(完整版)函数、极限与连续习题及答案

第一章 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数、极限与连续(A)1．区间a,表示不等式(B．axt31(A．t31B．t62C．t9)A．axC．axD．ax2．若tt31，则)2D．t93t63t323．设函数fxln3x152xarcsinx的定义域是()15521A．,B．1,C．,1D．1,13234．下列函数fx与gx相等的是(A．fxx2，gxx4)2xB．fxx，gxC．fxx1，gxx1D．fxx21，gxx1x1x1x15．下列函数中为奇函数的是()2C．2x2xsinx2sinxA．yB．yxexD．yx2cosxxsinxx26．若函数fxx，2x2，则fx1的值域为(A．0,2B．0,3C．0,2D．0,37．设函数fxex(x0)，那么fx1fx2为())x1A．fx1fx2B．fx1x2C．fx1x2D．fx228．已知fx在区间A．9．函数yfx与其反函数yf1x的图形对称于直线(,上单调递减，则fx4的单调递减区间是(),B．,0C．0,D．不存在)A．B．x0C．yxD．yxy0110．函数y10x12的反函数是()x1xA．B．ylogx2C．ax,x是有理数D．y1lgx2ylgylog2x211．设函数fx0a1，则()0,x是无理数A．当xC．当x时，fx是无穷大B．当xD．当x时，fx是无穷小时，fx是无穷小时，fx是无穷大12．设fx在R上有定义，函数fx在点x0左、右极限都存在且相等是函数fx在点x0连续的()A．充分条件C．必要条件B．充分且必要条件D．非充分也非必要条件x2a,x1在R上连续，则a的值为(cosx,x113．若函数fx)A．0B．1C．-1D．-214．若函数fx在某点x0极限存在，则()A．fx在x0的函数值必存在且等于极限值B．fx在x0函数值必存在，但不一定等于极限值C．fx在x0的函数值可以不存在D．如果fx0存在的话，必等于极限值123415．数列0，，，，，⋯是()3456A．以0为极限B．以1为极限n2nC．以为极限D．不存在在极限1x16．limxsin()xA．B．不存在C．1D．02x117．lim1()xx212A．e2B．C．0D．18．无穷小量是()A．比零稍大一点的一个数C．以零为极限的一个变量B．一个很小很小的数D．数零2x,2,1x019．设fx0x1则fx的定义域为，f0=，x1,1x3f1=。220．已知函数yfx的定义域是0,1，则fx的定义域是。。121．若fx，则ffx，fffx1x22．函数yex1的反函数为。23．函数y5sinx的最小正周期T。11x2，则fx。24．设fxx25．limn3nn1。x1112n111241126．limn。393n27．28．。limxlnxx02x3203x230lim。505x1xx,x129．函数fxx1,1x2的不连续点为。3x,x230．lim3nsinx。3nn131．函数的连续区间是。fxx213axb,x0ab0，fx处处连续的充要条件是32．设fxabx2x,x0b。1,x033．若fx，gxsinx，复合函数fgx的连续区间1,x0是。x2x134．若limaxb0，a，b均为常数，则a，b。x35．下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪既非奇函数又非偶函数？1x2(1)yx21x2，(2)y3x2x3，(3)y2，(4)yxx1x11xxxaa(5)ysinxcosx1，(6)y2251t36．若ft2t25t，证明ftf。t2t37．求下列函数的反函数2xx1x1(1)y，(2)y12sin2x138．写出图1-1和图1-2所示函数的解析表达式yy211xx-1图1-1图1-2sinx,x1x2,0xx039．设fx，求limfx。x01222n2n，求340．设xn。limxnn2n1，求lim0fxxfx。x41．若fxx2x411142．利用极限存在准则证明：1。limnn2n22n2nn43．求下列函数的间断点，并判别间断点的类型x，(4)yxxx1x2，(3)y(1)y2，(2)y1x2xx,0x1144．设，问：fx,x121,1x2(1)limfx存在吗？x1(2)fx在x1处连续吗？若不连续，说明是哪类间断？若可去，则补充定义，使其在该点连续。x21,0x1，x3,x145．设fx(1)求出fx的定义域并作出图形。1(2)当x，1，2时，fx连续吗？2(3)写出fx的连续区间。2,4x2,4,x0,x246．设fx0x2，求出fx的间断点，并指出是哪一x2类间断点，若可去，则补充定义，使其在该点连续。47．根据连续函数的性质，验证方程x53x1至少有一个根介于1和2之间。48．验证方程x2x1至少有一个小于1的根。