THUSSAT2021年3月诊断性测试数学试卷中学生标准学术能力诊断性测试及参考答案

第1页共4页第2页共4页（第9题图）中学生 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 学术能力诊断性测试2021年3月测试数学试卷本试卷共150分，考试时间120分钟。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知抛物线2:2Cyx=，则抛物线C的焦点到准线的距离为A．14B．12C．1D．22．已知集合{}{}2540,24xMxxxNx=−+≤=>，则A．MN=RB．{}24MNxx=<<C．{}2MNxx=>D．{}24MNxx=<≤3．已知等差数列{}na满足：25815aaa++=，则37aa+=A．3B．5C．7D．104．己知向量()()1,2,3,OAOBm=−=．若OAAB⊥，则实数m的值为A．32B．4C．32−D．4−5．已知实数,xy满足2,2,24,xxyxy≤+≥+≤则22xy+的最大值为A．2B．5C．4D．56．若()()()()727401271222xxaaxaxax++=+++++++，则3a=A．27B．35C．8−D．43−7．已知函数()2fxxbxc=−++，则“02bff>”是“方程()0fx=有两个不同实数解且方程()()0ffx=恰有两个不同实数解”的A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件8．已知函数()()cos1,0,2log,0,axxfxxxπ−≥=−−<（0a>且1a≠），若函数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是A．60,6B．6,16C．50,5D．5,15二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．9．某个国家某种病毒传播的中期，感染人数y和时间x（单位：天）在18天里的散点图如图所示，下面四个回归方程类型中有可能适宜作为感染人数y和时间x的回归方程类型的是A．yabx=+B．exyab=+C．lnyabx=+D．2yabx=+10．已知函数()fx的局部图象如图所示，则下列选项中不可能是函数()fx解析式的是A．2cosyxx=B．cosyxx=C．2sinyxx=D．sinyxx=（第10题图）第3页共4页第4页共4页11．下列命题正确的是A．若ab>，则,cacbc∀∈>RB．若ab>，则,cacbc∃∈>RC．若ab>，则,++cacbc∀∈>RD．若ab>，则,,caccb∃∈>>R12．已知函数()12123xxxfxxxx++=+++++，下列关于函数()fx的结论正确的为A．()fx在定义域内有三个零点B．函数()fx的值域为RC．()fx在定义域内为周期函数D．()fx图象是中心对称图象三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．1i12i−+（其中i是虚数单位）的共轭复数为．14．已知△ABC的三个内角,,ABC的对边边长分别为,,abc，若23,2abAB==，则cosB=．15．已知双曲线222210,0xyabab−=>>（）的焦点为12,,FFP是双曲线上一点，且123FPFπ∠=．若△12FPF的外接圆和内切圆的半径分别为,Rr，且=4Rr，则双曲线的离心率为．16．在棱长为42的正四面体ABCD−中，点,EF分别为直线,ABCD上的动点，点P为EF中点，Q为正四面体中心（满足QAQBQCQD===），若2PQ=，则EF长度为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数()23sincoscosfxxxx=−．（1）求12fπ的值；（2）当[]0,x∈π，求函数()fx的单调递增区间．18．（12分）已知数列{}na的前n项和nS，且()2221,nannnnSanbS−=−=．（1）求数列{}na的通项公式；（2）求数列{}nb的最小项的值．19．（12分）如图，四棱锥PABCD−中，ADBC，平面PAD⊥平面PBC．若,3BCDπ∠=,2,12PBCADCDBCπ∠====．（1）证明：PBPA⊥；（2）若2PAPC=，求二面角PBCA−−的余弦值．20．（12分）袋中有大小完全相同的7个白球，3个黑球．（1）若甲一次性抽取4个球，求甲至多抽到一个黑球的概率；（2）若乙共抽取4次，每次抽取1个球，记录好球的颜色后再放回袋子中，等待下次抽取，且规定抽到白球得10分，抽到黑球得20分，求乙总得分X的分布列和数学期望．21．（12分）如图，已知椭圆22:15xCy+=的右焦点为F，原点为O，椭圆的动弦AB过焦点F且不垂直于坐标轴，弦AB的中点为N，椭圆C在点,AB处的两切线的交点为M．（1）求证：,,OMN三点共线；（2）求ABFMFN⋅的最小值．22．（12分）已知()()ln1fxxax=+−在()0,+∞有零点0x．（1）求实数a的取值范围；（2）求证：（i）0121xa>−；（ii）()()()100ln1e1ln1axfxaa+<−−−．（第19题图）（第21题图）第1页共7页中学生标准学术能力诊断性测试2021年3月测试数学试卷参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．12345678CDDBBBCB二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．9101112BDABDBCDABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．13i55−+14．3415．221716．26四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（1）()231cos23sincoscossin222xfxxxxx+=−=−π1sin262x=−−，……………3分π1122f∴=−……………5分（2）()π1sin262fxx=−−，由πππ2π22π,262kxkk−≤−≤+∈Z，第2页共7页……………7分ππππ,63kxkk∴−≤≤+∈Z，所以函数()fx的单调递增区间为π0,3,5π,π6……………10分18．