二次函数之铅垂线问题

1.如图.直线＞=三+1经过点出1,m),夙4,哂点C的坐标为Q,5),则△ISC的面积为「提示:利用点坐标求面积，需要将点坐标转化为横平竖直的线段长，常考虑作横平竖直的线来对图形进行割补.具体操作।①过点C作8心轴，交工8于点n②借助CQ坐标求解CZ)长彳③以CD为底，则&B两点间的水平距离为高，即S二皿二SjXDC+5二HBC=LCD(xg-x^).二、知识梳理1.坐标系中处理面积问题，要寻找并利用通常有以下三种思路；①公式法,②割补法(分割求和、补形作差)；③转化法d斯借助平行线转化).①割补法—铅垂法求面积：的线,2、问题1： 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达横平竖直线段长的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ：第一步：设坐标利用所在函数表达式或坐标间关系第二步：坐标相减竖直线段：坐标相减,水平线段：坐标相减,铅垂线求面积步骤:1、分清定点（A、B）和动点（P）,过动点（P）彳y轴的平行线，交两定点（A、B）所确定的直线（AB）与一点（M）2、求抛物线的解析式及两定点所确定的直线的解析式3、根据解析式表示P、M的坐标，从而表示线段PM的长4…$皿产刀FM-（强f）4、表不一化法__借助平行线转化:B当H。在KE同侧时,PQllAB.当R0在异侧吐46平分PQ.（下次课讲）类型一（铅垂线表示线段的长度）例题讲解_„_LnJ।r用（—，加），3（4,i.如图，直线y一工十」与抛物线—zx+o相交于2PC的最大值?AB0川），点P是线段上异于A,B的动点，过点P作PCXx轴于点D,交抛物线于点C,则求线段【变式训练】：1.如图，直线了二1与抛物线y-X—1—3交于A,B两点，P是抛物线上的一个动点(不与a,B两点重合)，过点P作直线PQ，x轴，交直线y=x于点Q.设点P的横坐标为m,求当线段PQ的长度随m的增大而减小时m的取值范围？23.(11分)如图，抛物线y=—x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点，直线y=—§x+3与y轴交于点4C,,与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作Pnx轴于点F,交直线CDT点E.设点P的横坐标为m(1)求抛物线的解析式；(2)若PE=5EF,求m的值；1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点的4），町。），C（5,Q）.物线上的点（不与AC重合），连接PAPC,S与m之间的函数关系式?当m为何值时，S有最大值?占八、、P是直线AC下方抛设点P的横坐标为m\（3）若点E/是点E关于直线PC的对称点、是否存在点巳使点E/落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由。类型二：（铅垂线表示三角形的面积1.如图，在平面直角坐标系中，顶点为即一0【变式训练】：的抛物线交两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为Q9.已知点个动点，且位于A,C两点之间.求^PAC的面积最大时点P的坐标和^PAC的最大面积分别为多少?.已知抛物线"加+bx+c经过月(7,0)方(2,0)「0(0f2)三点，如图，点p是第一象限内抛物线上的一个动点，求四边形ABPC勺面积最大值？丁二一工+22,.如图，一次函数2与y轴、x轴分别交于点A,B,抛物线J二一厂十切^十匚过A,B两点.Q为直线AB下方的抛物线上一点，设点Q的横坐标为n,4QA即面积为£,求£与n之间的函数关系式？23.(11分)如图，边长为8的正方形的两边在坐标轴上，以点。为顶点的抛物线经过点幺，点P是抛物线上点幺、。间的一个动点(含端点)，过点P作P尸”。于点尸.点D、E的坐标分别为(0,6),(-4,0),连接PE,DE.(1)清直接写出抛物线的解析式；(2)小明探究点尸的位置发现：当点尸与点N或点。重合时，PD与尸尸的差为定值.进而猜想：对于任意一点P,尸。与尸F的差为定值.清你判断该猜想是否正确，并说明理由；(3)小明进一步探究得出结论：若将"使△PDE的面积为整数”的点P记作,•好点”，则存在多个;,好点”，且使NDE的周长最小的点尸也是一个•好点”.清直接写出所有“好点”的个数，并求出的周长最小时“好点”的坐图各用图类型三：(铅垂线表示点到直线的距离)23.(11分)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线＞=丁+A与工轴交于4*两点，与y轴交于点C.抛物线的・顶点为M,直线BC的解析式为y=工-3.(1)求抛物线的解析式和顶点M的坐标,(2)若点P为直线BC下方抛物线上一动点，求点P到直线BC的最大距离.