(B)1．在函数fx的可去间断点x0处，下面结论正确的是()A．函数fx在x0左、右极限至少有一个不存在5B．函数fx在x0左、右极限存在，但不相等C．函数fx在x0左、右极限存在相等D．函数fx在x0左、右极限都不存在1x3sinx,x0，则点0是函数fx的(2．设函数fx)0,x0A．第一类不连续点C．可去不连续点B．第二类不连续点D．连续点3．若，则()limfx0x0A．当gx为任意函数时，有limfxgx0成立xx0B．仅当limgx0时，才有limfxgx0成立xxxx00C．当gx为有界时，能使limfxgx0成立xx0D．仅当gx为常数时，才能使limfxgx0成立xx04．设limfx及limgx都不存在，则()xxxx00A．limfxgx及limfxgx一定不存在xxxx00B．limfxgx及limfxgx一定都存在xxxx00C．limfxgx及limfxgx中恰有一个存在，而另一个不存在xx0xx0D．limfxgx及limfxgx有可能存在xxxx00x2sin1x的值为(sinx)5．limx0A．1B．C．不存在D．0sin21x6．lim()x12x21x13123A．B．C．0D．37．按给定的x的变化趋势，下列函数为无穷小量的是()6xx21xA．(x)B．D．1(x)1x4x1xC．12(x0)x(x0)sinx8．当x0时，下列与x同阶(不等价)的无穷小量是()x2sinxex1D．A．sinxxB．ln1xC．1x2x2129．设函数gx12x，fgx，则为()fA．3010．设函数fx2为F，则有(A．EFB．15C．3D．12x22x1x24(0x2)的值域为E，gx的值域)B．EFC．EFD．EF11．在下列函数中，fx与gx表示同一函数的是()0x2xA．fx1，gx1xB．fxx，gxC．fxx2，gxxD．fx3x3，gxx12．与函数fx2x的图象完全相同的函数是()A．lne2xC．eln2xB．sinarcsin2xD．arcsinsin2x13．若x1，下列各式正确的是()1B．x21C．x31A．1D．x1x14．若数列xn有极限a，则在a的领域之外，数列中的点()A．必不存在B．至多只有限多个C．必定有无穷多个D．可以有有限个，也可以有无限多个15．任意给定M0，总存在X0，当xX时，fxM，则()A．limfxB．limfxxxC．limfxD．limfxxx716．如果limfx与limfx存在，则()xxxx00A．limfx存在且limfxfx0xx0xx0B．limfx存在，但不一定有limfxfx0xxxx00C．limfx不一定存在xx0D．limfx一定不存在xx017．无穷多个无穷小量之和，则()A．必是无穷小量C．必是有界量B．必是无穷大量D．是无穷小，或是无穷大，或有可能是有界量18．A．x1C．yarccoslnx21，则它的连续区间为()B．xD．2e1,23nx2,e1e1,22,e119．设A．，则它的连续区间是(1nx)fxlimn1,B．x(n为正整数)处n1C．,00,D．x0及x处nex,x0要使fx在x0处连续，则a(20．设fxA．2)ax,x0B．1C．0D．-11xxsina,,x0，若fx在21．设fx,上是连续函数，则3x0a()1A．0B．1C．D．333x1,x122．点x1是函数fx1,x1的()3x,x1A．连续点B．第一类非可去间断点8C．可去间断点D．第二类间断点23．方程x4x10至少有一根的区间是()1212A．B．C．2,3D．1,20,,124．下列各式中的极限存在的是()12x25x1A．B．limexC．limD．limlimsinx3x212x1xx0xx0x25．lim()x0sinxA．1B．0C．-1D．不存在12n26．limn。222nnn1x2x1x227．若3，则fx。fx28．函数ylnx21的单调下降区间为。29．已知lima2n2bn52，则a，b。n3n2axx2x1e2，则a30．limx。131．函数fxex的不连续点是，是第类不连续点。，是第不连续点。32．函数fxsin1的不连续点是x33．当x0时，31x1~。134．已知fx1xx，为使fx在x0连续，则应补充定义f0。x35．若函数fx1与函数gx的图形完全相同，则x的取值范围x是。36．设fxxx3，若fx0，则x；若fx0，则9x；若fx0；则x。37．设2x,x0，5x,x0，则fgx。。fxgxx,x03x,x038．设0u1，函数fu有意义，则函数flnx的定义域139．设数列xn1n1的前n项和为Sn，那么S1S2Snlimxn。asin240．如果x0时，要无穷小1cosx与x等价，a应等于2。141．要使limaxb0，则b应满足。xx042．limx21x。x1x21xA,,x1，当43．函数时，函数fx连续。