五年中考三年模拟九年级上数学-北师大版

---来源搜集，文内均可编辑---来源搜集，文内均可编辑PAGE47---来源搜集，文内均可编辑[第1页第2题]　如图1-1-1,四边形ABCD中,AD∥BC且AD=BC,当△ABC满足什么条件时,四边形ABCD是菱形请说明理由.图1-1-1[答案]　(答案详见解析)[解析]　当△ABC为等腰三角形,即AB=BC时,四边形ABCD为菱形.理由如下:∵四边形ABCD中,AD∥BC且AD=BC,∴四边形ABCD为平行四边形.又AB=BC,∴平行四边形ABCD为菱形.[第1页第3题]　(2012四川成都中考)如图1-1-2,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,下列说法错误的是(　　)图1-1-2A.AB∥DC　　B.AC=BD　　C.AC⊥BD　　D.OA=OC[答案]　B[解析]　A选项,菱形的对边平行且相等,所以AB∥DC,本选项正确;B选项,菱形的对角线不一定相等,本选项错误;C选项,菱形的对角线一定互相垂直,所以AC⊥BD,本选项正确;D选项,菱形的对角线互相平分,所以OA=OC,本选项正确.故答案为B.[第1页第4题]　(2013湖南怀化中考)如图1-1-3,在菱形ABCD中,AB=3,∠ABC=60°,则对角线AC=(　　)图1-1-3A.12　　B.9　　C.6　　D.3[答案]　D[解析]　∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,又∵∠ABC=60°,∴△ABC为等边三角形,∴AC=AB=3.故选D.[第1页第1题]　用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是(　　)A.等腰梯形　　B.正方形　　C.矩形　　D.菱形[答案]　D[解析]　四条边相等的四边形是菱形.[第1页第6题]　(2013山东淄博中考)如图1-1-5,菱形纸片ABCD中,∠A=60°,折叠菱形纸片ABCD,使点C落在DP(P为AB中点)所在的直线上,得到经过点D的折痕DE.则∠DEC的大小为(　　)图1-1-5A.78°　　B.75°　　C.60°　　D.45°[答案]　B[解析]　连接BD,∵四边形ABCD为菱形,∠A=60°,∴△ABD为等边三角形,∠ADC=120°,∠C=60°,∵P为AB的中点,∴DP为∠ADB的平分线,即∠ADP=∠BDP=30°,∴∠PDC=90°,∴由折叠的性质得∠CDE=∠PDE=45°,在△DEC中,∠DEC=180°-(∠CDE+∠C)=75°.故选B.[第1页第7题]　(2013江苏无锡中考)如图1-1-6,菱形ABCD中,对角线AC交BD于O,AB=8,E是CD的中点,则OE的长等于　　　　. 图1-1-6[答案]　4[解析]　∵四边形ABCD是菱形,∴BC=AB=8,OD=BO,∵E是CD的中点,∴OE是△DBC的中位线,∴OE=BC=4.[第1页第8题]　如图1-1-7,在菱形ABCD中,已知AB=10,AC=16,那么菱形ABCD面积为　　　　. 图1-1-7[答案]　96[解析]　由题意得AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,又AB=10,AC=16,∴OA=8.∴BO==6,∴BD=12,∴S菱形ABCD=AC·BD=×16×12=96.[第1页第9题]　(2013四川内江中考)如图1-1-8,已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8,M、N分别是边BC、CD的中点,P是对角线BD上一点,则PM+PN的最小值=　　　　. 图1-1-8[答案]　5[解析]　作M关于BD的对称点Q,连接NQ,交BD于P,连接MP、NP,此时MP+NP的值最小,连接AC,∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∠QBP=∠MBP,即Q在AB上,∵MQ⊥BD,∴AC∥MQ,∵M为BC的中点,∴Q为AB的中点,∵N为CD的中点,四边形ABCD是菱形,∴BQ∥CD,BQ=CN,∴四边形BQNC是平行四边形,∴NQ=BC,∵四边形ABCD是菱形,∴CP=AP=3,BP=PD=4,在Rt△BPC中,由勾股定理得BC=5,即NQ=5,∴MP+NP=QP+NP=QN=5,故答案为5.