概率论与数理统计第三章课后习题及参考答案

1概率论与数理统计第三章课后习题及参考答案1．设二维随机变量),(YX只能取下列数组中的值：)0,0(，)1,1(，)31,1(及)0,2(，且取这几组值的概率依次为61，31，121和125，求二维随机变量),(YX的联合分布律．解：由二维离散型随机变量分布律的定义知，),(YX的联合分布律为XY03111012131061002125002．某高校学生会有8名委员，其中来自理科的2名，来自工科和文科的各3名．现从8名委员中随机地指定3名担任学生会主席．设X，Y分别为主席来自理科、工科的人数，求：(1)),(YX的联合分布律；(2)X和Y的边缘分布律．解：(1)由题意，X的可能取值为0，1，2，Y的可能取值为0，1，2，3，则561)0,0(3833CCYXP，569)1,0(381323CCCYXP，569)2,0(382313CCCYXP，561)3,0(3833CCYXP，283)0,1(382312CCCYXP，289)1,1(38131312CCCCYXP，283)2,1(382312CCCYXP，0)3,1(YXP，563)0,2(381322CCCYXP，563)1,2(381322CCCYXP，0)2,2(YXP，0)3,2(YXP．),(YX的联合分布律为：2XY0123ip0561569569561145128328928302815256356300283jp285281528155611(2)X的边缘分布律为X012P1452815283Y的边缘分布律为Y0123P285281528155613．设随机变量),(YX的概率密度为其他．,0,42,20),6(),(yxyxkyxf求：(1)常数k；(2))3,1(YXP；(3))5.1(YP；(4))4(YXP．解：方法1：(1)4220dd)6(dd),(1yxyxkyxyxf42202d|)216(yyxxxkkyyk8d)210(42，81k．(2)31dd),()3,1(yxyxfYXP32102dd)216(yxyxxx32102d|)216(81yyxxx83|)21211(81322yy．(3)),5.1()5.1(YXPXP5.1dd)6(81yxyx425.10dd)6(81yxyxyyxxxd)216(8142233227|)43863(81422yy．(4)4dd),()4(yxyxyxfYXP2042d)6(d81xyyxx202d)812(2181xxx32|)31412(1612032xxx．方法2：(1)同方法1．(2)20x，42y时，yxvuvufyxFdd),(),(yxvuvu20dd)6(81yxvuvuu202d|)216(81yvxvxx22d)216(81yxvvxxv222|)21216(81)1021216(81222xxyyxxy，其他，0),,(yxF，其他．,0,42,20),1021216(81),(222yxxxxyyxxyyxF83)3,1()3,1(FYXP．(3))42,5.1(),5.1()5.1(YXPYXPXP)2,5.1()4,5.1(YXPYXP3227)2,5.1()4,5.1(FF．(4)同方法1．4．设随机变量),(YX的概率密度为其他．,0,0,0,e),(2yxAyxfyx求：(1)常数A；(2)),(YX的联合分布函数．解：(1)002ddedd),(1yxAyxyxfyx002dedeyxAyx2|)e21(|)e(020AAyx，2A．4(2)0x，0y时，yxvuvufyxFdd),(),(yxvuvu002dde2yvxu020|)e21(|)e(2)e1)(e1(2yx，其他，0),(yxF，其他．,0,0,0),e1)(e1(),(2yxyxFyx．5．设随机变量),(YX的概率密度为其他．,0,10,10,),(yxAxyyxf求：(1)常数A；(2)),(YX的联合分布函数．解：(1)2121dddd),(11010AyyxxAyxyxf，4A．(2)10x，10y时，yxvuvufyxFdd),(),(yxvuuv00dd4220202||yxvuyx，10x，1y时，yxvuvufyxFdd),(),(100dd4xvuuv210202||xvux，10y，1x时，yxvuvufyxFdd),(),(100dd4yuvuv202102||yvuy，1x，1y时，yxvuvufyxFdd),(),(1010dd4vuuv1||102102vu，其他，0),(yxF，5其他．