R沿轴线单位长度上带电量入，将此圆柱形导体放在无限大的均匀电介质r中，则电介质表面的束缚电荷面密度是（(r1)rR半径为a的长直导线，外面套有共轴导体圆筒，筒的内半径为b,导线与圆筒间充满介电常数为r的均匀介质，沿轴线单位长度上导线带电为入，圆筒带电为则沿轴线单位长度的电场能量是（—b40ra-入，略去边缘效应,13、一圆柱形的电介质截面积为S,长为被沿着轴线方向极化,已知极化强度P沿X方向，且P=KX（K为比例常数）坐标原点取在圆柱的一个端面上，如图所示则极化电荷的体密度（在X=L的端面上极化电荷面密度为（极化电荷的总电量为（PKPKL)。Qp)20203314、在如图所示的电荷系中相对其位形中心的偶极矩为（q2qO'四、问答题1、电介质的极化和导体的静电感应，两者的微观过程有何不同？答：从微观看，金属中有大量自由电子，在电场的作用下可以在导体内位移，使导体中的电荷重新分布。结果在导体表面出感应电荷。达到静电平衡时感应电荷所产生的电场与外加电场相抵消，导体中的合场强为零。导体中自由电子的宏观移动停止。在介质中，电子与原子核的结合相当紧密。电子处于束缚状态，在电场的作用下，只能作一微观的相对位移或者它们之间连线稍微改变方向。结果出现束缚电荷。束缚电荷所产生的电场只能部分地抵消外场,达到稳定时，电介质内部的电场不为零。2、为什么要引入电位移矢量D？E与D哪个更基本些?答：当我们研究有电介质存在的电场时，由于介质受电场影响而极化，出现极化电荷，极化电荷的场反过来改变原来场的分布。空间任一点的场仍是自由电荷和极化电荷共同产生即：EEfEp因此，要求介质中的E,必须同时知道自由电荷及极化电荷的分布。而极化电荷的分布取决于介质的形状和极化强度P，而P的循环，为了克服这一困难，引入辅助量E,而E正是要求的电场强度。这样似乎形成计算上D。由°sDdSq。知，只要已知自由电荷，原则D更基本些。上即可求D，再由D0rE求E。3、把平行板电容器的一个极板置于液态电介质中，极板平面与液面平行，当电容器与电源连接时会产生什么现象？为什么？答：当电容器与电源连接时，电容器将离开电介质。这是因为当考虑电容器边缘效应时两极板外表面也带上等量异号电荷，当其中一极板平面与液面平行时，由于介质极化，该极板电荷所受到的静电力小于另一极板电荷所受到静电力。且二者方向相反电容器整体受一个向上的合力作用。五、证明题1、一个半径为R的电介质球，球内均匀地分布着自由电荷，体密度为各向同性和均匀的，相对介电常数为r，试证明球心和无穷远处的电势差是:2r1fR22r^7证明：当rR时以球心为心，r为半径作球面如图虚线所示，由对称性和D的高斯定理得（高斯面）f，设介质是线性、DidSDi4r2r3rE得汀30r当rR时取高斯面如图虚线所示，同理得4R33E1旦0r%DdSD2D2E2fR33r2fR33or2取无限远处电势为零,关系得则球心与无限远处的电势差等于球心电势。根据电势与场强的EidlE2dlfr—drr030fR260rfR2R230fR2302r六、计算题1、将一个半径为a的均匀介质球放在电场强度为E0的均匀电场中；电场E0由两块带等量异号电荷的无限大的平行板所产生，假定介质球的引入未改变平板上的电荷分布，介质的相对介电常数为£r,求介质小球的总电偶极矩Eo不变)，求若用一个同样大小的理想导体做成的小圆球代替上述介质球(并设导体球上感应电荷的等效电偶极矩。解：(1)均匀介质球放在均匀电场中将被均匀极化，故只有球面上有极化电荷，设极化电荷面密度为'，在球心产生的电场强度为E'，则球心的场强为ECE0E①如图1-1因?PPcos……②由于余弦分布带电球面在球内产生匀强电场，所以根据对称性可得球内的场强为E』4P2cos0314oa202a2sincosd0sin2cosP12134oaEoP12134oaEo图1-1其方向与所以Eo方向相反EcEoP3o……④根据P与E的关系PPco(r1Ec⑤由④、⑤式得3(rDoE2or厶由极化强度定义得介质球的总电偶极矩为3(r1o匚43Eo—ar23((r1LEoHYPERLINK\l"bookmark688"\o"CurrentDocument"r2……⑥PoPV(2)将导体球放在均匀电场中，导体球感应电荷面密度为余弦分布，如图1-2所示设ocos根据对称性则球内的场强为dq2oaEccos12oasincosdsino2cosEo方向相反其方向与由静电平衡条件得rEorEc0EcEoP3o……③3oEo……⑧在球面上取一电偶极子,偶极矩为dq2a2sind偶极子臂为I2a，根据对称性，元电2..asind3-2.asincosd2o4asincosd⑨由⑧、⑨式得感应电荷的等效电偶极矩为3l/2oaEoodP2acos2.-2.Sincosd12oa’Eo20EP2220EP22E和电位移D；E和电位移D。