[第2页第10题]　(2013广东广州中考)如图1-1-9,四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD相交于点O,AB=5,AO=4,求BD的长.图1-1-9[答案]　(答案详见解析)[解析]　∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD且BO=OD,即△ABO是直角三角形,在Rt△ABO中,BO2=AB2-AO2,其中AO=4,AB=5,∴BO=3,又∵BO=OD,∴BD=2BO=6,∴BD的长为6.[第2页第12题]　下列条件:①四边相等的四边形;②对角线互相垂直且平分的四边形;③一组邻边相等的四边形;④一条对角线平分一组对角的平行四边形.其中能判断四边形是菱形的有(　　)A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个[答案]　C[解析]　①四边相等的四边形是菱形,故①正确.②对角线互相垂直平分的四边形是菱形,故②正确.③一组邻边相等的平行四边形是菱形,故③错误.④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形,故④正确.故选C.[第2页第13题]　(2013海南中考)如图1-1-11,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是(　　)图1-1-11A.AB=BC　　B.AC=BC　　C.∠B=60°　　D.∠ACB=60°[答案]　B[解析]　由平移,得AC∥DE,AC=DE,∴四边形ACED是平行四边形,又∵BC=CE,∴当AC=BC时,AC=CE,∴平行四边形ACED是菱形.故选B.[第2页第11题]　四边形ABCD是菱形,点P是对角线AC上一点,以点P为圆心,PB为半径画弧,交BC的延长线于点F,连接PF,PD,PB.(1)如图1-1-10①,当点P是AC的中点时,请直接写出PF和PD的数量关系;(2)如图1-1-10②,当点P不是AC的中点时,求证:PF=PD.图1-1-10[答案]　(答案详见解析)[解析]　(1)PF=PD.(2)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,∠BAC=∠DAC.在△ABP和△ADP中,∴△ABP≌△ADP(SAS),∴PB=PD,又∵PB=PF,∴PF=PD.[第2页第14题]　(2013四川遂宁中考)如图1-1-12,已知四边形ABCD是平行四边形,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是E,F,并且DE=DF.求证:(1)△ADE≌△CDF;(2)四边形ABCD是菱形.图1-1-12[答案]　(答案详见解析)[解析]　(1)∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠AED=∠CFD=90°.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C.在△ADE和△CDF中,∴△ADE≌△CDF(AAS).(2)∵△ADE≌△CDF,∴AD=CD,又∵四边形ABCD是平行四边形,∴四边形ABCD是菱形.[第2页第15题]　(2013山东泰安中考)如图1-1-13,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,BE交AC于F,连接DF.(1)证明:∠BAC=∠DAC,∠AFD=∠CFE;(2)若AB∥CD,试证明四边形ABCD是菱形;(3)在(2)的条件下,试确定点E的位置,使∠EFD=∠BCD,并说明理由.图1-1-13[答案]　(答案详见解析)[解析]　(1)证明:∵AB=AD,CB=CD,AC=AC,∴△ABC≌△ADC,∴∠BAC=∠DAC.∵AB=AD,∠BAF=∠DAF,AF=AF,∴△ABF≌△ADF,∴∠AFB=∠AFD.又∵∠CFE=∠AFB,∴∠AFD=∠CFE.(2)证明:∵AB∥CD,又∵∠BAC=∠DAC,∴∠DAC=∠ACD,∴AD=CD.∵AB=AD,CB=CD,∴AB=CB=CD=AD,∴四边形ABCD是菱形.(3)当BE⊥CD时,∠EFD=∠BCD.理由:∵四边形ABCD为菱形,∴BC=CD,∠BCF=∠DCF.又∵CF=CF,∴△BCF≌△DCF,∴∠CBF=∠CDF.∵BE⊥CD,∴∠BEC=∠DEF=90°,∴∠EFD=∠BCD.