fxAx1x2axbx2x22ab44．已知lim2，则，。x12ex,x0，45．fx；若fx无间断点，limfxx0a,x0a则。46．函数fxxsin1在点x0处可可连续开拓，只须令f0x。1cosx47．lim。x2cosx0xx3ex48．limx。1cos2xx2049．lim。x50．设Gxlnx，证明：当x0，y0，下列等式成立：x(1)GxGyGxy，(2)GxGyG。y101,x151．设fx0,x1，gxex，求fgx和gfx。1,x11x，证明：1xyzyz。1yz52．若xlg53．根据数列极限的定义证明：3n13(1)，(2)limn1n0，limx2n12nn2n(3)lim09991，(4)lim1nnnn个54．根据函数极限的定义证明12x23x22，3(1)limxsin10，(2)limx0xxarctgxx(3)lim0，(4)limx20xx255．求下列极限x213x2x2(2)limxn1(n，m为正整数)，(1)limxm1x0x1(3)lim1xxcosxx7(4)limxx1x81194x75x813(5)lim(6)lim1001x1x3xx12x31cos2x0xsinxcosx(7)limx(8)limx2x222arcsinxxsinxsinaxa(9)lim(10)limx0xa111xx(11)lim12xx(12)limx0x01xkxcosx1(13)lim1tgx(14)lim1(k为正整数)x0xx56．当x0时，求下列无穷小量关于x的阶11(1)x3x6，(2)x23sinx，(3)1x1x，(4)tgxsinx57．试证方程xasinxb，其中a0，b0，至少有一个正根，并且不超过ab。58．设fx在闭区间0,2a上连续，且f0f2a，则在0,a上至少存在一个x，使fxfxa。59．设fx在a,b上连续，且faa，fbb，试证：在a,b内至少有一点，使得：f。60．设数列xn有界，又0，证明0。limynlimxnynnn132333n3n461．设xn，求limxn。nn4n4n43x,1x162．设fx2,x1，求limfx及limfx。x0x13x2,1x2exex63．求x。exelimx2sinxsin2xx3064．求lim。x65．求下列极限et1sin2x(1)lim(2)limtx2cosxt245x4xsinxsina(4)limxaxa(3)limx1x1cosx(6)lim13tg2xx0(5)limx2xx2xxx1xe12x32x1(7)lim(8)limxx0xx66．求lim。0ln1xx12(C)1．若存在fxL，则(0，对任意0，适合不等式xa的一切x，有)A．fx在a不存在极限C．fx在a,aB．fx在a,aD．对任意xa,a0，适合不等式xa严格单调无界，fxL2．若存在fxL，则(A．0，对任意的一切x，有)B．fx在R上无界D．fx在R上单调limfxLxaC．fx在R上有界xn3．函数fxlim2x2n(x0)，则此函数()1xnnA．没有间断点B．有一个第一类间断点D．有两个以上间断点，但类型不确定C．有两个以上第一类间断点kx7kx24kx34．若函数的定义域为R，则k的取值范围是()y3343434A．B．k0或C．D．k0kk0k45．两个无穷小量A．是高阶无穷小与之积仍是无穷小量，且与或相比()B．是同阶无穷小D．与阶数较高的那阶同阶x的三阶无穷小(C．可能是高阶，也可能是同阶无穷小6．试决定当x0时，下列哪一个无穷小是对于)A．3x2xB．ax3D．3tanxa(a0是常数)C．x30.0001x27．指出下列函数中当x0时()为无穷大1sinxA．2x1B．C．exD．ex1secx131x1x8．fxA．0,x0，如果fx在x0处连续，那么k()xk,x01B．2C．D．129．使函数yA．x0x1x1为无穷小量的x的变化趋势是()x31B．x1C．x1D．x1x10．设11．若，若fxfyfz，则z=。fxxx,x02而fxx，则fx。x,x01ex,x00x1在x1处连续，则a12．若fx3x,。e2axeax1,1xx3ax2x4有有限极限值L，则a，L13．设lim。x1x1xaxa(a0)=14．lim。x2a2xa15．证明limsinx不存在。x16．求limn1xn(0x1)。n117．求lim3x9xx。x18．设gx在x0处连续，且g00，以及fxgx，试证：在x0fx处连续。19．利用极限存在准则证明：数列限存在。2，22，222，⋯的极1xcx20．设fx适合afxbf(a、b、c均为常数)且ab，试证：fxfx。1421．设函数f在f1985。22．设xfx,内有定义，fx0，fxyfxfy，试求x、x、fx都为单调增加函数，且对一切实数ffxx。x均有：x，求证x23．证明fxsin2当x0时左右极限不存在。