PkX?2、一圆柱形电介质长为L，其横截面的半径为R，被沿着轴线方向极化，极化强度（k为一常数），设坐标原点0在介质圆柱内左端面的中心，此外无其它电场源，试求：（1）在介质圆柱中心一点的电场强度（2）在坐标原点0处的电场强度解：极化电荷的体密度为PKX即介质内均匀地分布差负的体极化电荷，Pn1Px00L的端面上的极化电荷密度为Pn2PxlKL在圆柱中心体极化电荷不产生场，0的端面上的极化电荷面密度为P1在XP2（1）盘轴线上的场强公式得只有在X=L处而极化电荷产生场，根据均匀带电圆P2E2t(1由电位移矢量定义式DoEP得中心处的D(KLKL2D为KL2KL）?JKLi?22、L2（2）在圆柱端部中心的场由体极化电荷和面极化电荷共同产生。厚度dx如图所示，其上电量为dqPKR2dx圆盘上电荷面密度为2KRdxP227L2在距原点X处，取一圆盘，该圆盘在原点dEePkdxR2O处产生的电场为X、‘Tr2X2)i20体极化电荷在原点O处产生的电场强度为kdxXTr2XLXoX2Li?2面极化电荷在原点k72-VRL0O处产生的电场强度为kL一1EEp2EPEEEv(X2i?EEp2EPEEEv(X2i?(昱20KL22oPR2KL辽2；上作r空)i?2020空（120空（120r/r2L2原点处电位移矢量为DoEPoE陛（123、一块柱极体圆片，半径为I的，极化强为P,解：在垂直X轴的两个外表面均匀带正负面极化电荷，如图所示，其面密度为PI?PP?P对在圆片内任一点而言两表面相当无穷大均匀带电平面，圆片内电场强度为PE内（120电位移矢量为I占2）i?r，厚度为t，在平行于轴线的方向上永久极化,试计算在轴线上的场强E和电位移D（包括圆片内外）Pi?0P?0—1?0对圆片内外轴线任一点而言，两表面相当于均匀带电圆盘。2DoE内PPi?且极化是均匀oXX在距原点处，正负带电圆盘产生的场强分别为tX-——）E）22{R2(X（1i?Jr2（X=)1)22i?该处的总电场强度为（X=)?丄)22X2Jr2（X|）2因为t很小，用台劳级数将上式在肩（X2）2t=0处展开，取前两项r—X+++—>+P十一+I——ItXx120r0寸X2|ax120r0寸X2|af(t)取则有f(0f(0所以{r2(xR2(R2E旦f20上(020tx-2—i)22tx—2Jr2(xi)2V2(0)f(0)ti?_R2t(R2PR2t20(R2电位移矢量为x2))P(1)i?2(R2x2)2p-n结中，n型内有不受晶格束缚的自由电子、P型区内则有相当于正电荷的空穴。由于两区交界处自由电子和空穴密度不同，电子向P区扩散，空穴向n区扩散，在D0EP4、半导体器件的结的两边留下杂质离子，因而产生电场，阻止电荷继续扩散，当扩散作用与电场的作用相平衡时，电荷及电场的分布达到稳定状态，而在结内形成了一个偶电区(如图如示)挡层。现设半导体
材料
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的相对介电常数为，结外电荷体密度x0，结内电荷的体分布为Xekx-axa,线性缓慢变结式中e为电子电量，k为常数，试求p-n结内电场强度和电势的分布，并画出x、Ex和X随x变化的曲线。解：建立坐标轴如图4-1所示，在结内距原点X'处取宽度为dx'的无限大平面，该平面电荷密度为,称为阻xdx该带电平面在结内P点产生的场强为X、dxdE20rOB区电荷在20rP点产生的场强为EbodEaekx'dx、++--B+7■Aa++■a+++--+++---广f■dxn区P区图4-1ek20reka240r所以ekai?r图4-2OP区电荷在P点产生的场强为ekx240rxekxdx、2020r所以Eopekx2?40rPA区电荷在P点产生的场强为EpA1a、、ekxdx2X20rek/2-(arx2)所以EpAek40r由叠加原理得(a2x2)i?图4-4IIIP点的总场强为eka2ekx2eka2Ep内EBOekEOPEPA40rx2)i?(ax2(a220r场强随x变化曲线如图4-3所示由高斯定理知，结外的场强为a)EP外0当axa取x0,在结内任意点P的电势为0P内Ep内dxx0ek2ax920rx2dxek1303x|x壬3a260rX0dx20XX0dx20Xa时,电势为0eka2；x2dxek20ra时电势为13-X3l0eka30_eka27a2X2dxek1-x34-4所示,|0aek20r电势随X变化曲线如图5、半导体器件的p-n结中，n型内有不受晶格束缚的自由电子、的空穴。由于两区交界处自由电子和空穴密度不同，电子向结的两边留下杂质离子，因而产生电场，阻止电荷继续扩散，30r结内电荷体密度随x变化曲线如图4-2所示。P型区内则有相当于正电荷P区扩散，空穴向n区扩散，在当扩散作用与电场的作用相平5-1所示），称衡时，电荷及电场的分布达到稳定状态，而在结内形成了一个偶电区（如图为阻挡层。