[第3页第2题]　(2013山东滨州,8,★★☆)如图1-1-20,将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置,连接AD、BD,则下列结论:①AD=BC;②BD、AC互相平分;③四边形ACED是菱形.其中正确的个数是(　　)图1-1-20A.0　　B.1　　C.2　　D.3[答案]　D[解析]　∵△DCE是由△ABC平移得到的,∴AB∥CD,AB=CD.∴四边形ABCD是平行四边形.∴AD=BC,BD、AC互相平分,即①②正确.同理,四边形ACED是平行四边形,又∵△ABC是等边三角形,∴AC=CE,∴平行四边形ACED是菱形,即③正确.[第3页第3题]　(2014辽宁本溪期中,23,★★☆)如图1-1-17,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,BE=2DE,延长DE到F,使得EF=BE,连接CF.(12分)(1)求证:四边形BCFE是菱形;(2)若CE=4,∠BCF=120°,求四边形BCFE的面积.图1-1-17[答案]　(答案详见解析)[解析]　(1)证明:∵D、E分别是AB、AC的中点,∴DE∥BC,BC=2DE.∵BE=2DE,EF=BE,∴BC=EF,∴四边形BCFE是平行四边形,又EF=BE,∴平行四边形BCFE是菱形.(2)连接BF交CE于点O.由(1)知四边形BCFE是菱形.∴BF⊥CE,∠BCO=∠BCF=60°,OC=CE=2.在Rt△BOC中,BO===2.∴BF=2BO=4,∴四边形BCFE的面积=CE·BF=×4×4=8.[第3页第1题]　(2013广东佛山一模,7,★☆☆)如图1-1-15,在菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,OE⊥AB,垂足为E,若∠ADC=130°,则∠AOE的大小为(　　)图1-1-15A.75°　　B.65°　　C.55°　　D.50°[答案]　B[解析]　在菱形ABCD中,∠ADC=130°,∴∠BAD=180°-130°=50°,∴∠BAO=∠BAD=×50°=25°,∵OE⊥AB,∴∠AEO=90°,∴∠AOE=90°-∠BAO=90°-25°=65°.[第3页第16题]　如图1-1-14①所示,在△ABC和△EDC中,AC=CE=CB=CD,∠ACB=∠ECD=90°,AB与CE交于F,ED与AB,BC分别交于M,H.①②图1-1-14(1)求证:CF=CH;(2)如图1-1-14②所示,△ABC不动,将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时,试判断四边形ACDM是什么四边形,并证明你的结论.[答案]　(答案详见解析)[解析]　(1)证明:∵∠ACB=∠ECD=90°,∴∠1+∠ECB=∠2+∠ECB,∴∠1=∠2.又∵AC=CE=CB=CD,∴△ACB与△ECD都是等腰直角三角形,∴∠A=∠D=45°.∴△ACF≌△DCH,∴CF=CH.(2)四边形ACDM是菱形.证明如下:∵∠ACB=∠ECD=90°,∠BCE=45°,∴∠1=45°,∠2=45°.易知∠E=∠B=45°,∴∠1=∠E,∠2=∠B.∴AC∥MD,CD∥AM,∴四边形ACDM是平行四边形.又∵AC=CD,∴平行四边形ACDM是菱形.[第4页第1题]　如图1-1-25所示,已知以△ABC的三边为边在BC的同侧作等边△ABD、△BCE、△ACF,请回答下列问题:(1)四边形ADEF是什么四边形(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是菱形(3)当△ABC满足什么条件时,以A、D、E、F为顶点的四边形不存在图1-1-25[答案]　(答案详见解析)[解析]　(1)四边形ADEF是平行四边形.在等边△BCE和等边△ABD中,BD=AB,BE=BC.又∠DBA=∠EBC=60°,∴∠DBA-∠EBA=∠EBC-∠EBA,即∠DBE=∠ABC.∴△DBE≌△ABC(SAS),∴DE=AC=AF.同理,AD=AB=EF.∴四边形ADEF是平行四边形.(2)若AD=AF,则四边形ADEF为菱形,∴当△ABC满足AB=AC时,四边形ADEF为菱形.(3)由(1)可得∠BAC=∠BDE=60°+∠ADE.当∠ADE=0°时,以A、D、E、F为顶点的四边形不存在,此时∠BAC=60°.