x1221321n224．设xn111，证明：当n时xn的极限存在。25．若fx在a,b上连续，ax1x2fx1fx2fxnxnb，则在x1,xn上必有，使f。n26．证明，若fx在内有界。27．lim,内连续，且limfx存在，则fx必在,xn1992，求、的值。nnn1a1a2a328．证明方程0，在1,，2,内有唯一的根，32xxx123其中a1，a2，a3均为大于0的常数，且3。12第一章函数、极限与连续(A)1．区间a,A．ax表示不等式(B)B．axD．axt31(D)A．t31B．t62C．t9D．t93t63t3C．ax2．若tt31，则223．设函数fxln3x152xarcsinx的定义域是(C)15521A．B．C．D．1,1,1,,1323154．下列函数fx与gx相等的是(A)A．fxx2，gxx4B．fxx，2xgxx21，gxx1x1x1，gxx1x1x1C．fxD．fx5．下列函数中为奇函数的是(A)2A．yB．yxeC．2x2xsinx2D．yx2cosxxsinxsinxxx26．若函数fxx，2x2，则fx1的值域为(B)A．0,2B．0,3C．0,2D．0,37．设函数fxex(x0)，那么fx1fx2为(B)x1A．fx1fx2B．fx1x2C．fx1x2D．fx28．已知fx在区间A．9．函数yfx与其反函数yf1x的图形对称于直线(C)A．y0B．x0C．yxD．y,上单调递减，则fx24的单调递减区间是(C),B．,0C．0,D．不存在x10．函数y10x12的反函数是(D)xylog21xA．B．ylogx2C．D．y1lgx2ylgx2xa,x是有理数11．设函数fx0a1，则(B)0,x是无理数时，fx是无穷大时，fx是无穷大A．当xC．当xB．当xD．当x时，fx是无穷小时，fx是无穷小12．设fx在R上有定义，函数fx在点x0左、右极限都存在且相等是函数fx在点x0连续的(C)16A．充分条件C．必要条件B．充分且必要条件D．非充分也非必要条件x2a,x1在R上连续，则a的值为(D)cosx,x113．若函数fxA．0B．1C．-1D．-214．若函数fx在某点x0极限存在，则(C)A．fx在x0的函数值必存在且等于极限值B．fx在x0函数值必存在，但不一定等于极限值C．fx在x0的函数值可以不存在D．如果fx0存在的话，必等于极限值123415．数列0，，，，，⋯是(B)3456A．以0为极限B．以1为极限n2nC．以为极限D．不存在在极限1x16．limxsinx(C)A．B．不存在C．1D．02x117．lim1x(A)x12A．e2B．C．0D．18．无穷小量是(C)A．比零稍大一点的一个数C．以零为极限的一个变量B．一个很小很小的数D．数零2x,2,1x00x1则fx的定义域为1,3，f0=2，19．设fxx1,1x3f1=0。20．已知函数yfx的定义域是0,1，则fx2的定义域是1,1。171x1，fffxx21．若，则ffxx。fx1x22．函数yex1的反函数为ylnx1。23．函数y5sinx的最小正周期T2。1x1x11x2，则fx24．设fx1。x23。225．limn3nn1x1112n11143241126．lim。n3n3927．limxlnx0。x020302203302x33x228．lim。5050x55x1x,x129．函数fxx1,1x2的不连续点为1。3x,x230．lim3nsinxx。3nn131．函数fx的连续区间是,1、1,1、1,。x21axb,x0ab0，fx处处连续的充要条件是32．设fxabx2x,x0b0。1,x033．若fx，gxsinx，复合函数fgx的连续区间是1,x0k,k1，k0,1,2。x234．若limxaxb0，a，b均为常数，则a1，b2。x135．下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪既非奇函数又非偶函数？18(1)yx21x2偶函数(2)y3x2x3非奇函数又非偶函数1x2(3)y偶函数1x2(4)yxx1x1奇函数(5)ysinxcosx1非奇函数又非偶函数axxa(6)y36．若ft证：f偶函数2251t2t25t，证明ftf。t2t1t1122t25t5t2tft37．求下列函数的反函数2x(1)y2x1x1x解：y1lnx1(2)y12sinx11arcsinx12y1arcsinx1238．写出图1-1和图1-2所示函数的解析表达式yy211xx-1图1-1图1-2192,x01,x0x1,x0x1,x0解：(1)y(2)ysinx,x039．设fxx，求limfx。x01x2,0xsinx解：limfxlim11xx0x02limfxlim1xx0x0故lim1。fxx022212nn，求340．设xn。