北师大版八年级上册数学全册教学课件

1.1探索勾股定理第一章勾股定理第1课时认识勾股定理八 年级 六年级体育公开课教案九年级家长会课件PPT下载六年级家长会PPT课件一年级上册汉语拼音练习题六年级上册道德与法治课件 数学·北师版情境引入1.了解勾股定理的内容，理解并掌握直角三角形三边之间的数量关系．（重点）2.能够运用勾股定理进行简单的计算．（难点）学习目标导入新课如图，这是一幅美丽的图案，仔细观察，你能发现这幅图中的奥秘吗？带着疑问我们来一起探索吧.情境引入（图中每一格代表一平方厘米）（1）正方形P的面积是平方厘米；（2）正方形Q的面积是平方厘米；（3）正方形R的面积是平方厘米.121SP+SQ=SRRQPACBAC2+BC2=AB2等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？Sp=AC2SQ=BC2SR=AB2勾股定理的初步认识一讲授新课上面三个正方形的面积之间有什么关系？做一做：观察正方形瓷砖铺成的地面.填一填：观察右边两幅图：完成下表（每个小正方形的面积为单位1）.A的面积B的面积C的面积左图右图4？怎样计算正方形C的面积呢？9169方法一：割方法二：补方法三：拼分割为四个直角三角形和一个小正方形.补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形.分析表中数据，你发现了什么？A的面积B的面积C的面积左图4913右图16925结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.分别以5cm、12cm为直角三角形的直角边作出一个直角三角形ABC，测量斜边的长度，然后验证上述关系对这个直角三角形是否成立.13512ABC做一做几何语言：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2（勾股定理）.aABCbc∟总结归纳定理揭示了直角三角形三边之间的关系.　直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2．勾股定理求下列直角三角形中未知边的长:练一练8x17125x解：由勾股定理可得：82+x2=172即:x2=172-82x=15解:由勾股定理可得：52+122=x2即：x2=52+122x=13我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用砖铺成的地面（如下图所示）：ABC穿越毕达哥拉斯做客现场正方形A的面积正方形B的面积正方形C的面积+=一直角边2另一直角边2斜边2+=知识链接例1已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.利用勾股定理进行计算二典例精析解：由勾股定理可得，AB2=AC2+BC2=25，即AB=5.根据三角形面积公式，∴AC×BC=AB×CD.∴CD=.ADBC34方法总结由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，这个规律也称“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用．例2如图，已知AD是△ABC的中线．求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2)．证明：如图，过点A作AE⊥BC于点E.在Rt△ACE、Rt△ABE和Rt△ADE中，AB2＝AE2＋BE2，AC2＝AE2＋CE2，AE2＝AD2－ED2，∴AB2＋AC2＝(AE2＋BE2)＋(AE2＋CE2)＝2AD2＋DB2＋DC2＋2DE(DC－DB)．又∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∴AB2＋AC2＝2AD2＋2DC2＝2(AD2＋CD2)．E方法总结构造直角三角形，利用勾股定理把需要证明的线段联系起来．一般地，涉及线段之间的平方关系问题时，通常沿着这个思路去分析问题．解：当高AD在△ABC内部时，如图①.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD＝16；在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60.例3在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长．题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．当高AD在△ABC外部时，如图②.同理可得BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42.综上所述，△ABC的周长为42或60.方法总结解析：因为AE＝BE，所以S△ABE＝AE·BE＝AE2.又因为AE2＋BE2＝AB2，所以2AE2＝AB2，所以S△ABE＝AB2＝；同理可得S△AHC＋S△BCF＝AC2＋BC2.又因为AC2＋BC2＝AB2，所以阴影部分的面积为AB2＝.例4如图，以Rt△ABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，则图中△ABE的面积为________，阴影部分的面积为________．方法总结求解与直角三角形三边有关的图形面积时，要结合图形想办法把图形的面积与直角三角形三边的平方联系起来，再利用勾股定理找到图形面积之间的等量关系．求下列图形中未知正方形的面积及未知边的长度（口答）：已知直角三角形两边，求第三边.练一练当堂练习1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为.8cm10cm36cm²2.