,0,1,1,1,10,1,,1,10,,10,10,),(2222yxyxyyxxyxyxyxF．6．把一枚均匀硬币掷3次，设X为3次抛掷中正面出现的次数，Y表示3次抛掷中正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求：(1)),(YX的联合分布律；(2)X和Y的边缘分布律．解：由题意知，X的可能取值为0，1，2，3；Y的可能取值为1，3．易知0)1,0(YXP，81)3,0(YXP，83)1,1(YXP，0)3,1(YXP83)1,2(YXP，0)3,2(YXP，0)1,3(YXP，81)3,3(YXP故),(YX得联合分布律和边缘分布律为：7．在汽车厂，一辆汽车有两道工序是由机器人完成的：一是紧固3只螺栓；二是焊接2处焊点，以X表示由机器人紧固的螺栓紧固得不牢的数目，以Y表示由机器人焊接的不良焊点的数目，且),(YX具有联合分布律如下表：XY0123084.003.002.001.0106.001.0008.0002.0201.0005.0004.0001.0求：(1)在1Y的条件下，X的条件分布律；(2)在2X的条件下，Y的条件分布律．解：(1)因为YX0123jp.108383043381008141ip8183838116)3,3()1,2()1,1()1,0()1(YXPYXPYXPYXPYP08.0002.0008.001.006.0，所以43)1()1,0()1|0(YPYXPYXP，81)1()1,1()1|1(YPYXPYXP，101)1()1,2()1|2(YPYXPYXP，401)1()1,3()1|3(YPYXPYXP，故在1Y的条件下，X的条件分布律为X0123P4381101401(2)因为)2,2()1,2()0,2()2(YXPYXPYXPXP032.0004.0008.002.0，所以85)2()0,2()2,0(XPYXPXYP，4)2()1,2()2,1(XPYXPXYP，81)2()2,2()2,2(XPYXPXYP，故在2X的条件下，Y的分布律为：Y012P8541818．设二维随机变量),(YX的概率密度函数为其他．,0,0,0,e),()2(yxcyxfyx求：(1)常数c；(2)X的边缘概率密度函数；(3))2(YXP；(4)条件概率密度函数)|(|yxfYX，)|(|xyfXY．解：(1)00)2(ddedd),(1yxcyxyxfyx7002dedeyxcyx2|)e(|)e21(002ccyx，2c．(2)0x时，yyxfxfXd),()(0)2(de2yyxxyx202e2|)e(e2，0x时，0)(xfX，．0,0,0,e2)(2xxxfxX，同理．0,0,0,e)(yyyfyY．(3)2dd),()2(yxyxyxfYXP20202dde2xyxyx4220202ee21dede2xyxyx．(4)由条件概率密度公式，得，当0y时，有其他．其他．,0,0,e2,0,0,ee2)(),()|(22|xxyfyxfyxfxyyxYYX，0y时，0)|(|yxfYX，所以其他．,0,0,0,e2)|(2|yxyxfxYX；同理，当0x时，有其他．其他．,0,0,e,0,0,2ee2)(),()|(22|yyxfyxfxyfyxyxXXY0x时，0)|(|xyfXY，所以其他．,0,0,0,e)|(|yxxyfyXY．9．设二维随机变量),(YX的概率密度函数为其他．,0,0,10,3),(xyxxyxf8求：(1)关于X、Y的边缘概率密度函数；(2)条件概率密度函数)|(|yxfYX，)|(|xyfXY．解：(1)10x时，yyxfxfXd),()(203d3xyxx，其他，0)(xfX，其他．,0,10,3)(2xxxfX，密度函数的非零区域为}1,10|),{(}0,10|),{(xyyyxxyxyx，10y时，xyxfyfYd),()()1(23d321yxxy，其他，0)(yfY，其他．,0,10),1(23)(2yyyfY．(2)当10y时，有其他．其他．,0,1,12,0,1,)1(233)(),()|(22|xyyxxyyxyfyxfyxfYYX，其他，0)|(|yxfYX，故其他．,0,10,1,12)|(2|yxyyxyxfYX．当10x时，有其他．其他．,0,0,1,0,0,33)(),()|(2|xyxxyxxxfyxfxyfXXY，其他，0)|(|xyfXY，9故其他．