现设半导体材料的相对介电常数为，如果电荷的体分布为n区:XNDe（突变结）p区式中Nd,Na是常数，e为电子数且WeNaXpNdXn，其中Xp和Xn各为P区和n区的厚度,X、Ex和X随X变化的曲线。试求结内电场强度和电势的分布并画出解：建立坐标轴，如图5-1所示，在P区内距原点x处找一个考察点P,P点的场强由三部分即BO段、0P段和PA组成的，其电荷面密度为段体分布电荷产生的。每一段即可看成是由许多无限大带电平面dx'nP++十十++++-P十+--1-++——1X\・X+Xi_—一■1AB1?>P+0■A1h1++一一1++一一h4h**1*Xnxp一XHbttXn图5-1xP图5-2图5-3dE由EboEOPdx'20得NpeXn20ge0dx'pexn2020图5-4EpAXpdx驴XPX)20P1fP1?Pr21Q所以，p点的总场强为EpNpexnNaGNaG—Xpx00202NaG/——(xp0x)hh.E、/:「*•*fe•图5-5取原点电势为零,0pEpdxx由电势定义得NAexS、■—(2xPX)20P,如图5-2所示在n区内取一点同理得各段在P点的场强为LNAeEoa亍0dx22020Eop20NAexPNoexnEpB所以,EpNDe,\-—(Xnx)20P点的总场强为NdG/、(Xnx)0同理可得p点的电势为NDex20(2xnx)画出x、x和Ex随x变化曲线如图5-3、5-4、5-5所示6、平行板电容器的极板面积为S,间距为d，其间充满线性的、各向同性的电介质。介质的相对介电常数£r在一极板处为£rl,线性地增加到另一极板处为£r2。略去边缘效应。求这电容器的电容C;当两极板上的电荷分别为Q和-Q时，求介质内极化电荷体密度和表面上极化电荷的面密度。解：(1)建立坐标轴，如图所示_r1设rkxII则r2kd由此得r1】dxr1如图所示，取距坐标原点为x,厚k亠d因此板间任一点的介电常数为_L2r1xr,入r1d将平行板电容器的电容视为无限多个平行板电容元组成,度为dx一个电容元，该电容元的电容为dC4dx其倒数为/r2r1、0(——-—xr1)Sddx.zr2r1d(xdr1)dCzr2r10S(-^Xr1)0(r2r1)Sr2r1xdr1积分得1——dln(0(r2r1)SdIn/r10(r2r1)Sr2dr1)所以0(r2r1)SdIn(2)作一圆柱形高斯面量为r.QD—SS,如图中虚线所示,由介质中的高斯定理SDdSQ，得电位移矢由E与D的关系和为根据电位移矢量定义式oEp得，极化强度QPD0ES极化电荷体密度为Q_Sxr2r1dr2r1r1Qdr2r1r2r12xdr1正极板处的极化强度为QSQr1S板表面上的极化电荷面密度为PD0E1r11Qr1S负极板处的极化强度为P2D0E2r11Qr1Sr2S板表面上的极化电荷面密度为P2P2r21Qr2S半径为a的导体球被内半径为b的同心导体球壳所包围，两球间充满各向同性的电介质，在离球心为r处介质的相对介电常数rAr/r（A为常数）。外球壳接地，试求：（1）在电介质中离球心为r处的电势；（2）介质表面上的极化电荷面密度和介质中任一点处极化电荷的体密度；（3）介质中极化电荷的总量。7、如果内球带电荷Q,解：（1）根据对称性，以球心为心，r为半径在介质内作球面（高斯面）定理得S，由D的高斯口DS所以dSDr2QbaQQ4r2DQ0r40rr因球壳的电势为零，故有brrrEdrrdr0ArrQ4oA"drQ4oAinbr13rAQ4（2）半径为a球面上的极化强度为CfLQQHYPERLINK\l"bookmark553"\o"CurrentDocument"PaDa0Ea2一4a24该表面上极化电荷面密度为PQAPaP24aAabrin——0AbArQ4a2QA4a2Aa半径为b的球面上的极化强度为CfLQQPbDboEb24b24Abb该表面上极化电荷面密度为QAQ4b2QA4b2AbPbP24bAb半径为r球面上的极化强度为PDroEr7%4r介质内极化电荷体密度为QA4Arr211At—r2Prrr1rsinsinP—rsin1~~2r2QAr——4QA224rAr(3)介质中极化电荷总量包括介质表面上的极化电荷和介质中极化电荷，即2QPPa4aPb4b2br4r2drQA4a2Aa4aQA4a2Ab4b2bQAa4r2Ar24r2drQAQAAaAbQAQA0AbAa8、为了使金属球的电势升高而又不使其周围空气击穿，可以在金属球表面上均匀地涂上一层石蜡。设球的半径为1cm，空气的击穿场强为2.5106V/m，石蜡的击穿场强为1.0107V/m，其相对介电常数为2.0,问为使球的电势升到最高，石蜡的厚度应为多少?其中球的电势之值是多少？