求下列图中未知数x、y的值：解：由勾股定理可得：81+144=x2即:x2=225x=15解：由勾股定理可得：y2+144=169即:y2=25y=53.在△ABC中，∠C=90°.（1）若a=6，b=8，则c=.（2）若c=13，b=12，则a=.4.若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三边长的平方为（）A25B14C7D7或25105D5.一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少?ABC解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：BC2=AB2-AC2=2.52-2.42=0.49，所以BC=0.7.答：梯脚与墙的距离是0.7米.6.求斜边长17cm、一条直角边长15cm的直角三角形的面积.解：设另一条直角边长是xcm.由勾股定理得:152+x2=172，x2=172-152=289–225=64，所以x=±8（负值舍去），所以另一直角边长为8cm，直角三角形的面积是:(cm2).思维拓展S5=S1+S2=4，S7=S5+S6=10.已知S1=1，S2=3，S3=2，S4=4，求S5，S6，S7的值.S6=S3+S4=6，认识勾股定理如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2课堂小结利用勾股定理进行计算1.1探索勾股定理第一章勾股定理第2课时验证勾股定理八年级数学·北师版1.学会用几种方法验证勾股定理．（重点）2.能够运用勾股定理解决简单问题．（重点，难点）学习目标导入新课观察与思考活动：请你利用自己准备的四个全等的直角三角形拼出以斜边为边长的正方形．有不同的拼法吗？讲授新课勾股定理的验证一据不完全统计，验证的方法有400多种，你有自己的方法吗？问题：上节课我们认识了勾股定理，你还记得它的内容吗？那么如何验证勾股定理呢？aaaabbbbcccc方法小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理．验证方法一：毕达哥拉斯证法大正方形的面积可以表示为;也可以表示为.(a+b)2c2+4•ab∵(a+b)2=c2+4•aba2+2ab+b2=c2+2ab∴a2+b2=c2cabcab验证方法二：赵爽弦图bcabc大正方形的面积可以表示为;也可以表示为.∵c2=4•ab+(b-a)2=2ab+b2-2ab+a2=a2+b2∴a2+b2=c2c24•ab+(b-a)2bcabcaABCD如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，列出代数关系式,得化简,得验证方法三：美国总统证法abc青入青方青出青出青入朱入朱方朱出青朱出入图课外链接abcABCDEFO达·芬奇对勾股定理的证明ⅠⅡAaBCbDEFOⅠⅡA′B′C′D′E′F′如图，过A点画一直线AL使其垂直于DE，并交DE于L，交BC于M.通过证明△BCF≌△BDA，利用三角形面积与长方形面积的关系，得到正方形ABFG与矩形BDLM等积，同理正方形ACKH与矩形MLEC也等积，于是推得欧几里得证明勾股定理推荐书目议一议观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.勾股定理的简单应用二例1：我方侦查员小王在距离东西向公路400m处侦查，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m,10s后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?公路BCA400m500m解:由勾股定理，得AB2=BC2+AC2，即5002=BC2+4002，所以，BC=300.敌方汽车10s行驶了300m,那么它1h行驶的距离为300×6×60=108000（m）即它行驶的速度为108km/h.练一练1.湖的两端有A、Ｂ两点，从与ＢA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米,则AB为（)ABCA.50米B.120米C.100米D.130米130120?AABC2.如图,太阳能热水器的支架AB长为90cm,与AB垂直的BC长为120cm.太阳能真空管AC有多长?解：在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC2=AB2+BC2，AC2=902+1202，AC=150(cm).答:太阳能真空管AC长150cm.例2：如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1＝2km，BB1＝4km，A1B1＝8km.现要在高速公路上A1、B1之间设一个出口P，使A，B两个村庄到P的距离之和最短，求这个最短距离和．解：作点B关于MN的对称点B′，连接AB′，交A1B1于P点，连BP.则AP＋BP＝AP＋PB′＝AB′，易知P点即为到点A，B距离之和最短的点．过点A作AE⊥BB′于点E，则AE＝A1B1＝8km，B′E＝AA1＋BB1＝2＋4＝6(km)．由勾股定理，得B′A2＝AE2＋B′E2＝82＋62，∴AB′＝10(km)．即AP＋BP＝AB′＝10km，故出口P到A，B两村庄的最短距离和是10km.变式：如图，在一条公路上有A、B两站相距25km，C、D为两个小镇，已知DA⊥AB,CB⊥AB,DA=15km,CB=10km，现在要在公路边上建设一个加油站E，使得它到两镇的距离相等，请问E站应建在距A站多远处?DAEBC151025-x当堂练习1.在直角三角形中，满足条件的三边长可以是．