,0,10,0,1)|(|xxyxxyfXY．10．设条件密度函数为其他．,0,10,3)|(32|yxyxyxfYXY的概率密度函数为其他．,0,10,5)(4yyyfY求)21(XP．解：其他．,0,10,15)|()(),(2|yxyxyxfyfyxfYXY，则6447d)(215dd15dd),()21(121421211221xxxxyyxyxyxfXPxx．11．设二维随机变量),(YX的概率密度为其他．,0,20,10,3),(2yxxyxyxf求：(1)),(YX的边缘概率密度；(2)X与Y是否独立；(3))),((DYXP，其中D为曲线22xy与xy2所围区域．解：(1)10x时，xxyxyxyyxfxfX322d)3(d),()(2202，其他，0)(xfX，其他．,0,10,322)(2xxxxfX，20y时，xyxfyfYd),()(316)d3(102yxxyx，10其他，0)(yfY，其他．,0,20,316)(yyyfY．(2)),()()(yxfyfxfYX，X与Y不独立．(3)}22,10|),{(2xyxxyxD，102222dd)3()),((xxxyxyxDYXP457d)32238(10543xxxx．12．设二维随机变量),(YX的概率密度为其他．,0,0,0,e)1(),(2yxyxyxfx试讨论X，Y的独立性．解：当0x时，xxxXxyxyyxyyxfxfe|11ed)1(ed),()(002，当0x时，0)(xfX，故．0,0,0,e)(xxxxfxX，同理，可得．0,0,0,)1(1)(2yyyyfY，因为)()(),(yfxfyxfYX，所以X与Y相互独立．13．设随机变量),(YX在区域}|),{(ayxyxg上服从均匀分布，求X与Y的边缘概率密度，并判断X与Y是否相互独立．解：由题可知),(YX的联合概率密度函数为11其他．,0,,21),(2ayxayxf，当0xa时，有)(1d21d),()(2)(2xaayayyxfxfxaxaX，当ax0时，有)(1d21d),()(2)(2xaayayyxfxfxaxaX，当ax时，0d),()(yyxfxfX，故．axaxxaaxfX,0,),(1)(2，同理，由轮换对称性，可得．ayayyaayfY,0,),(1)(2，显然)()(),(yfxfyxfYX，所以X与Y不相互独立．14．设X和Y时两个相互独立的随机变量，X在)1,0(上服从均匀分布，Y的概率密度为．0,0,0,e21)(2yyyfyY(1)求X和Y的联合概率密度；(2)设含有a的二次方程为022YaXa，试求a有实根的概率．解：(1)由题可知X的概率密度函数为其他．,0,10,1)(xxfX，因为X与Y相互独立，所以),(YX的联合概率密度函数为其他．,0,0,10,e21)()(),(2yxyfxfyxfyYX，12(2)题设方程有实根等价于}|),{(2XYYX，记为D，即}|),{(2XYYXD，设A{a有实根}，则DyxyxfDYXPAPdd),()),(()(1021002d)e1(dde2122xxyxxy102de12xx102de21212xx23413.01)]0()1([21．15．设iX～)4.0,1(b，4,3,2,1i，且1X，2X，3X，4X相互独立，求行列式4321XXXXX的分布律．解：由iX～)4.0,1(b，4,3,2,1i，且1X，2X，3X，4X相互独立，易知41XX～)84.0,16.0(b，32XX～)84.0,16.0(b．因为1X，2X，3X，4X相互独立，所以41XX与32XX也相互独立，又32414321XXXXXXXXX，则X的所有可能取值为1，0，1，有)1()0()1,0()1(32413241XXPXXPXXXXPXP1344.016.084.0，)1,1()0,0()0(32413241XXXXPXXXXPXP)1()1()0()0(32413241XXPXXPXXPXXP7312.016.016.084.084.0，)0()1()0,1()1(32413241XXPXXPXXXXPXP1344.084.016.0，故X的分布律为X101P1344.07312.01344.01316．设二维随机变量),(YX的概率密度为其他．,0,0,0,e2),()2(yxyxfyx求YXZ2的分布函数及概率密度函数．