∴当∠BAC=60°时,以A、D、E、F为顶点的四边形不存在.[第4页第2题]　某校九年级学习小组在探究学习过程中,用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图1-1-26①所示位置放置,现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°),如图1-1-26②,AE与BC交于点M,AC与EF交于点N,BC与EF交于点P.(1)求证:AM=AN;(2)当旋转角α=30°时,四边形ABPF是什么样的特殊四边形并说明理由.图1-1-26[答案]　(答案详见解析)[解析]　(1)证明:∵∠α+∠EAC=90°,∠NAF+∠EAC=90°,∴∠α=∠NAF.又∵∠B=∠F,AB=AF,∴△ABM≌△AFN,∴AM=AN.(2)四边形ABPF是菱形.理由:∵∠α=30°,∠EAF=90°,∴∠BAF=120°.又∵∠B=∠F=60°,∴∠B+∠BAF=60°+120°=180°,∠F+∠BAF=60°+120°=180°,∴AF∥BC,AB∥EF,∴四边形ABPF是平行四边形.又∵AB=AF,∴平行四边形ABPF是菱形.[第4页第3题]　(2013福建泉州,16,★★☆)如图1-1-21,菱形ABCD的周长为8,对角线AC和BD相交于点O,AC∶BD=1∶2,则AO∶BO=　　　　,菱形ABCD的面积S=　　. 图1-1-21[答案]　1∶2;16[解析]　∵四边形ABCD是菱形,∴AO=AC,BO=BD,AC⊥BD,∴AO∶BO=AC∶BD=1∶2.∵菱形ABCD的周长为8,∴AB=2,设AO=k,BO=2k,则AB==k=2,∴k=2,∴AO=2,BO=4,∴菱形ABCD的面积S=4S△AOB=4××2×4=16.故答案为16.[第4页第4题]　(2013湖北黄冈,17,★★☆)如图1-1-22,四边形ABCD是菱形,对角线AC、BD相交于点O,DH⊥AB于H,连接OH,求证:∠DHO=∠DCO.(6分)图1-1-22[答案]　(答案详见解析)[解析]　∵四边形ABCD是菱形,∴OD=OB,∠COD=90°.∵DH⊥AB于H,∴∠DHB=90°,∴OH=BD=OB,∴∠OHB=∠OBH.又∵AB∥CD,∴∠OBH=∠ODC,∴∠OHB=∠ODC.在Rt△COD中,∠ODC+∠OCD=90°,又∠DHO+∠OHB=90°,∴∠DHO=∠DCO.[第4页第5题]　(2013江苏常州,23,★★☆)如图1-1-23,在△ABC中,AB=AC,∠B=60°,∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角,AD平分∠FAC,CD平分∠ECA.求证:四边形ABCD是菱形.(7分)图1-1-23[答案]　(答案详见解析)[解析]　证法一:∵AB=AC,∠B=60°,∴△ABC是正三角形,∴∠FAC=120°,AB=AC=BC.又AD平分∠FAC,∴∠DAC=∠FAC=60°.同理可证∠DCA=60°,∴△ADC是正三角形,∴AD=AC=DC,∴AB=BC=AD=DC,∴四边形ABCD是菱形.证法二:∵AB=AC,∠B=60°,∴△ABC是正三角形,∴∠FAC=120°,AB=BC.又AD平分∠FAC,∴∠DAF=∠FAC=60°,∴∠B=∠DAF,∴AD∥BC(同位角相等,两直线平行).同理可证AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.又AB=BC,∴平行四边形ABCD是菱形.[第3页第1题]　(2013四川凉山州,9,★★☆)如图1-1-19,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为(　　)图1-1-19A.14　　B.15　　C.16　　D.17[答案]　C[解析]　∵四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形.∴AB=BC=AC=4.∴正方形ACEF的周长=4×4=16,∴选C.[第4页第6题]　(2013新疆乌鲁木齐,19,★★☆)如图1-1-24,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AE平分∠BAC,分别与BC,CD交于E,F,EH⊥AB于H,连接FH.求证:四边形CFHE是菱形.(10分)图1-1-24[答案]　(答案详见解析)[解析]　证法一:∵AE平分∠BAC,∴∠CAE=∠HAE.