导数中证明不等式技巧——构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转,唯手熟尔!

-PAGE\*MERGEFORMAT#-导数中的不等式证明导数中不等式的证明是历年的高考中是一个永恒的话题，由于不等式证明的灵活性，多样性，该考点也备受命题者的青睐。本文通过四个方面系统介绍了一些常规的不等式证明的手段命题角度1构造函数命题角度2放缩法命题角度3切线法命题角度4二兀或多兀不等式的证明思路命题角度5函数凹凸性的应用命题角度1构造函数【典例1】(赣州市2018届高三摸底考试)已知函数fx=1-—,g(x)=ae1_bx，若曲线y=fx与曲xexf线y=gx的一个公共点是A1,1，且在点A处的切线互相垂直.求a,b的值；证明：当x_1时，fx•g(x)_2.【解析】(1)a=b--1;e12Inxe1(2)g(x)xx,fxg(x)1xx_0,ex%#xxex2令h(x)=f(x)+g(x)—2(xH1)，则xInxe1WxH+x，hx—上鉴今丄仁哼¥1,xexxe因为x_1，所以丨x二哼今10,xe所以hx在1••二单调递增，hx_h1=0,即卩1_也_丄•x_0,所以当x亠1时，fx1亠g(x)丄2.x【审题点津】待证不等式的两边都含有同一个变量，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，应用导数研究其单调性，借助于所构造函数的单调性加以证明命题角度2放缩法【典例2】(石家庄市2018届高三下学期4月一模考试)已知函数f(x)=(x亠b)(ex-a)(b-0)，在(_1,f(二))处的切线方程为(e_1)xeye_^0.(1)求a,b；(2)若m乞0，证明：f(x)_mx2-.-x.【解析】(1)a=1,b=1；(2)由(1)可知f(x)=(x1)(ex-1),f(0)=0,f-1：=0,由m岂0，可得x_mx2-x,令g(x)=x1ex-1-x，则g(x)=]x2ex-2,当x_-2时，g(x)=x2ex-2_2：：：0，当x亏-2时，设h(x)=g(x)=x2ex-2，则h(x)=x3ex0,故函数g(x)在_2,；上单调递增，又g(0)=0,所以当xw[.「,0时，g(x)<0，当xG「0,•：：时，g(x)0，所以函数g(x)在区间：;-匚：,0上单调递减，在区间0,亠「]上单调递增，故g(x)亠g(0)=0，即x•1]心一1]：：:x_mx2x.故f(x)_mx2-x.【 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 归纳】函数解析式中含有已知范围的参数，可以考虑借助于常识或已知的范围减少变量，对参数适当放缩达到证明的目标•【典例3】(成都市2018届高中毕业班二诊理科)已知函数fx=xlnxax1,aR.(1)当x0时，若关于x的不等式fx]■■■0恒成立，求a的取值范围;(2)当®*时，证明：2n—心n2A"『曙n^，则【解析】(1)1-1^-；(2)设数列：anM:bn的前n项的和分别为由于an，解得anSn=1,Sn~-SnXn亠2,同理,所以只需证明an1In2口：也二一(n+1]n+2)nn(n+1j由(1)知a-_1时，有xlnx_x_1,即Inx一“1.xn1n11令x1，则In—nnnT2nT11所以In-2-A—n+1)(n+1[n+2)n+1所以"心叶件；1_nn2_2n4再证明In22_n亦即In口n因为In1nT-n.n亠1.nJnn•1n.n•1nn1所以只需证2Innnd-n,\nJnJn+11现证明2Inxx--x1.x'『2令hx=2Inx—x1x1，贝Vhx_1—A二—-:：:0,xxxx所以函数hx在1,；上单调递减，hx:::h1]=0,1x1时，2Inx：：：x恒成立，xn亠1nrn■1，则2In.\n%rn(n+11|2n•11所以当令x综上，:::In(n+1(n+2)nn(n+1)所以对数列SnlIn2口，b[分别求前n项的和，得LnJn|2232n，1nIn2InIn2n42nn1【思路总结】待证数列不等式的一端是n项之和（或积）的结构，另一端含有变量n时，可以将它们分别视为两个数列的前n项的和（或积），从而将不等式的证明转化为两个数列的对应项之间的大小关系的证明.