解：0z时，若0x，则0),(yxf；若0x，则0xzy，也有0),(yxf，即0z时，0),(yxf，此时，0dd),()2()()(2zyxZyxyxfzYXPzZPzF．0z时，若0x，则0),(yxf；只有当zx0且02xzy时，0),(yxf，此时，zyxZyxyxfzYXPzZPzF2dd),()2()()(zxzyxyx020)2(de2dzzzee1．综上．0,0,0,ee1)(zzzzFzzZ，所以．0,0,0,e)()(zzzzFzfzZZ．17．设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为其他．,0,10,1)(xxfX，．0,0,0,e)(yyyfyY求YXZ的概率密度．解：0z时，若0x，则0)(xfX；若0x，则0xzy，0)(xzfY，即0z时，0)()(xzfxfYX，此时，0d)()()(xxzfxfzfYXZ．10z时，若0x，则0)(xfX；只有当zx0且0xzy时0)()(xzfxfYX，14此时，zzxzYXZxxxzfxfzfe1ded)()()(0)(．1z时，若0x，0)(xfX；若1x，0)(xfX；若10x，则0xzy，此时，0)()(xzfxfYX，zxzYXZxxxzfxfzfe)1e(ded)()()(10)(．综上，．0,0,1,e)1e(,10,e1)(zzzzfzzZ．18．设随机变量),(YX的概率密度为其他．,0,0,0,e)(21),()(yxyxyxfyx(1)X和Y是否相互独立？(2)求YXZ的概率密度．解：(1)),()()(yxfyfxfYX，X与Y不独立．(2)0z时，若0x，则0)(xfX；若0x，则0xzy，0),(yxf，此时，0d),()(xxzxfzfZ．0z时，若0x，则0)(xfX；只有当zx0且0xzy时0),(yxf，此时，xxzxfzfZd),()(zyxxyx0)(de)(21zzxz0de21zze212，所以．0,0,0,e21)(2zzzzfzZ．19．设X和Y时相互独立的随机变量，它们都服从正态分布),0(2N．证明：随机变量22YXZ具有概率密度函数．0,0,0,e)(2222zzzzfzZ．解：因为X与Y相互独立，均服从正态分布),0(2N，所以其联合密度函数为152222)(2e121),(yxyxf，(yx,)当0z时，有zyxZyxyxfzYXPzZPzF22dd),()()()(22zyxyxyx22222dde1212)(220022ded12122zrrrzrrr022de122，此时，2222e)(zZzzf；当0z时，}{22zYX，所以0)()()(22zYXPzZPzFZ，此时，0)(zfZ，综上，．0,0,0,e)(2222zzzzfzZ．20．设),(YX在矩形区域}10,10|),{(yxYXG上服从均匀分布，求},min{YXZ的概率密度．解：由题可知),(YX的联合概率密度函数为其他．,0,20,10,21),(yxyxf，易证，X～]1,0[U，Y～]2,0[U，且X与Y相互独立，．1,1,10,,0,0)(xxxxxFX，．2,1,20,2,0,0)(yyyyyFY，可得)](1)][(1[1)(zFzFzFYXZ)()()()(zFzFzFzFYXYX16．1,1,10,223,0,02zzzzz，求导，得其他．,0,10,23)(zzzfZ．21．设随机变量),(YX的概率密度为其他．,0,0,10,e),()(yxbyxfyx(1)试确定常数b；(2)求边缘概率密度)(xfX及)(yfY；(3)求函数},max{YXU的分布函数．解：(1)010)(ddedd),(1yxbyxyxfyx100dedeyxbyx)e1(|)e(|)e(10102bbyx，1e11b．(2)10x时，10)(1e1edee11d),()(xyxXyyyxfxf，其他，0)(xfX，其他．,0,10,e1e)(1xxfxX，0y时，xyxfyfYd),()(yyxxedee1110)(1，0y时，0)(yfY，．0,0,0,e)(yyyfyY．(3)0x时，0)(xFX，1710x时，101e1e1de1ed)()(xxtxXXtttfxF，1x时，1)(xFX，．1,1,10,e1e1,0,0)(1xxxxFxX；0y时，0)(yFY，0y时，yyvyYYvvvfyFe1ded)()(0，．0,0,0,e1)(yyyFyY，故有)()()(yFxFuFYXU．1,e1,10,e1e1,0,01uuuuu．