∵EH⊥AB于H,∴∠AHE=∠ACB=90°.又∵AE=AE,∴△ACE≌△AHE.∴EC=EH,AC=AH.又∵∠CAE=∠HAE,AF=AF,∴△AFC≌△AFH.∴FC=FH.∵CD⊥AB于D,∠ACB=90°,∴∠DAF+∠AFD=∠CAE+∠AEC=90°.又∵∠DAF=∠CAE,∠AFD=∠CFE.∴∠CFE=∠CEF.∴CF=CE.∴EC=EH=HF=FC.∴四边形CFHE是菱形.证法二:∵AE平分∠BAC,EH⊥AB,EC⊥AC,∴∠1=∠2,EH=EC.∵∠1+∠3=90°,∠2+∠4=90°,∠4=∠5,∴∠3=∠5.∴EC=CF.∴EH=CF.∵EH⊥AB,CD⊥AB,∴EH∥CF.∴四边形CFHE是平行四边形.又∵EH=EC,∴平行四边形CFHE是菱形.[第5页第1题]　下面对矩形的定义正确的是(　　)A.矩形的四个角都是直角B.矩形的对角线相等C.矩形是中心对称图形D.有一个角是直角的平行四边形[答案]　D[解析]　A、B、C说的全部是矩形的性质,故A、B、C选项错误,有一个角是直角的平行四边形是矩形,故D选项正确.故选D.[第5页第2题]　如图1-2-1,要使▱ABCD成为矩形,需添加的条件是(　　)图1-2-1A.AB=BC　　B.AC⊥BD　　C.∠ABC=90°　　D.∠1=∠2[答案]　C[解析]　根据矩形的定义可知,有一个角是直角的平行四边形是矩形.[第5页第3题]　如图1-2-2所示,在▱ABCD中,AC、BD交于点O,AE⊥BC于E,EF交AD于F,求证:四边形AECF是矩形.图1-2-2[答案]　(答案详见解析)[解析]　∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,BO=DO,∴∠1=∠2,又∵∠FOD=∠EOB,∴△DOF≌△BOE,∴DF=BE,∴AD-DF=BC-BE,即AF=EC,又∵AF∥EC,∴四边形AECF是平行四边形,又∵AE⊥BC,所以∠AEC=90°,∴平行四边形AECF是矩形.[第5页第5题]　(2013四川宜宾中考)矩形具有而菱形不具有的性质是(　　)A.两组对边分别平行　　B.对角线相等　　C.对角线互相平分　　D.两组对角分别相等[答案]　B[解析]　熟练掌握菱形与矩形的性质.[第5页第4题]　如图1-2-3,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF.(1)线段BD与CD有何数量关系,为什么(2)当△ABC满足什么条件时,四边形AFBD是矩形请说明理由.图1-2-3[答案]　(答案详见解析)[解析]　(1)BD=CD.理由:∵E是AD的中点,∴AE=DE.又∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE.又∵∠AEF=∠DEC,∴△AEF≌△DEC,∴AF=CD.∵AF=BD,∴BD=CD.(2)当△ABC满足AB=AC时,四边形AFBD是矩形.理由:∵AF∥BD,AF=BD,∴四边形AFBD是平行四边形.∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,即∠ADB=90°,∴平行四边形AFBD是矩形.[第3页第4题]　(2014浙江杭州萧山党湾中学月考,20,★★☆)如图1-1-18,在▱ABCD中,E、F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线,过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G.(11分)(1)求证:DE∥BF;(2)若∠G=90°,求证:四边形DEBF是菱形.图1-1-18[答案]　(答案详见解析)[解析]　(1)在▱ABCD中,AB∥CD,AB=CD.∵E、F分别为边AB、CD的中点,∴DF=DC,BE=AB,∴DF=BE.∴四边形DEBF为平行四边形,∴DE∥BF.(2)∵AG∥BD,∴∠G=∠DBC=90°,∴△DBC为直角三角形.又∵F为边CD的中点,∴BF=DC=DF.又∵四边形DEBF为平行四边形,∴四边形DEBF是菱形.[第5页第6题]　(2013广东茂名中考)如图1-2-4,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOD=60°,AD=2,则AC的长是(　　)图1-2-4A.2　　B.4　　C.2　　D.4[答案]　B[解析]　在矩形ABCD中,OC=OD,∴∠OCD=∠ODC,∵∠AOD=60°,∴∠OCD=∠AOD=×60°=30°,又∵∠ADC=90°,∴AC=2AD=2×2=4.