三余弦（正弦）定理的妙用三余弦定理（又叫最小角定理或爪子定理）（1）定理：设点为平面上一点，过点的斜线在平面上的射影为，为平面上的任意直线，那么，，三角的余弦关系为：即斜线与平面一条直线夹角的余弦值等于斜线与平面所成角的余弦值乘以射影与平面内直线夹角的余弦值。（为了便于记忆，我们约定：为斜线角，为线面角，为射影角）（2）定理证明：如上图，、、均为直角三角形，，，，易知，得证。（3）定理说明：这三个角中，角是最大的，其余弦值最小，等于另外两个角的余弦值之积。斜线与平面所成角是斜线与平面内所有直线所成的角中最小的角。三正弦定理（最大角定理）：（1）定理：设二面角的度数为，在平面上有一条射线，它和棱所成的角为，和平面所成的角为，则（为了便于记忆，我们约定：为线棱角，为线面角，为二面角）（2）定理证明：如图，平面，，，、、均为直角三角形，，，，易得：。（3）定理说明：由且知：，，所以二面角的半平面内的任意一条直线与另一个半平面所成的线面角不大于二面角，即二面角是线面角中最大的角。知识应用：例1.（2016年4月浙江省数学学
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第16题）如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱中，是棱上的动点。记直线与平面所成的角为，与直线所成的角为，则，的大小关系是（）A.B.C.D.不能确定【解析】：因为是线面角，是线线角，由最小角定理知：，又不是在底面的射影，故，选C。例2.（2018年全国数学大联考试题第9题）已知二面角是直二面角，，，设直线与，所成的角分别为，，则（）A.B.C.D.【解析】：如图，过点，分别作的垂线，分别交于点，，则，，，，由最小角定理知：，又，所以。例3.（2018年浙江省数学
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试题第8题）已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点（不含端点），设与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（）A.B.C.D.【解析】：如图，作平面，在平面内作于点，则（二面角），（线面角），由最小角定理知：，又由最大角定理知：，故最小，选D。再证：过点作，交于点，取的中点，易知，，，，，由得：，故。例4.（2017年浙江省数学高考调研试题第9题）如图，易知三棱锥，记二面角的平面角是，直线与平面所成的角是，直线与所成的角是，则（）A.B.C.D.【解析】：由最大角定理知：，故选A。例5.（2014年浙江省高考理科试题第15题）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练。易知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小。若，，，则的最大值是（仰角为直线与平面所成角）。【解析】：记二面角为，由最大角定理知：，易求。例6.（2018年全国重点中学数学联考试题第8题）从点出发的3条射线，，，每两条射线的夹角是，则直线与平面所成角的余弦是。【解析】：如图，在上取点作平面，垂足为，为的射影，则是与平面所成角，由题意知：为的交平分线，根据三余弦定理得：，即，故。例7.（2018年全国数学高考卷I理科试题第18题）如图，四边形为正方形，点，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且。（1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值。【解析】：（1）略（2）作，垂足为，由（1）知：平面，。不妨设，则，从而，又，，故。于是，，故斜线角，射影角，且。设与平面所成角为，则由三余弦定理知：，从而，即。例8.（2018年全国数学高考卷II理科试题第20题）如图，在三棱锥中，，，为的中点。（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值。【解析】：证明：略由题意知：线棱角，二面角为，由三正弦定理得：。例9.（2004年浙江省数学高考理科试题第12题）如图，在正三棱柱中，已知，在棱上，且，若与平面所成的角为，则=（）A.B.C.D.【解析】：由题易知：二面角的大小为，线棱角，由三正弦定理得：，从而。例10.（1994年全国数学高考理科试题第23题）如图，已知是正三棱柱，是的中点，若，求以为棱、与为面的二面角的度数。【解析】：取的中点，连接，，，则为在平面上的射影，从而。设，则，从而与平面所成角，线棱角，射影角，因为，由三余弦定理知：，故。再由三正弦定理知：，所以。例11.（2017年全国数学高考卷II理科试题第19题）如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，是的中点。（1）证明：直线平面；（2）点在棱上，且直线与底面所成锐角为，求二面角的余弦值。【解析】：（1）略；（2）如图，作于点，则平面，即是在平面内的射影。记点在平面内的射影为，二面角的大小为，设，，由于直线与底面所成锐角为，则，从而：，即，解得，故。由三余弦定理知：，从而，再根据三正弦定理得：，解得，故。例12.（2019年6月浙江高考数学第8题）设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点）。记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则（）A.，B.，C.，D.，【解析】：由最小角定理（又叫三余弦定理）知：，记的平面角为，显然，由最大角定理知：，故选B。
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