解：设金属球带电量为Q-24n0汀EiE24nofQ,由对称性和介质中高斯定理得介质内外的场强为rir「2EiQ2-」……④由③式和④式联立得4n0frr12E1E24n0r24n0E2訂12巳E2r1,rr2代入上两式，得介质球壳内外表面的最大场强为Qr2riri将已知数值代入⑥式得r2^21cm由电势与场强积分关系得r2E1drE2drrir2r2QQmaxr2厂严Q1丄40rr1r240r2……⑦将Q40rr^E1代入⑦式得将Q40rr^E1代入⑦式得r1「2「2rr22r1E1r1r2将已知数据代入⑧式得11014110171102212^2102105V9、如图所示的圆柱形电容器，内圆柱的半径为R1,与它同轴的外圆筒的内半径为R2,长为L、其间充满两层同轴的圆筒形的均匀电介质，分界面的半径为R,它们的相对介电常数分别为r1和r2，设两导体圆筒之间的电势差12U略去边缘效应，求：介质内的电场强度。解：设充电后，单位长度的电量为，由对称性和介质中的高斯定理得卩dSD2rLLD——2r由D与E的关系得两介质内的场强分别为E120r1r①E2R220r2r②圆筒之间的电势差为RrrUE1dlRR2rRE2rdl20r1R1drR1rIn—lnR20r1R120r2R20IRIn—R1R21—-drRrr2rr1r2由③式得导体圆筒电荷的线密度为20UIn旦InR2R1Rr1r2……④将④式分别代入①式和②式，得介质内的场强分别为EiU,RIn—R1r1r1」rr21U用丄InE丄InRr1R|r2RU1,R__1,R2—In———In——r1R1r2R10、为了提高输电电缆的工作电压，在电缆中常常放几种电介质，以减小内、外导体间电场强度变化，这叫分段绝缘。图中所示是这种电缆的剖面图。若相对介电常数r1r2r3的三种电介质作为绝缘物时，设内部导体每单位长度上带电量为。试求：（1）各层内的电场强度；（2）各层电场强度极大值；（3）在什么条件下，才能使介质内的电场强度保持为常数值？解：（1）根据对称性和高斯定理，求得电位移矢量为E2r2r%DdSD2rL根据D0rE知,介质中离轴心分别为r处的电场强度为Ei20r1rE220r2rE30r3rr分别等于a、b、寸,各层电场强度为极大值，其值为E1max20r1aE2max20r2bE3max(3)当120E1E2r3CE3时，有1ririr2r2r3r3r1「1r2r2所以11、平行板电容器的两极板相距为rr常数时，E常数极板面积为S,两极板之间填满电介质，绝对介电常a，/a，x轴的方向与平板垂直，x轴的原点在一块极板内表面数按下列规律变化0xa上，若已知两极板间电势差为U，略去边缘效应，求电容及束缚电荷分布。解：在距原点为x处取一厚度为dx的平行板电容器，其元电容为oxaSadx其倒数为丄dC积分得1dCadx—InxoSiaa2a——In——oSa所以oSaIn2极板上的自由电荷oUqfCUaIn2由如图虚线所示作高斯面,S板内的场强为aln2oUaln2板内的极化强度为oUDoEaIn2po在x由高斯定理得板内的电位移矢量为oUxaaIn2aoUxaIn2o介质表面上，束缚电荷面密度为P0a介质表面上束缚电荷面密度为oUP2In2a介质中束缚电荷体密度为PaoUaxaaxxIn2a2xa212、一空心的电介质球，其内半径为oUIn2In2oU2xaIn2Ri，外半径为R2,oUxIn2axa所带的总电荷量为Q,这些电荷均匀分布于R1和R2之间的电介质球壳内。求空间各处的电场强度。介质的相对介电常数为解：由对称性和咼斯定理得当r>R1时E=o当R1RR2时□DdSD4r2RiR2所以0rR2时Q4r2Q3RR3Qr3R3R；R3r32Qr3r3^73z40rR；R3r2Q40rR；Rl3R13所以Q4〒13、今有A、B、C三导体板互相平行地放置，AB、BC之间的距离均为d.BC之间充满相对介电常数为r的介质，AB之间为真空，今使B板带+Q,试求各导体板上的电荷分布。忽略边缘效应。C板各组成电容器，其电容分别为C0rSC2F解：A、B板和B、CC1d取垂直B板的圆柱形高斯面，如图所示，根据高斯定理DiSD2SQ由D的法线连续性Di=D2=D得QD—2S0DdSQ/曰S得5—再根据DQ20SEirE得Q20rS:-112E2由此可得AB之间和Qd20SUiEidBC之间的电势差为Qd20U2E2drSQiB极板所带电量为0SQdd20SUiCiQ2C极板所带电量为0rSQdd20rSU2C2由电荷守恒定律知A、C板的内侧带-Q/2电荷，外侧带Q/2电荷。B板两侧各带Q/2电荷。电场强度为14、在一块均匀的瓷质大平板表面处的空气中，是指向瓷板且与它的表面法线成45角。设瓷板的相对介电常数220V/cm，其方向E的大小为r6-0，求：（1）瓷板中的场强；（2）瓷板表面上极化电荷面密度。解：均匀极介板内无极化电荷，设表面上极化电荷的面密度为在板内，极化电荷产生的电场强度为rEpP，如图13-1所示。0……①式中?为表面外法线方向上的单位矢量根据场强叠加原理，板内的电场强度为rrrEEpE0以上三者关系如图13-2所示，由图可知EjEpE；2EPE0cos(18tf45°)极化电荷电密度为r1)E0(r1)(EpE。)