故选B.[第5页第7题]　(2013贵州遵义中考)如图1-2-5,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是AO,AD的中点,若AB=6cm,BC=8cm,则△AEF的周长=　　　　. 图1-2-5[答案]　9cm[解析]　在Rt△ABC中,AC==10cm,∵点E,F分别是AO,AD的中点,∴EF是△AOD的中位线,∴EF=OD=BD=AC=2.5cm,AF=AD=BC=4cm,AE=AO=AC=2.5cm,∴△AEF的周长=AE+AF+EF=9cm.[第5页第8题]　如图1-2-6所示,矩形ABCD中,AE⊥BD,∠DAE∶∠BAE=3∶1,求∠BAE、∠EAO的度数.图1-2-6[答案]　(答案详见解析)[解析]　∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAB=90°,∴∠BAE+∠DAE=90°,又∵∠DAE∶∠BAE=3∶1,∴∠BAE=22.5°,∠DAE=67.5°.∵AE⊥BD,∴∠ABE=90°-∠BAE=90°-22.5°=67.5°,∴∠OAB=∠ABO=67.5°,∴∠EAO=67.5°-22.5°=45°.[第5页第9题]　如图1-2-7所示,矩形ABCD中,E为AD上一点,EF⊥CE交AB于F,若DE=2,矩形的周长为16,且CE=EF,求AE的长.图1-2-7[答案]　(答案详见解析)[解析]　∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠D=90°,AD=BC,AB=DC.∵EF⊥CE,∴∠AEF+∠DEC=90°.又∵∠AEF+∠AFE=90°,∴∠AFE=∠DEC.又∵EF=CE,∴△AEF≌△DCE.∴AE=DC.∵AB+BC+DC+AD=16,∴AD+DC=8.∴AE+2+AE=8,∴AE=3.[第6页第10题]　如图1-2-8,矩形ABCD的对角线相交于点O,OF⊥BC,CE⊥BD,OE∶BE=1∶3,OF=4,求∠ADB的度数和BD的长.图1-2-8[答案]　(答案详见解析)[解析]　由矩形的性质可知OD=OC.又由OE∶BE=1∶3可知E是OD的中点.又因为CE⊥OD,所以OC=CD,所以OC=CD=OD,即△OCD是等边三角形.故∠CDB=60°,所以∠ADB=30°.又OB=OC,OF⊥BC,所以点F为BC的中点,所以CD=2OF=8,所以BD=2OD=2CD=16.[第6页第14题]　如图1-2-12,在△ABC中,D是AB边的中点,△ACE和△BCF分别是以AC、BC为斜边的等腰直角三角形,连接DE、DF.求证:DE=DF.图1-2-12[答案]　(答案详见解析)[解析]　分别取AC、BC的中点M、N,连接MD、ND、EM、FN,又∵D为AB的中点,∠AEC=90°,∠BFC=90°,∴EM=DN=AC,FN=MD=BC,DN∥CM且DN=CM,∴四边形MDNC为平行四边形,∴∠CMD=∠CND.∵∠EMC=∠FNC=90°,∴∠EMC+∠CMD=∠FNC+∠CND,即∠EMD=∠FND,∴△EMD≌△DNF.∴DE=DF.[第6页第11题]　(2013重庆A卷中考)如图1-2-9,在矩形ABCD中,E、F分别是AB、CD上的点,AE=CF,连接EF、BF,EF与对角线AC交于点O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC.(1)求证:OE=OF;(2)若BC=2,求AB的长.图1-2-9[答案]　(答案详见解析)[解析]　(1)∵四边形ABCD是矩形,∴CD∥AB,∴∠FCO=∠EAO.在△FCO与△EAO中,∴△FCO≌△EAO(AAS),∴OF=OE.(2)如图,连接OB,∵BE=BF,OE=OF,∴BO⊥EF.∵△FCO≌△EAO,∴OA=OC,∴OB=AC=OA,∴∠BAC=∠ABO.在Rt△BEO中,∠BEF=2∠BAC,∠BAC=∠ABO,∴2∠BAC+∠BAC=90°,解得∠BAC=30°.∵BC=2,∴AC=2BC=4,∴AB==6.[第6页第15题]　如图1-2-13,E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点,要使四边形EFGH为矩形,四边形ABCD应具备的条件是(　　)图1-2-13A.