【典例4】（安徽省安庆市2018届重点中学联考）已知函数fx；=2Inx2e（1）求函数fx的单调区间；（2）证明：当x0时，都有fxInx，1:::三厂ee【解析】（1）fx=21—x：xInx，xexn令gx=1_x_xlnx，则g1=0，当0:x：：：1时，1-x.0,_xlnx.0，所以gxj,0,f^-0，当x1时，1-x：：：0,-xlnx：：:0，所以gx：：：0,fx：：：0，所以函数fX在0,1上单调递增，在1,•：：上单调递减;TOC\o"1-5"\h\z、22f1(2)要证明fxlnx•1x厂,即证1-x_xlnxInx•1—：■!12ee\e令gx=1_x-xlnx，贝Ugx-_1_Inx1--2_lnx，HYPERLINK\l"bookmark22"\o"CurrentDocument"11当0::：x::：P时，gx.0,当x.-y时，gx：：：0,ee所以函数gx在0,2上单调递增，在$；上单调递减，gx岂1一4心=1),*Iej店丿7eee所以1—x-xlnxI1.e要证1-x-xlnxInxT•叩，x，只需再证Inx1:::x即可•易证lnx_x-1，当且仅当x=1时取等号(证明略)，所以0：：：lnx・1：：.；x，综上所述，当x0时，都有fxInx7x【思路点睛】对于含有Inx与ex型的超越函数，具体解决时须根据两类函数的特点，挖掘结构特征,灵活变形，脑中有“形”，注意重要不等式lnx_x-1二ex_x1的合理代换.命题角度3切线法【典例5】(2018届安徽省太和中学三模)已知函数fx=ex-x2.(1)求曲线fx在x=1处的切线方程;(2)求证：当x0时,ex2Wnx1.x【解析】(1)fx=ex—x2,fx=ex—2x,由题设得「1二e-2,f1二e-1，所以曲线fx在x=1处的切线方程为y=e-2x-1厂e-1，即y=e-2x■1；(2)令gx=fx，则g'x二ex-2，当x：：：ln2时，gx：：：0，当xIn2时，gx0，所以函数gx=fx在_：：,ln2上单调递减，在In2,•::上单调递增，gxmin=gIn2=fIn2=2-21n2.0,所以函数fx=ex-x2在0,•：：上单调递增，由于曲线fx在x=1处的切线方程为y=e—2x・1,f1=e—1,可猜测函数fx的图象恒在切线y-2x1的上方.先证明当x0时，fx]：：：[e-2x・1.设hx=fx;-：；e_2x_1x0，则hx二ex—2x—e—2,hx二ex—2，当x：：：ln2时，hx：：：0，当x.In2时，hxj>0，所以hx在0,1n2上单调递减，在In2,；上单调递增，由hO=3_e0,h1；=0,0：：：ln2：：；1，所以hIn2：：：0，所以存在xgGQIn2，使得hXo=0，所以当x"。*U1,；时，hx0，当xW[x°,1时，hx：：0，所以hx在0,x。上单调递增，在x）,1上单调递减，在1,二上单调递增.因为h0]=h1]=0，所以hx_0，即fxj：：：[e-2x1，当且仅当x=1时取等号，所以当x0时，ex-x2_e-2x亠1，变形可得e2一七％，x又由于x_lnx・1,当且仅当x=1时取等号（证明略），所以e乙££」_lnx1，当且仅当x=1时取等号.x【审题点津】切线放缩法值得认真探究，若第一小题是求曲线的切线方程，就要注意是否运用切线放缩法进行放缩解决问题.命题角度4二元或多元不等式的解证思路【典例6】（皖南八校2018届高三第三次联考）若x,a,b均为任意实数，且a2，b-3=1，则22x-a\亠[Inx-b的最小值为A.3逅B.18C.刃电1D.19一6应【解析】由于a,b均为任意实数，且（a+2）+（b』2=1，所以动点P（a,b）到定点C（-2,3）的距离为定-PAGE\*MERGEFORMAT#-值1，亦即动点Pa,b的轨迹是以C23为圆心，半径r=1的圆，又J（x-訂+Wx-b$ 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示Pa,b与动点Qx,lnx的距离，而Qx,lnx的轨迹是曲线y=1nx,如图，PQ||CQ_PC||CQ-1，当且仅当C,P,Q共线，且点P在线段CQ上时取等号，以C为圆心作半径为r的圆与y=lnx相切，切点是Qx,lnx，此时的公切线与半径垂直，lnX31，即inx=一x一1x3，结合函数x+2x'人*y=lnx与y=—X-1x3的图象可知Q1,0，所以PQ||CQ|IPC二CQ-1_3「2-1，故（x—a2+（lnx-b2的最小值为（3/2—1j=19-6血.正确 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 为D.