n?PP0(r1)(（r整理上式得1)P-E0cos00(r1)COS1)Eocosr将已知数据代入③式得128.8510(6“2\//20020010V6Zm1.04107%2cos450rEp』(8；510』(20028.^J138.1106__200106__332.31061.83200—21o4vm1215、在相对介电常数为r的煤油中，离煤油表面深度煤油看作为无限大均匀介质，h处，有一带正电的点电荷:求（1）在煤油表面上，该电荷的正上方Aq,如将点处的极化电荷面密度A；（2）在煤油表面与点电荷相距r处的B点的极化电荷面密度油表面极化电荷的总量Q。解：（1）在点电荷q的周围将出现负的极化电荷，煤油表面出现正的极化电荷。煤油表面A点，极化电荷面密度最大，随着离A的距离增加，极化电荷面密度迅速减少,A点附近的液面两边的场强法向分量，可用叠加原理求得q_0rh2B；（3）煤（如图）在E空n在空气中E油n在煤油中q0rh2由边界条件D空nD油n，即0E空n0rE油nq40rh2整理上式得r1q40rh22）同理,在空气中q2~r12rhB点附近的液面两边场强法向分量为qh20rrr在煤油中qh20rrr由边界条件D油n，得q.240rr整理上式得r1B1h~2rrrqh2rr33）以A点为圆心，在液面上距1（x?h）2，小圆环面积r1_qh12dQds所以dsA为x处选一小圆环，设小圆环边缘离q的间距为r。显ds232xdxr■厶rrqhxdxrh2））r（X2qhxdxr1r（x2h2））21r亍16、两个相同的空气电容器，电容都是xdx，小圆环上极化电荷为900uF,分别充电到900V电压后切断电源，若把一个电容器浸入煤油中，（煤油的介电常数求一电容器浸入煤油过程中能量的损失;求两电容器并联后的电压；求并联过程中能量的损失。问上述损失的能量到那里去了？r=2.0），再将两电容并联。（1）（2）（3）（4）解：（1）电容器极板上的电量为QQU90010690081102C电容器在空气中的储蓄的能量为18121046182.3J22900106Wo1Q2C0能量损失为WW（2）并联后总电容为182.2JCC0并联后总电量为Q总2Q所以并联后电压为Q总U—C(3)并联前的能量:rC。(12Qr)Cor1)C。2811026600V(21)900101Q21Q22C02rC0^CU21(122-(12)900W前并联后的能量:W后364.51823546.8Jr)C0U21066002486J2并联过程中的能量损矢为WW后W前486546.860.8J4)损失的能量转化为介质的动能，最后通过磨擦转化为热能(内能)。17、一平行板电容器的极板面积为S,间距为d(d2<>R2,在Ri和R3JRR2之间的空间填满长为L、相对介电常数为r的圆筒形均匀电介质，其余的容积是空气间隙，如图18-1所示。假设电容器两极与一电源相连而维持其电势差为U，试求将介质圆筒抽出该电容器所需作的机械功？18-2所示解：把圆住形电容器看成两个电容器串联而成，如图根据圆柱形电容器电容公式2Ci0rLR3C20JlnRR1知，每个电容器电容为InRi根据电容器串联性质得20LlnR2R3丄丄丄CC1C2所以，总电容为-20R2In」R30LR3RC花R1当介质抽出其中rLrlnRHC2CiCiC2所以R3x距离时，如图20$R20XR1rLX_RR3rIn图18-218-3所示，把电容器看作两个电容器并联，如图R2兀18-4所示22CC1C2lnR3R1电容器储存的能量为2oXrInR3图18-3W^cu2222由虚功原理得0U外力作功为lAFdx0oU,R3ln——R1,R2rnR3lnR2R11r,R0lnR3rlnR2R1R1R31rrL022u2C20U2L0LU2-lnR1另解：介质全部抽出时,W21C2U22介质未抽出时，W11C1U22lnRlnRR1rlnRR3r1lnR2rTn——R2RR2r2电容器的能量为0LU2,R2rln——rR10LU2ln&R1电容器的能量为rLU2_RR3根据功能关系知,4C1Lx图18-40rLU2R2ln一1rR10,R3,ln一rlnR1全部抽出介质时,2-1外力所作的机械功为0LU2R10LUln&R119、一平行板电容器由两块平行的矩形导体平板构成，设两极板间平行地放一块厚度为t、大小与极板相同、W2W1平板宽为相对介电常数为b,面积为S,两板间距为d,r的电介质平板，两极板所带的电量分别为+Q和-Q。现将介质平板沿其长度方向从电容器内往外拉，以至它只有长度为x的一段还留在两板之间。（1）问这时介质平板受到的电场力的方向如何？（2）试证明，这时介质平板受到的电力为Q2dbt'dt''2txbt'其中r（忽略边缘效应）解：（1）在电场中电介质被极化，其表面上产生极化电荷。