《向量的减法运算》教学设计【复习引入】问题1：在上一环节，我们学习了向量的哪种运算？关于这种运算，你了解到了哪些知识？
答案
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：学了向量的加法运算．关于向量的加法运算：①两个向量加法运算的结果还是一个向量；②向量的加法运算遵循三角形法则和平行四边形法则；③向量的加法运算也遵循交换律和结合律．追问：了解了向量的加法运算，自然地，我们就接着来考虑减法运算．关于“减法运算”，你还记得在实数中是如何定义的吗？如何来类比定义向量的减法？答案：在数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”．在向量中，我们可以先定义“相反向量”，再通过向量的加法来定义减法．【新知探究】问题2：在实数运算中，数x的相反数是-x，如何类比定义“相反向量”？答案：数x的相反数是-x，x与-x符号不同，但有相同的绝对值．对于向量来说，两个基本要素是“大小”和“方向”，所以我们也从这两个方向来定义相反向量．定义：我们
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，与向量a长度相同，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作-a．a-a追问：如何理解“相反向量”？答案：①由于向量方向反转两次仍回到原来的方向，长度不变，因此a和-a互相相反向量，即-(-a)=a；②我们规定，零向量的相反向量仍是零向量，即-0=0；③由两个向量和的定义知a+（-a）=（-a）+a=0，即任意向量与其相反向量的和是零向量，这样，如何a、b互为相反向量，就有a+b=0，a=-b，b=-a．问题3：尝试借助相反向量来定义向量的减法吧！答案：我们规定，向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a-b=a+（-b）．求两个向量差的运算叫做向量的减法．可见，向量的减法可以转化成向量的加法来进行，即：减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量．问题4：已知向量a和b，你能尝试通过作图得到a-b吗？答案：如图，设OA=a,OB=b,作OD=-b，因为a-b=a+（-b）=OA+OD，根据向量的加法法则，以线段OA、OD为邻边作平行四边形OACD，可得OC=OA+OD，即OC=a-b．此时，连接AB，因为OB//CD，且OB=CA，所以OCAB是平行四边形，所以，BA=OC=a-b．追问：根据以上过程，试着说一说向量减法的作图方法和几何意义吧！答案：已知向量a、b，在平面内任取一点O，作OA=a,OB=b,则BA=a-b．即，a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a终点的向量，这就是向量减法的几何意义．【疑点辨析】问题5：如果从向量a的终点到向量b的终点作向量，那么所得向量是什么呢？回答：从向量a的终点到b的终点作向量，最终指向的是b的终点，所以可以看成是a的想法向量与b的和，即（-a）+b，也就是b-a．可见，向量a-b的方向指向向量a的终点，向量b-a的方向指向向量b的终点，即：两个向量差向量的方向指向“被减向量”．abb-aa-babab一句话总结向量的减法，即“共起点，连终点，方向指向被减向量”．问题6：如果向量a//b（a、b均不为零向量），又如何作出a-b呢？答案：和以上的方法一样，仍然先将两个向量的起点平移至一公共点O处，连结两个终点，方向指向被减向量即可．即：如图，OA=a，OB=b，a-b=BA．类似的，b-a=AB．abb-aa-bOABOAB小试牛刀：判断下列说法的正误．(1)两个向量的差仍是一个向量．(√ )(2)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．(√)(3)向量a与向量b的差与向量b与向量a的差互为相反向量．( √ )(4)相反向量是共线向量．( √ )【应用举例】例1如图，已知向量a，b，c，d，求作向量a-b，c-d．答案：作法：如图，在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，OC=c，OD=d，则BA=a-b，DC=c-d．例2.如图，在平行四边形ABCD中，AB=a，AD=b，你能用a、b表示向量AC，DB吗？答案：解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道AC=a+b，同样，由向量的减法，知DB=AB-AD=a-b．例3.如图，O为△ABC的外心，H为垂心，求证：OH=OA+OB+OC．证明：作直径BD，连接DA，DC，则有OB=-OD，又因为DA⊥AB，DC⊥BC，AH⊥BC，CH⊥AB，所以CH//DA,AH//DC,所以四边形AHCD是平行四边形，所以AH=DC，又DC=OC-OD=OC+OB，所以OH=DA+AH=OA+DC=OA+OB+OC．【梳理总结】问题7：本节课你学习了平面向量的哪种运算？这种运算的定义是如何得到的？它的几何意义是什么？答案：（1）本节课学习了平面向量的减法运算．我们定义，①与向量a长度相同，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作-a；②向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a-b=a+（-b）．求两个向量差的运算叫做向量的减法．（2）零向量的减法运算是类比实数的减法运算进行定义的，即先引入了“相反向量”，再用向量的加法来定义减法：减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量．（3）两个向量a、b的差a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a终点的向量，这就是向量减法的几何意义．
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