【审题点津】多元代数表达式的最值问题要根据其整体的结构特征，结合多元各自变化的规律，转化为多个动点之间的对应关系，进而化“动”为“静”解决问题【变式训练】（2018年湖北省高三4月调考）设D=J（x—aj+（ex-丽j+a+2，其中e%2.71828，则D的最小值为a.72b.c./2+1a.73+1【解析】由于.x-aj亠〔ex-2.a表示点Px,ex与点Qa,2.a之间的距离PQ，而点Px,ex的轨迹是曲线y=ex，点Qa,2a的轨迹是曲线y2=4xy亠0,如图所示，又点Qa,2a到直线x=0的距离为a,自然想到转化为动点Q到抛物线准线x=-1的距离，结合抛物线的概念可得d=x-a］亠廿-a］亠a'2二PQ|“|QH1二PQ|“|QF1，所以D二PQ|“|QF1—PF1，当且仅当P,Q,F共线,【规律总结】这是极值点偏移问题，此类问题往往利用换元把Xi，X2转化为t的函数，常把Xi，X2的关x-PAGE\*MERGEFORMAT#--PAGE\*MERGEFORMAT#-1Fx=m-x，X1—X21In-Inx21F.%x2=m11-令t=严0,1，即证2lnt-t0X2X.110X2X!又以F为圆心作半径为r的圆与y=ex相切，切点是Px,ex，此时的公切线与半径垂直，—ex=_1,vfx_1即x=0,所以PF聞曲2，故Dmin=]21.正确答案为C.【能力提升】（2018年甘肃省高中毕业班第一次诊断性考试）对于任意b.0,a.R，不等式b-a-2「亠1nb-a-1「：::m2-m恒成立，则实数m的最大值为A.B.2C.eA.3【答案】B.命题角度4二元或多元不等式的解证思路【典例7】（2018年安庆市二模）已知函数fx=x2axblnx,曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为y=2x.（1）求实数a,b的值；（2）设Fx=fx]；-x2•mxm：二R,洛,《0：：：为：：：X2分别是函数Fx的两个零点，求证:F.X1X2：：:0.【解析】（1）a=1,^-1；(2)fx=x2x-1nx,Fx=1mx-1nx,,,,1m呂=1n人TOC\o"1-5"\h\z因为x「X2分别是函数Fx的两个零点，所以21令ht=21nt-t10::t.1，贝Vht^-一1一石所以函数ht在0,1上单调递减，hth1=0，即证2lnt-t：0.由上述分析可知F：.%%:：0.1,1mx2=1nx2两式相减，得m1」nX1一1nX2,XtX2X1—X2XtX2要证明F•.X1^2<0，只需证lnX1」nX2”—I.洛—X2Jx/2思路一：因为0：：：X1：：：X2，只需证Inx1-lnX2'——二VX1X22：：0上2系变形为齐次式，设上=土览=1n生览=洛_x2,t=eXlJX2等，构造函数来解决，可称之为构造比较函数法X2X2_21xx2_2.■X2x_x「X2_x2_.X0x2.x2x、x2x2xx2x2xx'所以函数Qx在0,x2上单调递减，QXj’Qx2=0,即证Inx-lnx2—pX2X1濟X-(X_X2Q"(x&X2Xxx22.X2X-X「X2X-X2思路二：因为0£咅£X2，只需证In咅-Inx2_X2>0,JX1X2设Q(x)=lnx_lnx2_X「X2(0 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 的几何背景是曲线与切线静态或动态的上下位置关系，进而应用曲线的凸凹性可获得思路自然、过程简洁的图解【知识拓展】一般地，对于函数f(X)的定义域内某个区间D上的不同的任意两个自变量的值X1,X2,总有f(X1鱼)_丄如企！(当且仅当X1=X2时，取等号)，22则函数f(X)在D上是凸函数，其几何意义：函数f(x)的图象上的任意两点所连的线段都不落在图象的上方•f“(X)：：:0，则f(x)单调递减，f(x)在D上为凸函数；总有f(X1生)乞上^m(当且仅当X1=X2时，取等号)，22贝U函数f(x)在D上是凹函数，其几何意义：函数f(x)的图象上的任意两点所连的线段都不落在图象的下方•「(x).0，贝Uf(x)单调递增，f(x)在D上为凹函数•【典例11】(安徽省太和中学2018届5月质检)已知函数fx=x，1lnx，曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=ax-b.(1)求证：x1时，fxi>axb;(2)求证：ln2ln7lnn—223*...2n_2,n，N.16n2-3n2【解析】（1）函数fx的定义域为0「:：，fx=lnx,fx又f•,f巧=0，所以该切线方程为y=2x_1.设Fx=x1Inx_2x戸,12x1，则Fx=1nx1,x令gx=Fx，贝"gxW二宁,当x1时，gx严0，所以gx=Fx在1,:•上单调递增,又g1=0，所以gx=Fx.0,即Fx在1,•：：上单调递增,所以Fx],F1=0，故x1时，fx]>axb；x-1.