在平行板电容器的边缘，由于边缘效应，电场是不均匀的，场强E对电介质中正负电荷的作用力都有一个沿板面向右的分量，因此，电介质将受到一个向右的合力（2）电容器由两部分并联而成，这两部分的电容分别为0baxdt0rbx0rbx20Sdt'CiobxC2dt*aS电容器的电容为GC20bax0rbxrdttbxdt'0abdt'bxt'dt'd」trt'其中电容器所储蓄的静电能为量Q2W—2C由虚功原理知，作用在介质片上的力为Wq!」2xCq!2x0abdt'bxt't'd2?Q2bt'dt'dbt'dt'd2abdt'bxt'Q2bt'dt'd220ab（dt'）bxt'一半径为R的电介质球，各向同性和均匀的，相对介电常数为20、220S（dt'）bxt'球内均匀地分布着自由电荷，体密度为f，设介质是线性、r，求（a）电介质球内的静电能；（b）这一带电系统的总静电能。解:(a)根据对称性和高斯定理得球内外的电位移矢量和电场强度分别为f4r24r3fR33r2fR33^7电介质球内的静电能为内dV:扣内E内dV2f180r\24r2dr04577(b)带电系统的总静电能为RRWo内dV0外dVr2dr12—D外E外4rdrR2R102D内E内422r5450r22r51450r21、平行板空气电容器两极板A、B相距为I，竖直地插在相对介电常数为r、密度为的均匀液态电介质中(如图21-1所示)，两极板间保持着一定的电势差U,则液态电介质在两板间会上升一定高度h若不计表面张力作用，试求作用在液体电介质表面单位面积上的平均牵引力T和液面上升的高度ho解：带电的平行板电容器插入液态电介质中使液体沿与平板电容器两板的分界面产生极化电荷，在静电吸引力作用下液体被吸上来，直至液体重力与静电吸引力平衡为止。如图21-2所示，高度为h的液态电介质所受到的重力为FgmgVgShglahgx时，两部分的电容分别为电容器是由两部分并联组成，设介质进入极板间的高度为c0abXC1r-C20raxlCGC2oabXo电容器储能为0abr1XU22l静电力作功为2F_W旦eX2l根据平衡条件得FeFg0aV22lW-CU22由虚功原理知,r1lahgb么整理上式介质的高度为图21-2h2gl2作用在液态电介质表面单位面积上的平均牵引力为T乓alHYPERLINK\l"bookmark887"\o"CurrentDocument"22HYPERLINK\l"bookmark1055"\o"CurrentDocument"0aVraVHYPERLINK\l"bookmark915"\o"CurrentDocument"20r12lal2l2例如，当r3.2）22、当用高能电子轰击一块有机玻璃时，电子渗入有机玻璃并被内部玻璃所俘获。一个0.5A的电子束轰击面积为25cm2、厚为12mm的有机玻璃板（相对介电常数达1s，几乎所有的电子都渗入表面之下约5~7mm的层内。设这有机玻璃板的两面都与接地的导体板接触，忽略边缘效应，并设陷入的电子在有机玻璃中均匀分布，如图22-1所示。求带电区的极化电荷的密度；求有机玻璃表面的极化电荷密度；画出D、E、（电势）作为电介质内部的位置函数的图形;求带电层中心的电势；求在两接地导体板之间的没有电荷区域内的场强；求这有机玻璃板里贮存的静电能。解（1）由电流强度定义知qIt带电区电荷体密度为电容器的电容为如图22-2处的Pd2丄。.叮。633.33102c/m3V2510610所示在带电区内作柱形高斯面，坐标原点在对称中心,D、E、P值为dS2DS2xeX……②eX0r……③r1eX图22-1由高斯定理得层内任一点图22-2得带电层表面处的极化强度为daedr1ed2r带电层表面极化电荷面密度为23r1ed3.213.33106106.872DPd2r23.2作一个包围带电层的柱形高斯面，如图22-2所示，由高斯定理得SSed105c/m2……⑥⑦ed20r……⑧r1ed2r有机玻璃表面的极化电荷面密度为6.87105c/m2……⑩r1d2r⑶带电层内任一点电势为x©x©HYPERLINK\l"bookmark497"\o"CurrentDocument"d.2ed.xeX.1Idxddx220r20r带电层外任一点电势为随x变化规律曲线如图22-3所示DEx(4)取dld2ed2?^d!80r3.3321021248.85103.2610310621063.331021288.85103.21.59104V由⑧式得带电层外的场强为Eed61033.3310220r28.8510123.2有机玻璃内贮存的静电能为1—D2E2dV21-D1E1dV12d2d22S3.53106V/m22-Sdxrd3d32Sd3d22dV40rd22-—Sl80r240r3.33210425104631093.332442610251061088.8510123.231261012248.8510123.25352.410J23、在一无限大均匀介质内，挖出一无限长圆柱形真空区，圆柱形的横截面半径为设介质内场强E均匀，且与圆柱形轴线垂直，求圆柱形轴线上的一点的场强。