(写出一组即可)【解析】答案不唯一，只要满足式子a2+b2=c2即可.答案：3，4，5（满足题意的均可）2.如图，王大爷准备建一个蔬菜大棚，棚宽8m，高6m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，阳光透过的最大面积是_________.200m23.如图,一根旗杆在离地面9m处折断,旗杆顶部落在离旗杆底部12m处.旗杆原来有多高?12m9m解：设旗杆顶部到折断处的距离为xm，根据勾股定理得解得x=15,15+9=24(m).答：旗杆原来高24m.4.如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB=3m，BC=4m，AD=13m，∠B=∠ACD=90°．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？解：在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC2=AB2+BC2，∴AC=5m，在Rt△ACD中,由勾股定理,得CD2=AD2－AC2，∴CD=12m，S草坪=SRt△ABC+SRt△ACD=AB•BC+AC•DC=(3×4+5×12)=36m2．故需要的费用为36×100=3600元．5.如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.DABCEF解：在Rt△ABF中,由勾股定理,得BF2=AF2－AB2=102－82BF=6(cm).∴CF=BC－BF=4.设EC=x，则EF=DE=8－x，在Rt△ECF中,根据勾股定理,得x2+42=(8－x)2解得x=3.所以EC的长为3cm.探索勾股定理勾股定理的验证课堂小结勾股定理的简单运用1.2一定是直角三角形吗第一章勾股定理八年级数学·北师版情境引入学习目标1.了解直角三角形的判定条件．（重点）2.能够运用勾股数解决简单实际问题．（难点）导入新课问题：同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗?用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段,一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结,两个助手分别握住第4个结和第9个结,拉紧绳子就得到一个直角三角形,其直角在第1个结处.讲授新课勾股定理的逆定理一探究：下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c:①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.回答下列问题:1.这三组数都满足a2+b2=c2吗？2.分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？实验结果：①5,12,13满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形;②7,24,25满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形;③8,15,17满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形.思考：从上述问题中，能发现什么结论吗？如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.有同学认为测量结果可能有误差,不同意这个发现.你觉得这个发现正确吗?你能给出一个更有说服力的理由吗?△ABC≌△A′B′C′　　？∠C是直角　　　△ABC是直角三角形　　A　B　C　abc已知：如图，△ABC的三边长a,b,c，满足a2+b2=c2．求证：△ABC是直角三角形．构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′证明结论简要说明：作一个直角∠MC1N，在C1M上截取C1B1=a=CB,在C1N上截取C1A1=b=CA,连接A1B1.在Rt△A1C1B1中，由勾股定理,得A1B12=a2+b2=AB2.∴A1B1=AB，∴△ABC≌△A1B1C1.（SSS）∴∠C=∠C1=90°，∴△ABC是直角三角形.acbACBbaC1MNB1A1勾股定理的逆定理归纳总结如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.ACBabc勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角，最长边所对角为直角.特别说明：典例精析例1：一个零件的形状如图1所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图2所示,这个零件符合要求吗?DABC4351312DABC图1图2在△BCD中，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角.因此，这个零件符合要求.解：在△ABD中，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角.例2下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？(1)a=15，b=8，c=17;解：因为152+82=289，172=289，所以152+82=172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角.