limxnn2nnn12n11222n2n3n36n2解：limlimnn2n1112n12n621n12nlimlimnn612，求fxlimxfx。41．若fxxx0x112x2xx解：limx0xx2x22xx2xlimx0x2x0x2xx2lim2x3xx2011142．利用极限存在准则证明：1。limnn2n22n2n2nnn2111证：∵nn2n2nn2n2nn2n2n22n且limn1，limn1，由夹逼定理知2nn111limnn1n2n22n2n43．求下列函数的间断点，并判别间断点的类型x，(4)yxxx1x2，(3)y(1)y2，(2)y1x2x解：(1)当x1为第二类间断点；(2)x2均为第二类间断点；(3)x0，为第一类断点；(4)x0,1,2,，均为第一类间断点。x,0x1144．设fx,x1，问：21,1x2(1)limfx存在吗？x1limfx存在，事实上limfx1，limfx1，故limfx1。解：x1x1x11x1(2)fx在x1处连续吗？若不连续，说明是哪类间断？若可去，则补充定义，使其在该点连续。x,0x1解：不连续，x1为可去间断点，定义：f*x1,x1，则f*x1,1x2在x1处连续。21x21,0x1y45．设fx，x3,x1x(1)求出fx的定义域并作出图形。01解：定义域为0,1(2)当，1，2时，fx连续吗？x21解：x，x2时，fx连续，而x1时，fx不连续。2(3)写出fx的连续区间。解：fx的连续区间0,1、1,。2,x0,x2fx4x2,0x2，求出fx的间断点，并指出是哪一46．设4,x2类间断点，若可去，则补充定义，使其在该点连续。解：(1)由limfx4，f02，故x0为可去间断点，改变fx在x0x0的定义为f04，即可使fx在x0连续。(2)由limfx4，limfx0，故x2为第一类间断点。x2x2(3)类似地易得x2为第一类间断点。47．根据连续函数的性质，验证方程x53x1至少有一个根介于1和2之间。验证：设fxx53x1，易知fx在1,2上连续，且f22561250，故1,2，使f0。48．验证方程1至少有一个小于1的根。验证：设fxx2x1，易知fx在0,1上连续，且f0f110，故1,2，使f0。f130，x2x10，(B)1．在函数fx的可去间断点x0处，下面结论正确的是(C)22A．函数fx在x0左、右极限至少有一个不存在B．函数fx在x0左、右极限存在，但不相等C．函数fx在x0左、右极限存在相等D．函数fx在x0左、右极限都不存在1x3sinx,x0，则点0是函数fx的(D)2．设函数fx0,x0A．第一类不连续点C．可去不连续点B．第二类不连续点D．连续点3．若limfx0，则(C)x0A．当gx为任意函数时，有limfxgx0成立xx0B．仅当limgx0时，才有limfxgx0成立xxxx00C．当gx为有界时，能使limfxgx0成立xx0D．仅当gx为常数时，才能使limfxgx0成立xx04．设limfx及limgx都不存在，则(D)xxxx00A．limfxgx及limfxgx一定不存在xxxx00B．limfxgx及limfxgx一定都存在xx0xx0C．limfxgx及limfxgx中恰有一个存在，而另一个不存在xx0xx0D．limfxgx及limfxgx有可能存在xxxx00x2sin1x的值为(D)sinx5．limx0A．1B．C．不存在D．0sin21x6．lim(A)2x1x1x2131323A．B．C．0D．237．按给定的x的变化趋势，下列函数为无穷小量的是(C)xx21xA．(x)B．D．1(x)1x4x1xxC．12(x0)(x0)sinx8．当x0时，下列与x同阶(不等价)的无穷小量是(B)x2sinxA．sinxxB．ln1xC．D．ex11x2，则为(B)129．设函数gx12x，fgxfx2A．30B．15C．3D．1210．设函数fx2为F，则有(D)x24(0x2)的值域为E，gx的值域x22x1A．EFD．EFB．EFC．EF11．在下列函数中，fx与gx表示同一函数的是(D)0x2xA．fx1，gx1xB．fxx，gxx2，gxxD．fx3x3，gxxC．fx12．与函数fx2x的图象完全相同的函数是(A)A．lne2xC．eln2xB．sinarcsin2xD．arcsinsin2x13．若x1，下列各式正确的是(C)1B．x21C．x31A．1D．x1x14．若数列xn有极限a，则在a的领域之外，数列中的点(B)A．必不存在B．至多只有限多个C．必定有无穷多个D．可以有有限个，也可以有无限多个15．任意给定M0，总存在X0，当xX时，fxM，则(A)A．B．limfxlimfxxx24C．limfxD．limfxxx16．如果limfx与limfx存在，则(C)xxxx00A．limfx存在且limfxfx0xxxx00B．limfx存在，但不一定有limfxfx0xxxx00C．