解：（1）1(2)nnnaSSn−=−≥,1nnnSaS−∴−=，则()21(1)2nSnn−=−≥，即2*()nSnn=∈N……………3分()22(1)212nannnn∴=−−=−≥……………5分经检验11a=适合，21nan∴=−……………6分（2）易知0nb>,2142nnbn−=,()2+1+142+1nnbn=，4241422(1)1nnbnnbnn+∴==++……………8分当211nn>+时，21n>+，所以当13n≤<时，1nnbb+>，当3n≥时，1nnbb+<……………10分又23132,281bb==，所以当3n=时，nb有最小值3281……………12分19．解：（1）证明：设平面PAD平面PBCl=,//ADBC,BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD，//BC∴平面PAD，又BC⊂平面PBC,//BCl∴……………2分π2PBC∠=,PBBC∴⊥,PBl∴⊥……………4分又因为平面PAD⊥平面PBC，PB∴⊥平面PAD，可得PBPA⊥，得证……………6分第3页共7页（2）连结BD，在△BCD中，易得3BD=,BDBC∴⊥,又PBBC⊥,PBD∴∠为二面角PBCA−−的平面角……………8分以D为原点，分别以,DADB的方向为x轴，y轴正方向建立空间直角坐标系，(2,0,0)A∴,(0,3,0)B,(1,3,0)C−．,,BCBDBCPDBDPDD⊥⊥=,BC∴⊥平面PBD，所以平面PBD⊥平面ABCD……………9分可设(0,,)Pyz．由2PAPC=，可得：222222(02)4(01)4(3)4yzyz−++=++−+，化简可得：223833120yyz−++=①由（1）知PBPA⊥,(2,,)(0,3,)0yzyz∴−⋅−=，化简得:2230yyz−+=②解方程①②可得:435y=,235z=……………11分25sin5zPBDPB∴∠==，则5cos5PBD∠=……………12分20．解：（1）甲是无放回地抽取，甲至多抽到一个黑球：基本事件{没有抽到黑球，抽到一个黑球}，{P∴没有抽到黑球}471401635210CC===……………1分{P抽到一个黑球}173103410512102CCC===……………2分所以甲至多抽到一个黑球的概率为：112623+=……………5分（2）解法一：乙是有放回地抽取，抽到白球得10分，抽到黑球得20分，所以抽取4次{4个白球，3个白球1个黑球，2个白球2个黑球，1个白球3个黑球，第4页共7页4个黑球}，对应的X取值有{40,50,60,70,80}，而每次抽到白球、黑球的概率分别为710,310，设4次取球取得黑球次数为r，则r的可能取值0,1,2,3,4……………6分4473(4010)1010rrrPXrC−∴=+=，即可得分布列如下：X4050607080P100002401411610000100002646756100008110000……………10分()240126411675640506070805210000100001000010004681010000EX∴=×+×+×+×+×=……………12分解法二：设4次取球取得黑球数为Y，则4010XY=+，且34,10YB……………8分34010401045210EXEY=+=+××=……………12分21．解：（1）椭圆的右焦点为(2,0)F，设AB所在的直线的方程为(2)ykx=−（0k≠），且1122(,),(,)AxyBxy……………1分联立方程组22(2),1,5ykxxy=−+=可得：2222(51)20(205)0kxkxk+−+−=…………3分则21222051kxxk+=+,212220551kxxk−=+，点N的坐标为222102,5151kkkk−++，第5页共7页ON∴所在的直线的方程为15yxk=−……………5分椭圆C在,AB处的切线方程分别为1115xxyy+=,2215xxyy+=，联立方程组11221,51,5xxyyxxyy+=+=解得点M的坐标为2112122112215(),yyxxxyxyxyxy−−−−,51,22Mk−，所以点M的坐标满足直线ON的方程15yxk=−，故,,OMN三点共线．……………7分（2）由（1）可知，2212225(1)151kABkxxk+=+−=+……………8分221511222kFMkk+=+−=……………9分222221021125151kkFNkkk+=+−=++……………10分25152ABFMkFNk⋅+∴=≥，当且仅当1k=时，等号成立……………12分22．解：（1）()ln(1)fxxax=+−,1()1fxax′=−+……………1分①当0a≤时，1()01fxax′=−≥+在(0,)x∈+∞时恒成立，()ln(1)fxxax∴=+−在(0,)+∞上递增，所以()(0)0fxf>=，不符合题意．……………2分第6页共7页②当01a<<时，11()0011fxaxxa′=−≥⇔<≤−+，()ln(1)fxxax∴=+−在10,1a−上递增，在11,+a−∞上递减，11(0)0ffa−>=，当x→+∞时，()fx→−∞，满足题意……………4分③当1a≥时，1()01fxax′=−<+在(0,)x∈+∞时恒成立，()ln(1)fxxax∴=+−在(0,)+∞上递减，()(0)0fxf∴<=，不符合题意．……………6分综上所述，a的取值范围是(0,1)．（2）（ｉ）由（1）知01a<<,00ln(1)xax+∴=，要证明0121xa>−，只要证明0002ln(1)2xxx+>+，设2()ln(1)2xgxxx=+−+,0x>，22214()01(2)(1)(2)xgxxxxx′=−=≥++++，2()ln(1)(0)02xgxxgx=+−>=+，即0121xa>−，（ii）要证明10e1ax<−，只要证明01ln(1)xa+<，即证明000ln(+1)ln(1)xxx<+,()0ln10x+>，即证00ln(+1)xx<……………7分设()ln(1)hxxx=+−,0x>，则11()012hxxx′=−<+，第7页共7页所以当0x>时，()(0)0hxh<=，即100e1ax<<−①……………9分另一方面，()fx在10,1a−上递增，在011,xa−上递减，又0(0)()0ffx==,000axx<<，0010(ln(1))()1ln1fxfaxfaaa∴<+=<−=−−②……………12分由①②得100(ln(+1))e1(ln1)axfxaa<−−−．