(2)a=13，b=14，c=15;解：因为132+142=365，152=225，所以132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，所以这个三角形不是直角三角形.(3)a:b:c=3:4:5;解：设a=3k,b=4k,c=5k,因为(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，∠C是直角.根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.归纳变式1：已知△ABC，AB=n²-1，BC=2n，AC=n²+1(n为大于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由解：∵AB²+BC²=(n²-1)²+(2n)²=n4-2n²+1+4n²=n4+2n²+1=(n²+1)²=AC²，∴△ABC直角三角形，边AC所对的角是直角.先确定AB、BC、AC、的大小变式2：若三角形ABC的三边a,b,c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c.试判断△ABC的形状.解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c∴a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0.即(a－3)²+(b－4)²+(c－5)²=0.∴a=3,b=4,c=5即a2+b2+c2.∴△ABC直角三角形.例3在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由．解：AF⊥EF.设正方形的边长为4a,则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边．∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.勾股数二概念学习常见勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k，得到一组新数，这组数同样是勾股数.例4：下列各组数是勾股数的是()A.6，8，10B.7，8，9C.0.3，0.4，0.5D.52，122，132A方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.当堂练习1.如果线段a,b,c能组成直角三角形,则它们的比可以是()A.3:4:7B.5:12:13C.1:2:4D.1:3:5将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形()A.是直角三角形B.可能是锐角三角形C.可能是钝角三角形D.不可能是直角三角形BA4.如果三条线段a，b，c满足a2=c2-b2,这三条线段组成的三角形是直角三角形吗?为什么?解：是直角三角形.因为a2+b2=c2满足勾股定理的逆定理.3.以△ABC的三条边为边长向外作正方形,依次得到的面积是25,144,169,则这个三角形是______三角形.直角5.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流.412243解:△ABE，△DEF，△FCB均为直角三角形.由勾股定理知BE2=22+42=20，EF2=22+12=5，BF2=32+42=25,∴BE2+EF2=BF2,∴△BEF是直角三角形.6.如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD的面积.解：连接BD.在Rt△ABD中,由勾股定理,得BD2=AB2+AD2，∴BD=5m，又∵CD=12cm，BC=13cm∴BC2=CD2+BD2，∴△BDC是直角三角形.S四边形ABCD=SRt△BCD－SRt△ABD=BD•CD－AB•AD=(5×12－3×4)=24m2．CBAD变式：如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30cm2，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求△ABC的面积.解:∵S△ACD=30cm2，DC＝12cm.∴AC=5cm,又∵∴△ABC是直角三角形,∠B是直角.∴DCBA一定是直角三角形吗勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.课堂小结勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数1.3勾股定理的应用第一章勾股定理八年级数学·北师版情境引入学习目标1.学会运用勾股定理求立体图形中两点之间的最短距离．（重点）2.能够运用勾股定理解决实际生活中的问题.(重点,难点)在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择AB路线，而不选择ACB路线，难道小狗也懂数学？CBAAC+CB>AB（两点之间线段最短）导入新课情境引入思考：在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？讲授新课立体图形中两点之间的最短距离一BA问题：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？BAdABA'ABBAO想一想：蚂蚁走哪一条路线最近？A'蚂蚁A→B的路线若已知圆柱体高为12cm，底面半径为3cm，π取3，则:BA3O12侧面展开图123πAB【方法归纳】立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.A'A'例1有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米?