(3)连接BM,点Q为y轴上一动点，当△QBM为直角三角形时，请直接写出点Q的坐标.【变式训练】：1223.(11分)如图，在平面直角坐标系中，直线y=—x+1与抛物线y=ax2+bx—3交于A、B两点，点A2在x轴上，点B的纵坐标为3。点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与点A、B重合)，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,彳PDLAB于点C,彳PDLAB于点D。(1)求a、b的值；(2)设点P的横坐标为m①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连接PB线段PC把△PDB^成两个三角形，是否存在合适的m值，使这两个三角形的面积之比为9:10?若存在，直接写m的值；若不存在，说明理由。第23题N(11分)如图,二次函数+&+c和一次函数+I的图象都过点4(-1,0)和8(4,d).(1)直接写出一次函数和二次函数的解析式；(2)当点P在直线AB下方的抛物线上时，过点P作的垂线，垂足为点Q,求BQ+PQ的最大值及此时点P的坐标；(3)在掘物线上是否存在点P,使APAB为直角三角形?若存在，请直接写出点P的坐标;若不存在，请说明理由.(1•一一….八一23.(11分)如图，抛物线＞=--+及♦。交”轴于点4(2,0)和点环交y轴于点C(0,6),一次函数＞=H+6的图象过点兄C,点P是抛物线上第二象限内一点.(1)请直接写出抛物线和一次函数的解析式；(2)过点P作*轴的平行线交BC于点。作BC的垂线PM交BC于点M-①求线段M0的最大值及此时点P的坐标；②连接PC,是否存在点P,使得以P,M,C为顶点的三角形与AC8O相似T•若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在，请说_.明理由.类型四：（铅垂线表示三角形的周长）1.如图，四边形ABCD是矩形，A,B两点在x轴的正半轴上，C,D两点在抛物线）二一/+6芯上.设OA=m（0<^<3）,矩形ABCD的周长为L求/与m的函数关系式？331335y——x—y二—工—zH—2.2.如图，在平面直角坐标系中，直线■42与抛物线442交于a,B两点，点A在x轴上.点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A,B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C,交E,设4PDE的周长为‘，点P的横坐标为m,求/关于m的函数关系式?【变式训练】331223.(11分)如图，在平面直角坐标系中，直线y=—X——与抛物线y=——x2+bx+c交于A、B两点，424点A在x轴上，点B的横坐标为一8.(1)求该抛物线的解析式；(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点(不与点AB重合)，过点P作x轴的垂线，垂足为C,交♦♦直线AB于点D,彳PHAB于点E.①设△PDE的周长为l,点P的横坐标为x,求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；②连接PA以PA为边作图示一侧的正方形APFG随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标.23.(U分)如图，抛物线尸=欧2+/-3与“轴交于4(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C.'(1)求抛物线的解析式；(2)如图，直线BC下方的抛物线上有一点过点D作DE1BC于点&作DF平行于x轴交直线BC于点F,求△»£尸周长的最大值；(3)已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点.若点P是抛物线上一点，且位于抛物线对称轴的右侧,是否存在以点P,M,N,Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，请直接写出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.y-x2+-X-31.如图，抛物线2类型四：(铅垂线表示平行四边形)与直线2交于A(0,-3),B(-4,-5)两点，点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PCXx轴于点C,交直线AB于点D.若以O,A,P,D为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标?【变式训练】：21一23.