解：介质在与真空的分界面上出现极化电荷，轴线上一点0的场强Eo是介质中场强E和极化电荷在轴线上0点的场强E'的矢量和。极化电荷面密度为Pt?Pcos（P'为极化强度，n为表面法线方向）如图所示，取一宽度为Rd的无限长带电线,其上电荷线密度为x如图所示，取一宽度为Rd的无限长带电线,其上电荷线密度为x'RdPRcosd该带电线在轴线上产生的场强为PRcosd2oR2cRPXcosd20极化电荷在轴线上产生的场强为dE''2E'Ex0dEcosP2cos20P_2：所以轴线上一点的总场强为E'PE0EE'E—2024、一平行板电容器两极板间距为d,其间放置一块厚度为角，介质的相对介电常数为r，若两极分别带上面密度为间的电势差。（设倾角为较小，边缘效应可以忽略）解：设两极板的边长为a和b的长方形，建立坐标如图所示,构成平行板电容器，该电容器看成由两个电容器串联而成，每个电容器中电容分别为0adxdtcos0「adxtcosdCidC2*E根据电容器串联性质得丄dCdCidC1dtcosdC?aodxa0rdxtcostcostcosa0rdxbdC00rabrdtcos式中0rSrdtcostcosSab为极板面积极板上电量为QS极板间的电势差为t的介质平板，板面与极板成倾和的电荷，试求两极板上、下两板一小面积dSadx其中一个是空气，另一个是介质，rdtcosa0rdxtcostcos"7bh1U十1L!J■1L1ol<^\wxdx图24-1rdtcostcosS0rSdtcostcos025、半径为R1的半导体球，一半浸没在相对介电常数为r的半无限而均匀的液体介质中，另一半露在真空中，若此导体球所带的电量为Q，（1）证明：导体球外任一点的电场强度均沿求的径向；（2）求出导体球表面上的面电荷分布解：（1）如果导体球外任一点的电场强度不沿径向则上半球和下半球表面电荷分布将不均匀。它们在球心处产生的合场强不为零，这与导体球内场强为零相矛盾。故球外任一点的场必沿径向（2）导体球与无限远处构成球形电容器如图所示根据球形电容器的电容公式有：40R1R2R2R1R2!时40R1当C根据上式得半球形电容器的电容为:C2Ri本题中的球形电容器可看作是两个半球形电容器并联而成。每个半球形电容器电容为C120RC220rR根据电容并联性质得，电容器的总电容，总电压分别为CGQU-CC220R1r1Q20Rr1两个半球形电容器所带电量分别为QQ1C1U20R20Rr1Q20R1r1Q2C2U20rR1rQr1两个半球表面上的电荷面密度分别为Q22R1（r1）rQCr2z八Q1122RQ222R22K（r1）26、两导体球,半径均为R,球心间距为d,有一均匀电场E0,其方向垂直于两球心的联线，假设Rd，球两球之间的相互作用力。解：E0rP>►rr—►图26-1图26-2设导体球表面的感应电荷为余弦分布0cos，如图26-1所示，在球内产生的附加电E内7^?令了2Eo场为00，则附加电场与外电场抵消响）,使球内场强为零满足静电平衡条件。由此得030E030E0cos在球外可将余弦分布的带电球壳等视为偶极子，如图433-R304R3oEo3（不考虑另一导体球感应电荷影26-2所示，其电偶极矩为PP2电偶极子R在P2处产生场强3R??PP4or3巳4or3电偶极子P2在E1中具有的电势能（PP2之间的相互作用能）为4两球间的相互作用力为W21P2Ei3orFrPR彳3r4or3234R3oEo3r2RF2,64or4od427、半径为R的导体球浮在某种介质溶液中，导体球的质量密度为1，介质溶液的相对介电常数为r，质量密度为2,且221，试用计算必须在此导体球上放置多少电量的电荷，才能使它正好有一半浸没在介质溶液中。解：设导体球放置电量为Q的电荷时，它正好一半浸没在介质溶液中。导体球在介质溶液中受到三个力的作用即导体球自身的重力、导体球受到的浮力和极化电荷对它的吸力，如图27-1所示，处于平衡状态时，有F浮F吸G①导体球所受浮力为L43F浮2Rg23……②导体球所受到的重力为4d3图27-113Rg为了球极化电荷对导体球的吸力为F吸，先求极化电荷密度P，导体球表面各介质表面电荷分布如图27-2所示，作球面为高斯面，根据高斯定理得°DdSDiDiD2S1D1dSr2D22Qc_22R……④S2D2dSQr2Q图27-2在介质交界面上有D2tDit0Dit0rDiD2tD2D2……⑤D1由④、⑤式得Q2R2Q"0(1__r)2R2厂r1Q02r12R2D2E2P2rD2D2极化电荷密度为pPnr1Q……⑥极化电荷为半球面分布，在球心处产生的场为厂Pr1QE240r180R⑦极化电荷对导体球的吸力为F吸QErr180R……⑧将②、③、⑧式代入①式得2-^R3g23434RgR3g（"22整理得r1Q2r180R2Q20R2Q2r132r1130gR5(1)r的均匀介质小球，与另一半径为b，电势为0的导体有一半径为a,相对介电常数为小球相距为r（r>>a、b）。