(已知油罐的底面半径是2m，高AB是5m，π取3）ABABA'B'解：油罐的展开图如图，则AB'为梯子的最短距离.∵AA'=2×3×2=12,A'B'=5,∴AB'=13.即梯子最短需13米.典例精析数学思想：立体图形平面图形转化展开变式1：当小蚂蚁爬到距离上底3cm的点E时，小明同学拿饮料瓶的手一抖，那滴甜甜的饮料就顺着瓶子外壁滑到了距离下底3cm的点F处，小蚂蚁到达点F处的最短路程是多少？（π取3）EFEFEFEF解：如图，可知△ECF为直角三角形，由勾股定理,得EF2=EC2+CF2=82+(12-3-3)2=100，∴EF=10(cm).B牛奶盒A变式2：看到小蚂蚁终于喝到饮料的兴奋劲儿，小明又灵光乍现，拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放在了点A处，并在点B处放上了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程么？6cm8cm10cmBB18AB2610B3AB12=102+（6+8）2=296AB22=82+（10+6）2=320AB32=62+（10+8）2=360勾股定理的实际应用二问题：李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.（1）你能替他想办法完成任务吗？解:连接对角线AC，只要分别量出AB、BC、AC的长度即可.AB2+BC2=AC2△ABC为直角三角形（2）量得AD长是30cm，AB长是40cm，BD长是50cm.AD边垂直于AB边吗？解:AD2+AB2=302+402=502=BD2，得∠DAB=90°，AD边垂直于AB边.（3）若随身只有一个长度为20cm的刻度尺，能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？解:在AD上取点M,使AM=9,在AB上取点N使AN=12,测量MN是否是15，是，就是垂直；不是，就是不垂直.例2如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，试求滑道AC的长.故滑道AC的长度为5m.解：设滑道AC的长度为xm，则AB的长也为xm，AE的长度为（x-1）m.在Rt△ACE中，∠AEC=90°，由勾股定理得AE2+CE2=AC2，即（x-1）2+32=x2，解得x=5.数学思想：实际问题数学问题转化建模例3如图，在一次夏令营中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400m到达点B，然后再沿北偏西37°方向走了300m到达目的地C.求A、C两点之间的距离．解：如图，过点B作BE∥AD.∴∠DAB＝∠ABE＝53°.∵37°＋∠CBA＋∠ABE＝180°，∴∠CBA＝90°，∴AC2＝BC2＋AB2＝3002＋4002＝5002，∴AC＝500m，即A、C两点间的距离为500m.E方法总结此类问题解题的关键是将实际问题转化为数学问题；在数学模型(直角三角形)中，应用勾股定理或勾股定理的逆定理解题．当堂练习1．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（）A.4cmB.5cmC.6cmD.10cmB2．有一个高为1.5m，半径是1m的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5m，问这根铁棒有多长？解:设伸入油桶中的长度为xm,则最长时:最短时,x=1.5所以最长是2.5+0.5=3(m).答:这根铁棒的长应在2～3m之间.所以最短是1.5+0.5=2(m).解得：x=2.5梯子的顶端沿墙下滑4m,梯子底端外移8m.解：在Rt△AOB中，在Rt△COD中，3.一个25m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为24m,如果梯子的顶端A沿墙下滑4m,那么梯子底端B也外移4m吗?4.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？DABC解：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长AD=AB=（x+1）尺，在直角三角形ABC中，BC=5尺由勾股定理得，BC2+AC2=AB2即52+x2=(x+1)225+x2=x2+2x+1，2x=24，∴x=12，x+1=13.答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺.5.为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图①.已知圆筒的高为108cm，其横截面周长为36cm，如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？解：如图②，在Rt△ABC中，因为AC＝36cm，BC＝108÷4＝27(cm)．由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝362＋272＝2025＝452，所以AB＝45cm，所以整个油纸的长为45×4＝180(cm)．勾股定理的应用立体图形中两点之间的最短距离课堂小结勾股定理的实际应用2.1认识无理数第二章实数八年级数学·北师版情境引入学习目标1.了解无理数的基本概念．（重点）2.借助计算器估计无理数的近似值．导入新课小红是刚升入八年级的新生，一个周末的上午，当工程师的爸爸给小红出了一道数学题：一个边长为6cm的正方形木板，按如图的痕迹锯掉四个一样的直角三角形.