(11分)如图，抛物线y=-x+bx+c与直线y=2x+2交于CD两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为(3,2).点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作P已x轴于点E,交。蛇点F.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P的横坐标为m当m为何值时，以QCP、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由.(3)若存在点P,使/PC=45,请直接写出相应的点P的坐标.♦♦♦♦备用图18年许昌二模各地模考18年许昌一模耳（】1分）如国.抛物线乃--+fer+d与二轴交于点从《-1⑼和点凡与7轴容于点。（0,3）,直线,=-生+皿经过点C,与抛物线的另_交点为点明点『是直线⑪上方抛物线上的T^ft点,过点?作PF_Lm轴于点风交宜线CD于点E.设点尸的横坐标为血（1）求抛物线解析式并求出点D的坐标；。）连接PRACRP的面积是否存在最大值，若存在,请求出面积的最大值，若不存在'请说明理由事（3）当△CPE是等腰三角形时，请直接写出股的值.16年许昌一模23.(11分)如图，抛物绽与工轴交于点与，轴交于点C,直线y«-4+2是过点乐C《D求物物线的第析式；(2)点P为直线4C上方抛物线上一动点.雌接收,交义C于点民求罂的最大值।,W②过点P作FFJ^C,垂足为点F,连接PC,是否存在点巴使APFC中的一个角等于上CAB的2倍？着存在，清宜撰写出点P的坐标:若不存在,请说明理由.18年商丘一模13.(本题满分9分)如图14,抛物线尸—+k+4,与*轴交于\"四力点与y疝主于,3对称轴＞3交三轴交于点4市求抛物线的解析式.一(2)点也是x轴上方抛物线上一动点，过点M作MAU五轴于点儿交泌于点艮设点M的横坐标为明用含阳的代数式表示或段ME的长,并求匕'段ME长的最大值.n(3)若点P在)轴的正半轴匕连接思，过点P作P4的垂线,交抛物线的脑轴于点Q.是否存在点匕便以点九九。为顶点的三角形与△崩。建,若存在，宜接写出点P的坐标;不存在，诂说明理由.h23.(11分)如图，抛物线产尔j加r-2与)轴的交点为义抛物线的顶点为5(1,-3).(1)求出抛物线的解析式।(2)点尸为工轴上一点，当三角形总的周长最小时，求出点F的坐标孑(3)水平移动抛物线，新抛物线的顶点为C,两抛物线的交点为口，当CD在一条直线上时，请直接写出平移的距离.课后作业J1.如图，已知二次函数了二/一21一3的图象上一点A,其横坐标为-2,直线/过点A并绕着点A旋转，与3抛物线的另一个交点是点B,点B的横坐标m满足2,连接OAOB求当^AOB的面积最大时,点B的坐标？上2.如图，抛物线y=。工-5以工+4经过△ABC的三个顶点，已知BCx轴，点A在x轴上，点C在y轴上,且AC=BC在第三象限的抛物线上存在一点P,使彳#△PAB的面积为6,求点P的坐标？咻尸3.如图，已知抛物线动点，且在第三象限，若存在点S4耀c,求此时点M的横坐2与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C.M为抛物线上慑二M使得标？4.如图,点为C.在抛物线上存在点P使得△PAC的面积是/\ABC面积的4,求此时点_1,已知直线'3,与抛物线了二公+"“hQ)交于A(-4,-2),B(6,3)两点，抛物线与y轴的交.如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点分别为A(0,1),B(2,0),O(0,0),将此三角板绕原点O逆时针旋转90。，得到△COD设点P是过C,D,B三点的抛物线上的一点，且在第一象限.若四边形PDCB勺面积是^CO而积的4倍，求点P的坐标?.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A,B分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=1-BO=3,将RtAAOBAO绕原点O逆时针旋转90。，得到△DOC抛物线"GX+b\+c经过A,B,C三点.设抛物线上一点P的—2W洲W—横坐标为mi连接PGPB.若4,且存在△PBC求△PBC的面积最大时m的值？23.(H分)如图，白线>=-寺…与坐标轴交于点抛物线‘=-+bx+c经过点A9CfD二点，点C的坐标是(-2,0).(1)求抛物线的解析式；(2)如图(1),点P为第一象限抛物线上一动点，求△4BP面积的最大值及此时点P的坐标；(3)如图(2),连接AC,点M(4,2)为抛物线内一点，在抛物线上是否存在点Q,使直线与”轴所成的锐角等于404C?若存在，请直接写出点Q的横坐•标；否贝人请说明理由.图⑴图(2)