求介质小球受力的近似表达式。解：设导体球带电量为dSEor2Qo，由高斯定理得QoQo4or2导体球的电势为EoaQo©0EodlEbdrQo40由此得导体球所带电量为Qo40b0导体球在介质球处产生的场可视为匀强场，即在介质球心处产生的场强为EQobQoEo2~寸orr介质球在均匀外场作用下发生极化，设极化强度为P，极化电荷为余弦分布，即E'-30介质球内总场强为PEc0r1E0'penPcos极化电荷在介质球内产生的场强为PEcEo-3介质极化强度为所以3r1r2介质球的等效电偶极矩为pPV3r［学0Eo3r1_0b24r2r23介质球的等效电偶极矩与外场之间的相互作用能为-.3.224r1oab0r2rrWpEopEoa3Fr16介质球外场中所受的力为oa3b224r3r2r8r1a3b202r2r529、两均匀带有等量异号电荷的无限大平面导体板之间放一均匀的介质球，球的半径为极化率为，求球内的场强，假定介质球离两平板都相当远，球处在场中时，带电板上的电荷仍然均匀分布，因此，自由电荷单独产生的场Ef仍是均匀场。解法1:分步极化法设想介质球的极化是分若干阶段进行的，最终达到静电平衡。在介质球刚放在电场中瞬时，极化电荷尚未形成，因而介质球内的场强就是外场Ef，它使球均匀极化，极化强度为rrR0Efr由P0引起的极化电荷在球内所产生的附加场强为TOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\l"bookmark555"\o"CurrentDocument"r1rrrEp1—p0-Ef附加电场Ep1引起的附加极化，附加的极化强度为HYPERLINK\l"bookmark557"\o"CurrentDocument"rrrP1R0EPt0匸EfHYPERLINK\l"bookmark566"\o"CurrentDocument"r3附加的极化强度Ep1产生的附加场强为r1rEP2「P(r30附加场强Ep2又引起新的附加极化,度为2r3)EfrEpn(y)nEf于是介质球内的场强等于自由电荷的场强rErrEf和附加场强Epn之总和，即rEfrrEP1Ep2rEfEpnn1根据nxn0rE-132xrEfr-Efr这样的过程一步一步继续下去，在第n步，附加极化强应比较小，同以上能求得正确结3果是因为均匀球内部的场是均匀的，而且介质的极化率时极化不影响自由电荷的分布。解法2：均匀的介质球在均匀电场中的极化是均匀的，而均匀极化的介质球表面的极化面电荷在球内单独产生的场强为rEpr’即Ep是与极化强度P丄Pr3o'的方向相反的均匀电场，若介质中的场强为E，则于是rEfrEPEf丄pEf丄3030rEf所以r3rEy-Ef30、半径为a金属球，带有电量q0，球外紧贴一层厚度为b,相对介电常数为r1的均匀固体电介质，固体电介质外充满相对介电常数为r2的均匀气体电介质，假定r1r2，讨论下列各问题：电位移矢量，电场强度，极化强度，电荷分布，电势解：（1）空间各点的电位移矢量D由球对称，作高斯面，用介质中的高斯定理可求出空间各点的电位移矢量在金属球内，Do在固体介质rir?D内，dSD4r2q。Di严,(a4rb)在气体介质r21内,/卑，（rb）4r（2）空间各点的电场强度在金属球内，D2E0在固体介质r1内,Ei—Di0ri_q_7在气体介质r2内,E2—芈40r.rr2（3）空间各点的极化强度在金属球内，在固体介质P0r1内,01Ei在气体介质r2P2r02Er21q0（4）电荷分布在金属球表面上自由电荷分布qof24aP1FOP1R在固体介质与金属球的交界面上极化电荷分布r11q0r1r11fr1在两种介质的交界面上极化电荷分布p2PlP2r1q。r1r2r1r22ab20arErdlbrE1ardlbrE2rdlqo11114or1abr1r2固体介质中任「点的电势为1rErrdlbrrrE1dlrbE2rdlqo11114or1rbr1r1气体介质中任「点的电势为rEdlrqo12r4or2r各物理量分布情况如图所示。（5）空间各点的电势金属球的电势为31、设有一驻极体（具有永久极化的特殊介质）制成的球，半径为R，其永久极化强度为rPo为恒量，若取P的方面为z轴，试求z轴上的电位移矢量，设原点在球心上。解：均匀极化的介质球在Z轴上所产生的场强，在球内和球外分别为rE1rE2在球内由D302「ARPo3OroE3ZP关系得Po0的均匀电介质，其相对介电常数为r，使两导体带等量异号的电荷，如图(a)所示，试0的均匀电介质，其相对介电常数为r，使两导体带等量异号的电荷，如图(a)所示，试rDiroEirPo在球外由
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