limfx不一定存在xx0D．limfx一定不存在xx017．无穷多个无穷小量之和，则(D)A．必是无穷小量C．必是有界量B．必是无穷大量D．是无穷小，或是无穷大，或有可能是有界量18．yarccoslnx21，则它的连续区间为(C)A．x1B．xD．2C．e1,22,e1e1,22,e13nx19．设fxlim，则它的连续区间是(B)n1nx1A．C．,B．x(n为正整数)处n1,00,D．x0及x处nex,x0要使fx在x0处连续，则a(B)20．设fxA．2ax,x0B．1C．0D．-11xxsina,,x0，若fx在21．设,上是连续函数，则fx3x0a(C)A．01B．1C．D．333x1,x122．点x1是函数fx1,x1的(C)3x,x125A．连续点B．第一类非可去间断点D．第二类间断点C．可去间断点23．方程x4x10至少有一根的区间是(D)1212A．B．C．2,3D．1,20,,124．下列各式中的极限存在的是(C)12x23x215x1A．B．limexC．limxD．limsinxlimx021xxx0x25．lim(D)B．0x0sinxA．1C．-1D．不存在12n1226．lim。n2n2n2n11x2x23，则fxx21。27．若fxx28．函数ylnx21的单调下降区间为,0。29．已知lima2n2bn52，则a0，b6。n3n2axx2x1e2，则a30．2。二limx1x31．函数fxe的不连续点是x0，是第类不连续点。二类不连续点。32．函数fxsin1的不连续点是x0，是第x33．当x0时，31x1~x。11xx，为使fx在x0连续，则应补充定义f01e34．已知fx。x35．若函数fx1与函数gxx的取值范围是的图形完全相同，则x0,。2636．设fxxx3，若fx0，则x0或±1；若fx0，则x0,1,1；若fx0；则x1,01,。2x,x05x,x0，则fgx3x,x010x,x0。6x,x037．设fxx,x0，gx38．设0u1，函数fu有意义，则函数flnx的定义域1,e。1n139．设数列xn1的前n项和为Sn，那么limS1S2Snxn1。2x40．如果x0时，要无穷小1cosx与asin2等价，a应等于2。2141．要使limaxb0，则b应满足b1。xx042．limx21x0。x1x21xA,,xx1，当43．函数2时，函数fx连续。fxA1x2axbx2x22a2b-844．已知lim2，则，。x12ex,x0，45．fx0；若fx无间断点，limfxx0a,x0a0则。46．函数fxxsin1在点x0处可可连续开拓，只须令f0x0。1cosx147．lim。2x2cosxx0x3ex48．lim0。x1cos2x149．lim。2x2x02750．设Gxlnx，证明：当x0，y0，下列等式成立：(1)GxGyGxy证：GxGylnxlnylnxyGxyx(2)GxGyGy证：GxGylnxlnylnxyxGy1,x151．设fx0,x1，gxex，求fgx和gfx。1,x11,gx10,gx11,gx11,x00,x0，1,x0解：fgxe,1,x1x1gfxefxe1,x1yz。1yz52．若xlg1x，证明：1xyzzlg1ylg1zlg1yzyz1y1z1yzyz解：yyz11yz1yz1yzlg1yzyzyz1yzyzlg1yz故结论成立。53．根据数列极限的定义证明：3n13(1)limx2n123n132n1255，只要n5，取证：0，要使22n1n2A2853n132n123n13。2n12N，则当nN时，恒有，即limx(2)limn1n0n11证：0，因n12，要使，n1nn1n2n112只要n，取N，则当nN时，恒有n1n，即222limn1n0。n(3)lim09991nn个11证：0，因099991，要使09999n个，只要，10n10nn11即只要nlog10。取Nlog10，则当nN时，恒有09999，即n个lim09991。nn个n2n(4)lim1nn22nnnnnnn，只要n1。取证：0，因1nnn2n2n1n2nN，当nN时，恒有1，即limn1。nn54．根据函数极限的定义证明limxsin1x0(1)x00，因xsin1xx，要使xsin1x证：，只要x。，则当x时，恒有xsin1x，即limxsin10。x0x12x2(2)lim233x2x2912x2212x23x22313证：0，因12，要使，要使x，3x233x12x2212x23x21323取z，则当xX时，恒有，即lim。3x23xarctgx(3)lim0xxarctgxx2x证：0，因，只要x，取z，则当xz时，22arctgxxarctgxx恒有，即limx0。(4)limx20x22，取2，则当证：0，要使x2，只要0x20x2时，恒有x2，即limx20。x255．