请计算剩下的正方形木板的面积是多少？剩下的正方形木板的边长又是多少厘米呢？见过这个数吗？你能帮小红解决这个问题吗？情境引入2活动：把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，你会吗？111无理数的认识一讲授新课活动探究1212121211111111111111111111还有好多方法哦！课余时间再动手试一试，比比谁找的多！问题1：设大正方形的边长为a，则a满足什么条件？追问1：a是一个什么样的数？a可能是整数吗？因为S大正方形=2，所以a2=2.从“数”的角度：因为a2=2,而12=1,22=4所以12<a2<22,所以1<a<2，a不是整数BAC取出一个三角形从“形”的角度：在三角形ABC中,AC=1，BC=1，AB=a根据三角形的三边关系：AC-BC<a<AC+BC所以0<a<2，且a≠1，所以a不是整数追问2：a可能是分数吗？①a是分母为2的分数吗？②a是分母为3的分数吗？③a是分母为4的分数吗？④a是分母为多少的分数？归纳：a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数.（1）如图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？（2）a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……完成下列表格1a2面积为2问题2：a究竟是多少？请同学们借助计算器进行探索边长a面积S1<a<21.4<a<1.51.41<a<1.421.414<a<1.4151.4142<a<1.41431<S<41.96<S<2.251.9881<S<2.01641.999396<S<2.0022251.99996164<S<2.00024449（1）边长a会不会算到某一位时，它的平方恰好等于2呢？为什么？（2）a可能是有限小数吗？它会是一个怎样的数呢？a=1.41421356…,它是一个无限不循环小数想一想估计面积为5的正方形的边长b的值，结果精确到百分位.b=2.236067978…，它也是一个无限不循环小数做一做事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.问题3：使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？无限不循环小数为无理数.如π=3.14159265…，0.1010010001…（两个1之间依次多1个0）要点归纳例下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3.14，-，0.57,0.1010001000001…（相邻两个1之间0的个数逐次加2）.典例精析..解：有理数有：3.14，，0.57；..无理数有：0.1010001000001….整数有____________________________有理数有_________________________无理数有__________________________填空：在实数【跟踪训练】归纳总结1．圆周率及一些最终结果含有的数.2．有一定的规律，但不循环的无限小数.无理数的特征:当堂练习1.下列各数：1，(相邻两个3之间0的个数逐次加1)中，无理数的个数是（）A.2个B.3个C.4个D.5个【解析】无限不循环小数是无理数，其中(相邻两个3之间0的个数逐次加1)是无理数，其他是有理数.A【解析】因为3.14是小数，是分数，是无限循环小数，所以选项A,B,D都是有理数；是无限不循环小数，所以是无理数.2.下列各数中，是无理数的为（）A.3.14B.C.D.C(1)有限小数是有理数;（）(2)无限小数都是无理数;（）(3)无理数都是无限小数;（）(4)有理数是有限小数.（）3.判断题╳√√╳4.以下各正方形的边长是无理数的是（）A.面积为25的正方形；B.面积为的正方形；C.面积为8的正方形；D.面积为1.44的正方形.C认识无理数无理数的概念及认识课堂小结借助计算器求无理数的近似值2.3立方根第二章实数八年级数学·北师版情境引入学习目标1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.（重点）2.能用开立方运算求某些数的立方根，了解开立方和立方互为逆运算.（重点，难点）导入新课某化工厂使用半径为1米的一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果要求它的体积必须是原来体积的8倍，那么它的半径应是原来储气罐半径的多少倍？情境引入讲授新课立方根的概念及性质一问题：要做一个体积为27cm3的正方体模型（如图），它的棱长要取多少？你是怎么知道的？解：设正方体的棱长为x㎝,则这就是要求一个数,使它的立方等于27.因为所以x=3.正方体的棱长为3㎝.想一想(1)什么数的立方等于-8？(2)如果问题中正方体的体积为5cm3，正方体的边长又该是多少？-2立方根的概念一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根，也叫做a的三次方根．记作　　.立方根的表示一个数a的立方根可以表示为:根指数被开方数其中a是被开方数，3是根指数，3不能省略.读作:三次根号a，填一填：根据立方根的意义填空：因为=8，所以8的立方根是（　）；因为()3=0.125,所以0.125的立方是（　）；因为()3＝0，所以0的立方根是（　）；因为()3＝－8，所以－8的立方根是（）；因为()3＝，所以的立方（）.02-20-2立方根的性质一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根，零的立方根是零.