一组对边平行而另一组对边不平行B.对角线相等C.对角线互相垂直D.对角线互相平分[答案]　C[解析]　因为E、H分别是AB、AD的中点,所以EH是△ABD的中位线,所以EH平行且等于BD,同理,FG平行且等于BD,故EH平行且等于FG.由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,可知四边形EFGH是平行四边形.要使四边形EFGH为矩形,只需满足一个角是直角即可.由EH∥BD,知只要满足AC⊥BD就能得到一个角为直角,因此选C.[第6页第12题]　如图1-2-10,△ABC中,∠C=90°,D是AB边的中点,AC=3,BC=4,则CD=　　　　. 图1-2-10[答案]　2.5[解析]　由勾股定理可求得AB==5,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CD=2.5.[第6页第16题]　如图1-2-14,▱ABCD中,点O是AC与BD的交点,过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F.(1)求证:△AOE≌△COF;(2)请连接EC、AF,则EF与AC满足什么条件时,四边形AECF是矩形并说明理由.图1-2-14[答案]　(答案详见解析)[解析]　(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,AB∥CD.∴∠AEO=∠CFO.在△AOE和△COF中,∴△AOE≌△COF.(2)当AC=EF时,四边形AECF是矩形.理由:∵△AOE≌△COF,∴OE=OF,AO=CO.∴四边形AECF是平行四边形.又∵AC=EF,∴平行四边形AECF是矩形.[第6页第13题]　如图1-2-11,在▱ABCD中,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,G,H分别是AB,CD的中点,求证:四边形EGFH为平行四边形.图1-2-11[答案]　(答案详见解析)[解析]　∵AE⊥BD,G是AB的中点,∴EG=AB=BG,∴∠GEB=∠GBE.同理可得FH=DC=DH,∠DFH=∠FDH.∵在▱ABCD中,AB=CD,AB∥CD,∴EG=FH,∠GBE=∠FDH.∴∠GEB=∠DFH,∴EG∥FH.∴四边形EGFH为平行四边形.[第7页第1题]　(2013辽宁沈阳一模,5,★★☆)顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是(　　)A.正方形　　B.矩形　　C.菱形　　D.等腰梯形[答案]　C[解析]　如图所示,E、F、G、H分别是矩形ABCD各边的中点,连AC、BD,因为E、F分别是AB、BC的中点,所以EF=AC,同理,HG=AC,FG=BD,EH=BD.又因为四边形ABCD是矩形,所以AC=BD,所以EF=FG=GH=HE,所以四边形EFGH是菱形.故选C.[第7页第2题]　(2014山东泰安期中,17,★☆☆)如图1-2-16,▱ABCD的对角线相交于点O,请你添加一个条件　　　　(只添一个即可),使▱ABCD是矩形. 图1-2-16[答案]　∠ABC=90°(答案不唯一)[解析]　（无解析）[第7页第2题]　(2013湖南邵阳,10,★★☆)如图1-2-20,点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点,且AD=DE,连接BE交CD于点O,连接AO,下列结论不正确的是(　　)图1-2-20A.△AOB≌△BOC　　B.△BOC≌△EOD　　C.△AOD≌△EOD　　D.△AOD≌△BOC[答案]　A[解析]　∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,∠ADO=∠EDO=∠C=90°,∵AD=DE,∴BC=DE.在△BOC与△EOD中,∠EDO=∠C=90°,BC=DE,∠BOC=∠DOE,∴△BOC≌△EOD,故B选项正确.在△AOD和△EOD中,∠ADO=∠EDO=90°,AD=DE,OD=OD,∴△AOD≌△EOD,故C选项正确.由B、C知△AOD≌△BOC,故D选项正确.[第7页第1题]　(2013湖北宜昌,7,★★☆)如图1-2-19,在矩形ABCD中,AB