求下列极限x21(1)lim2x03xx212解：原式(2)limxn1(n，m为正整数)，xm1x1xn1xn2limxm1xm2x1x0x0n解：原式m(3)lim1xx1x11x1解：原式lim1x1xxcosxx7(4)limx30cosx1x解：原式lim17x1x81194x75x8(5)lim100x2x3481519x1002100x100解：原式lim431519x11x1x33(6)limx1x1x2解：原式lim11x1xx21x1cos2x0xsinx(7)limx2sin2x2xsinx解：原式limx0cosx(8)limx2x2sinx2解：原式lim1xx22arcsinx0x(9)limxt解：令xsint，原式lim1x0sintsin2xsin2aaxa(10)limx0解：原式lim2sinxcosxlimsin2xsin2axaxa01(11)lim12xxx0解：原式e2311x1x1x(12)limx01xlim1xex0e2解：原式1xe1lim1xx0cosx(13)lim1tgxx0sinx1解：原式lim1tgxtgxe01x0kx1x(14)lim1(k为正整数)xkx1xlim1xek解：原式56．当x0时，求下列无穷小量关于x的阶(1)x3x6解：3阶7(2)x23sinx解：阶3(3)1x1x解：1阶(4)tgxsinx解：3阶57．试证方程xasinxb，其中a0，b0，至少有一个正根，并且不超过ab。证：令fxfababasinabb0且fxCa,ab，故0,ab，使fxasinxb，则f0b0，0。58．设fx在闭区间0,2a上连续，且f0f2a，则在0,a上至少存在一个x，使fxfxa。证：令xfxfxa，于是x在0,a上连续，由于条件0f0faf2afa(若00，则显然结果成立，若3200)aa,b使fxfxa，综上，59．设fx在a,b上连续，且faa，fbb，试证：在a,b内至少有faf2afaf0，显然0a0，故0,a使fxfxa。一点，使得：f。证：令xfxx，于是x在a,b上连续，且0，即f。60．设数列xn有界，又limyn0，证明limxnyn0。afaa0，bfbb0，故a,b，使nn证：由假设不妨设xnM，M为一正数，0，由limyn0，故自然n数，当xN时，恒有yn，故恒有xnynM，即limxnyn0。MMn132333n361．设xn4，求。limxnnn4n4n4nn2n12limn14解：原式4n43x,2,1x1x1，求limfx及limfx。62．设fxx0x13x2,1x2解：limlim3x0fxx0x0lim3x23，lim10lim3x3，故lim3limfxfxfxx10x10xx10x1exexexe63．求limx。xlim1e2x解：原式11e2xx2sinxsin2xx3064．求limx4sinxsin2x2x3sin2x2sinx1cosxx32解：原式limlimlimx01x2x0x043365．求下列极限et1(1)limt2te212解：原式sin2x2cos(2)limxx42sinxcosxsinxcoscosx2解：原式limlim2cosxx2xx445x4x1x(3)limx14x11x15x4解：原式lim2xxsinxsinaaxa(4)limx解：原式limcosxcosaxa(5)limx2xxx2x2x2解：原式limlim1x2x2x11xxx11xxcosx(6)lim13tg2xx03tg2cosx1tg2xlim13tg2xe01解：原式3x0ex1x(7)limx000limex1解：原式xax12x32x1(8)limx342x12x12x122解：原式lim1ex2x1x66．求。limx0ln1x011解：原式limx0101x(C)1．若存在0，对任意0，适合不等式xa的一切x，有fxL，则(D)A．fx在a不存在极限C．fx在a,aB．fx在a,a严格单调D．对任意xa,a0，适合不等式xa无界，fxL2．若存在fxL，则(C)A．limfxL0，对任意的一切x，有B．fx在R上无界D．fx在R上单调xaC．fx在R上有界xn3．函数fxlim2x2n(x0)，则此函数(A)B．有一个第一类间断点D．有两个以上间断点，但类型不确定1xnnA．没有间断点C．有两个以上第一类间断点kx74．若函数yA．0k的定义域为R，则k的取值范围是(B)kx24kx33343434B．k0或kC．0kD．k45．两个无穷小量A．是高阶无穷小与之积仍是无穷小量，且与或相比(A)B．是同阶无穷小35C．可能是高阶，也可能是同阶无穷小D．与阶数较高的那阶同阶x的三阶无穷小(B)6．试决定当x0时，下列哪一个无穷小是对于A．3x2B．ax3D．3tanxa(a0是常数)xC．x30.0001x27．