平方根与立方根的异同被开方数平方根立方根有两个互为相反数有一个,是正数无平方根零有一个,是负数零正数负数零立方根是它本身的数有1,-1,0；平方根是它本身的数只有0.开立方及相关运算二a叫做被开方数3叫做根指数每个数a都有一个立方根，记作，读作“三次根号a”.如：x3=7时，x是7的立方根．求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数注意:这个根指数3绝对不可省略.典例精析例1求下列各数的立方根:（1）（2）（3）（4）（5）(5)-5的立方根是（3）（4）0.216;（5）－5.求下列各式的值:体会：对于任何数a,a240-2-3探究1332___=334___=温馨提示：开立方与立方运算互为逆运算.体会：对于任何数a,a8270-8-27探究2求下列各式的值:体会:(1)求一个负数的立方根,可以先求出这个负数绝对值的立方根,然后再取它的相反数.(2)负号可从“根号内”直接移到“根号外”.求下列各式的值:(1)；(2)探究3-0.2-0.2求下列各数的值:（1）0.5，（2）－4，（3）－4，（4）5，（5）16.练一练例2求下列各式的值:()当堂练习1.判断下列说法是否正确.×(2)任何数的立方根都只有一个;()(3)如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是零;()××(5)0的平方根和立方根都是0.()√(1)25的立方根是5;()(4)一个数的立方根不是正数就是负数;√2.求下列各式的值解:（1）（2）（3）3.求下列各式的值：24.将体积分别为600cm3和129cm3的长方体铁块，熔成一个正方体铁块，那么这个正方体的棱长是多少？解:因为600+129=729，729的立方根是9，所以正方体的棱长为9cm.立方根立方根的概念及性质课堂小结开立方及相关运算2.5用计算器开方第二章实数八年级数学·北师版学习目标1.了解计算器开方的方法．（重点）2.能够运用计算器开方比较数的大小．（重点）导入新课观察与思考试着在自己的计算器里输入同样的算式想一想开方运算要用到哪些键？讲授新课用计算器开方一对于开平方运算，按键顺序为：被开方数=对于开立方运算，按键顺序为：被开方数SHIFT=例1：用计算器计算：　(1)　　;　(2)　;　(3)　　　.　解：(1)5.89,　(2)(2÷7),(3)显示2.42693222；显示0.658633756；显示－10.87178969.-1285,SHIFTSHIFT用计算器比较数的大小二例2：利用计算器比较下列两数的大小.解:按键：3，2，显示显示按键：1.44224957；1.414213562；所以与SHIFT任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算……随着开方次数的增加，你发现了什么？计算的结果越来越接近１试一试改用另一个小于1的正数试一试，看看是否仍有类似规律？是的当堂练习1.用计算器比较下面两数的大小：(1)(2)解:（1）3.236067978；（2）3.339148045；2.利用计算器求下列各式的值（结果保留4个有效数字）（2）；（3）；（4）；（1）解：（1）≈28.28；（2）≈1.639；（3）≈0.7616；（4）≈-0.7560.3.借助计算器求下列各式的值，你能发现什么规律？利用你发现的规律试写出4…4443…333+=5…555.=5555.2233334444+用计算器开方使用计算器进行开方运算课堂小结用计算器开方比较数的大小用计算器探索数的规律3.1确定位置第三章位置与坐标八年级数学·北师版学习目标1.理解在平面内确定一个物体的位置一般需要两个数据．（重点）2.灵活运用不同的方法确定物体的位置．（难点）导入新课 复习 预应力混凝土预制梁农业生态学考研国际私法笔记专题二标点符号数据的收集与整理 引入在数轴上,如何确定一个点的位置呢?A点记作-2,B点记作3.也就是说,例如:在直线上一般用一个数据就可以表示一个点的位置．小明父子俩周末去电影院看国产大片《湄公河行动》，买了两张票去观看，座位号分别是3排6号和6排3号.怎样才能既快又准地找到座位？情境引入思考1在班里老师想找一个学生，你知道是谁吗？思考2你认为确定一个位置需要几个数据？提示1：只给一个数据“第２列”，你能确定老师要找的学生是谁吗？提示2：给出两个数据“第２列，第3排”，你能确定是谁了吗？讲授新课用有序实数对确定点的位置讲台2134567812345第3排第2列（2,3）（列数，排数）约定:列数在前，排数在后（1）在电影票上“6排3号”与“3排6号”中的“6”的含义有什么不同？你能找到它们对应的位置吗？（2）如果将“6排3号”简记作（6，3），那么“3排6号”如何表示？（5，6）表示什么含义？（6，5）呢?(3)在只有一层的电影院内，确定一个座位一般需要几个数据？答:两个数据:排数和号数.做一做试一试1：“怪兽吃豆豆”是一种计算机游戏，图中的●标志表示“怪兽”先后经过的几个位置，如果用(1,2)表示“怪兽”经过的第2个位置，那么你能用同样的方式表示出图中“怪兽”经过的其他几个位置吗？1234512345678排列(3,2)(4,3)(3,3)(4,5)(5,4)(5,5)(7,4)(7,3)(8,3)(1,1)(1,2)在生活中,确定物体的位置，还有其他方法吗?试一试2：从市52中到碧沙岗的距离大约是3.2公里，你能告诉游客如何在手机上找到打车软件——“滴滴出行”为游客叫车吗？方位法确定位置二例1：如图，是某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图（图中1cm表示20nmile），对我方潜艇O来说：˚40˚O1cm1cm˚敌方舰艇C敌方舰艇A敌方舰艇B小岛40˚我方舰艇1我方舰艇2O1cm1cm(1)北偏东40°的方向上有哪些目标?