（2）由（1）知：当x1时，x1Inx2令x=n2—21n_2,n三N，贝Un2-1Inn2—22n2—3，2TOC\o"1-5"\h\z~Infn—2^2211所以「——上-1-,n-3n—1(n—1]n+1)n—1n+1nInfk2-2所以:F「32-43-51丿W-1n十1丿•丄一1n—2n2X-19.0, 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 函数x化简可得kl咲$斗1沽i-n，得证-【方法归纳】本题fx=x・1lnxx.1,其fx=1nx，-—1，f"x口f=x1lnxx1为凹函数，因此有x1lnx・2x-1.此类问题实质上，第（1）小题的研究正是为第（2）小题的解决而服务的，呈现“层层递进”的特点【典例12】（成都市2018届高中毕业班二诊文科）已知函数fx=xInx・ax，1,a・R.（1）当x0时，若关于x的不等式fx_0恒成立，求a的取值范围;（2）当x三i1,•::时，证明：exx1叮nx：：：x2—x.e1【解析】（1）由fx_0,得-a2nx•1恒成立，xfxgx恒成立;-PAGE\*MERGEFORMAT#-所以ux在0,1上单调递减，在1,亠.•j上单调递增，所以ux的最小值为uxmin=u1=1,所以』却，即a__1，故a的取值范围是［一1,;;（2）有（1）知a=_1时，有xlnx_x一1，所以mx_—.x要证ex%-1：：：|nx，可证°x%1x1，只需证ex-_x，eex易证ex丄x-1（证明略），所以ex1_x；要证Inx：：：x2「x，可证lnxx—1，易证Inx乞x—1（证明略），由于x1,x-1.0,所以x-1：：：xx-1=x2-x，所以Inx：：：x2_x，综上所述，当x三门，•：：时，证明：exx1:：:Inx：：：x2-x.e【方法归纳】若第（1）小题是探求参数的范围问题，第（2）小题的解决往往运用第（1）小题所求范围的界点对于的不等关系进行放缩，此类问题实质就是应用函数凸凹性进行切线放缩法a（x2_x）【典例13】（咸阳市2018届三模）已知函数fx=xlnx，gx.（1）若fx:：:gx在1,；上恒成立，求实数a的取值范围；（2）求证:【解析】（1）fx:：:gx等价于xlnxax2—x02记hxXnx上宁，则hx已一|二睿，当a_0时，iX0，hx在1,=上单调递增，由h1=0,hxh1=0，所以xhx.0,即fx：：:gx不恒成立;当0：：:a：：:2时，-1,^1,-时，ixi—0,hx单调递增，fx::gx不恒成立；aIa丿当a_2时，xG1,；，hx：：0，hx在1,临丁］上单调递减，hx:::h1=0，所以xhx:::0，即-PAGE\*MERGEFORMAT#-故fX:::gx在1,：【R；上恒成立，实数a的取值范围是［2,•：：；(2)当a=2时，fx::gx在1,：心］；上成立，即Inx：：：x_1,令x=1fnk,k=1,2川|,n，贝VIn|1+:k1.-1%21hn11+2l=ln1+22H1+——2-L1)j一(n*1)」］(nFJ一("七)」2n所以'TnkXnnT2+1212n222(n+1j(n+1jI''，1【方法归纳】当a=2时，y=lnx，由于在o,•：：上单调递减，所以y=lnx为凸函数，则切线在函数y=lnx的图象的上方，所以Inx：：：x-1.【典例14】(福建泉州市2018年5月质检)函数fx=lnx1ax的图像与直线y=2x相切.求a的值；证明：对于任意正整数n,nn<-2n!::nn-e^.n!1【解析】(1)「xi；=：；>a.x+1设直线y=2x与曲线y二fx相切于点Px0,y0.依题意得:y°=2x°」y°=ln区+1)+ax)，整理得，In(x°+1x°=o,(*)1xo十1化+a=2x1x11xHYPERLINK\l"bookmark28"\o"CurrentDocument"令gx»nx1—,gx-—2一2x+1x+1(x+1)(x+1)所以，当x0时，gx0,gx单调递增；当-1：：：x：：：0时，gx：0,gx单调递减•当x=0时，gx取得最小值g0］=0,所以gx-0,即Inx1_n•e^：：：n•1n•2山n•n,n只需证e「U咛二件汕呼卅2j|lInUn故方程(*)的解为Xo=0，此时a=1.(2)①要证明nne~^-2n!，即证nnn!x由(1)知，gx_0,即Inx1_x+1因此in,1121-,In11+-1.nn1In上式累加得：In1-1-\n八n丿，得证;n1n-1n~ne，②要证明-2^!:.：nne2，即证n，1n，2"|ln，n：：：n1n1n2心nn丁’n1,n2「’nnn1只需证e2：=InInInnnnnnn2令hx=|nx1-x，则hx=*八『所以当x0时，hx::0,hx单调递减；当-1：：：x：：：0时，hx0,hx单调递增•当x=0时，hx取得最大值h0=0，即hx<0，Inx1