指出下列函数中当时(D)为无穷大x01xsinxA．2x1B．C．exD．e1secx1x1x8．fx,x0，如果fx在x0处连续，那么k(D)xk,x01A．0B．2C．D．12x1x1为无穷小量的x的变化趋势是(C)9．使函数yx31A．x010．设fxB．x1C．x1D．x1xxy，若fxfyfz，则z=。xyx,x00,x0。x,x0x,x0211．若12．若x而fxx，则fxx,x01ex,x0在x1处连续，则a0。fx3x,0x1e2axeax1,1xx3ax2x4有有限极限值L，则ax113．设lim4，L10。x1xaxa(a0)=114．lim。x2a2xa2a15．证明limsinx不存在。x143设xA，但对，，k0使2kM，2kM，limsinx223631414但sin2k1，sin2k1，而1，1不能同时落在A,A22内，故x不存在。limsinx16．求limn1xn(0x1)。nxn1xnnlim1xn解：原式1n117．求lim3x9xx。x1解：lim3x9x（）xx1ln3x9xln3x9xlimxlimexxeex3xln39xln93x9x3xln39xln93x9xln33x9xln39xlimlim3x9xxxee318．设gx在x0处连续，且g00，以及fxgxfxx0，试证：在处连续。0，由于gx在x0处连续，所以时，恒有gx，由假设fxgx，g00，易知fx0，故当x，即fx在x0处连续。0，当x证：gxg0时，恒有fxf019．利用极限存在准则证明：数列限存在。2，22，222，⋯的极证：设x,2,,xn12xn，n1,2,，以下证明①xn有上界；②xn单增①（用归纳法证）当n1时，x122，假定nk时，xk2，则当nk1时，xk1②xn单调增加2xn2，所以xn2(n1,2,)372xnxn22xnxnxn2xn12xnxn事实上xn1xn2xnxn由于xn2，所以xn1xn0，由①②，据极限存在准则Ⅱ知limxn存在。n1xcx20．设fx适合(a、b、c均为常数)且ab，试证：afxbffxfx。1c证：由于fx满足：afxbf(a、b、c为常数)xx1xcx故fx满足：afxbf11得：afxfxbff0，∵ab。xx21．设函数f在f1985。解：由于f0,内有定义，fx0，fxyfxfy，试求f01985f0f1985，且由假设f00，故f19851。x均有：22．设x、x、fx都为单调增加函数，且对一切实数xfxx，求证xffxx，由于fx的单增性，可知fx，∴fx，于是得x。证：xR，有x，∵fxffxxfxfx，∴xfxxx23．证明fxsin2当x0时左右极限不存在。xlimsin212证：不妨设A，对，0，k0，使0，x2x02k22322210，但sinsin2k，sin322k2k222k23831212内，故fxsin2sin2k1，而1，-1不能同时落在A,A，x2fxsin2，当x0时的极限不存当x0时，极限不存在，同理可证：x在。1221321n224．设xn111，证明：当n时xn的极限存在。12121解：limxnlim121321nnxnx2213212232n21limn2nx2131n12131n1lim2nn!n1!n1!n11lim2lim2nn2n2n!25．若fx在a,b上连续，ax1x2xnb，则在x1,xn上必有，fx1fx2fxn使f。n证：令mminfx1,fx2,,fxn，Mmaxfx1,fx2,,fxn，则x1,x2,,xn中至少有一个xi，使fxim，至少有一个xj，使fxjM，显然有n1mfxifxkfxjM(Ⅰ)nk1当Ⅰ式中两个“”中有一个取等号时，则对应的xi(或xj)即为，当Ⅰ式中的两个“”号都不能取符号时。由于fx闭区间xi,xj(或xj,xi)上连续，由介n1值定理知至少存在一点xi,xj或xj,xi，使ffxk，以上两种情况nk1下得到的显然都在x1,xn上。26．证明，若fx在,内连续，且limfx存在，则fx必在,x39内有界。证：令limfxA，则对给定的一个0，X0，只要xX，就有xfxA，即AfxA，又由fx在闭区间X,X上连续，根据有界性条件，M0，使fxM，xX,X，取NmaxM,A,A，则fxN，x,。n27．limn1992，求、的值。nn1nn解：由于limlim1992，所以由1，且1nnn1nn11，知1。19921992a1xa2a328．证明方程0，在1,，2,内有唯一的根，23xx123其中a1，a2，a3均为大于0的常数，且3。12a1a2a3证：设Fx，易知FxC,，FxC2,，32xxx123取充分小，且0，则易知Fx10，F0；F2,0，223F0，由连续函数的零值定理知：Fx0在1,与内分别有32111根，又由于Fx0，故Fx在1,与2222xxx1322,内单调，所以在a1,a2，a2,a3内均只有唯一的根。340