要想确定敌舰B的位置,还需要什么数据?解:(1)有敌方舰艇B和小岛；还需要敌方舰艇B与我方潜艇O的距离.(2)距离我方潜艇20nmile的敌舰有哪几艘?(2)有敌舰A和敌舰C.˚敌方舰艇C敌方舰艇A敌方舰艇B小岛40˚我方舰艇1我方舰艇2O1cm1cm(3)要确定每艘敌舰的位置，各需要几个数据?（3）要确定每艘敌舰的位置，各需要两个数据：距离和方位角.如，对我方潜艇O来说，敌舰A在正南方向，图上距离为1cm处；敌舰B在北偏东40°，图上距离为1.4cm处；敌舰C在正东方向，图上距离为1cm处.如图，货轮与灯塔相距40nmile,如何用方向和距离描述灯塔相对于货轮的位置？反过来，如何用方向和距离描述货轮相对于灯塔的位置？北50°解：(1)灯塔在货轮南偏东50°方向，且相距40nmile；(2)货轮在灯塔北偏西50°方向，且相距40nmile.试一试用“经纬度”“区域定位法”确定位置三例2：据新华社报道，2008年5月12日14:28，我国四川省发生里氏8.0级强烈地震，震中位于阿坝州汶川县境内，即北纬31˚，东经103.4˚.这是新中国成立以来破坏最强、波及范围最大的一次地震.你能在地图上找到震中的大致位置吗？北京：东经116°北纬40°在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据．归纳总结当堂练习1．在平面内,下列数据不能确定物体位置的是（）A.3楼5号　　　　　B.北偏西40°C.解放路30号　　　D.东经120°，北纬30°B2.海事救灾船前去救援某海域失火轮船，需要确定（　）A.方位角　　　　　　B.距离C.失火轮船的国籍　　D.方位角和距离D3.如图，点A表示３街与５大道的十字路口，点B表示５街与３大道的十字路口.如果用(3,5)　(4,5)　　　(5,5)(5,3)表示由A到B的一条林荫道，那么你能用同样的方式写出由A到B的其他路径吗？１街　２街　　３街　４街　５街　　６街６大道５大道４大道３大道２大道１大道ＡB5预明满万次4中活此成学3祝英天！动2球里区生大1功片打习圆ABCDE4.如右图，方块中用(C,3)表示“天”那么按下列要求排列会组成一句什么话，把它读出来.(A,5)(A,3)(C,4)(E,5)(B,1)(C,2)(B,4)(E,3)(E,1)(C,5)(D,4)(A,1)(D,3)预祝此次片区活动圆满成功！８１２３４５６７１２３４５６７８９１０●●●●●●●●大门食堂宿舍楼宣传橱窗实验楼教学楼运动场办公楼(9,6)(8,5)(3,7)(6,8)(7,4)(2,2)(3,3)（5,2）5.已知大门的位置,用有序数对表示学校里的各个地点.6．观察如图所示象棋盘，回答问题：（1）请你说出“将”与“帅”的位置;（2）说出“马3进4”（即第3列的马前进到第4列）后的位置．解:(1)（9,5）,（1,5）；（2）（7,4）.确定位置有序实数对课堂小结方位法经纬度法区域定位法3.2平面直角坐标系第三章位置与坐标第1课时平面直角坐标系八年级数学·北师版学习目标1.理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念；（重点）2.能在给定的直角坐标系中，由点的位置写出它的坐标.（难点）导入新课文字密码游戏：如图“家”字的位置记作(1，9)，请你破解密码：(3，3),(5，5),(2，7),(2，2),(1，8)(8，7),(8，8).９家个和怎他是的去常８聪到饿日一有啊！哦７的我是发搞可了明在６确小大北京你才批不５年没定妈，爸事达方４营业女天员各合乎经３由于嘿毫力量靠孩济２仍真击歼安机麻生世１然往亲赌东门密棒暗０１２３４５６７８９密码是：“嘿，我真聪明！”课前热身导入新课在平面内，确定物体位置方式主要有两种：一般记作（a，b）(横　＋　纵）(方位角＋距离）在平面内，确定物体位置,需_____数据两个思考：（a，b）从何而来呢？讲授新课认识平面直角坐标系与平面内点的坐标一问题：如图是某城市旅游景点的示意图：(1)你是怎样确定各个景点位置的？（3，1）（－2，1）（－2，－1）（－1，－3）（－4，－4）1.你是怎样确定各个旅游景点的位置的？2.“大成殿”在“中心广场”的西南各多少个小格？“碑林”在广场的东北各多少格？3.如果中心广场为（0,0）你能表示出其他景点的位置么？小丽能根据小明的提示从左图中找出图书馆的位置吗？周末小明和小丽约好一起去图书馆学习.小明告诉小丽，图书馆在中山北路西边50米，人民西路北边30米的位置.中山南路人民东路中山北路人民西路北西找一找中山南路人民东路中山北路人民西路北西想一想4.如果小明只说在“中山北路西边50米”，或只说在“人民西路北边30米”，你能找到吗？1.小明是怎样描述图书馆的位置的？2.小明可以省去“西边”和“北边”这几个字吗？3.如果小明说图书馆在“中山北路西边、人民西路北边”，你能找到吗？若将中山路与人民路看着两条互相垂直的数轴，十字路口为它们的公共原点，这样就形成了一个平面直角坐标系.xyo3020102010-10-20-30-40-20-50-10-70-60-50-40-30-80（-50,北西30）人民路中山路水平方向的数轴称为x轴或横轴，垂直方向的数轴称为y轴或纵轴，它们称为坐标轴.两轴交点O称为原点.在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，如图所示.yOx12345123456概念学习思考：如何在平面直角坐标系中表示点呢？这样P点的横坐标是-2，纵坐标是3，规定把横坐标写在前，纵坐标在后，记作：P(-2，3)P(-2，3)就叫做点P在平面直角坐标系中的坐标，简称点P的坐标.-4-3-2-101231234-1-2-3-4xy思考：如图点P如何表示呢？后由P点向y轴画垂线，垂足N在y轴上的坐标是3.称为P点的纵坐标.先由P点向x轴画垂线，垂足M在x轴上的坐标是是-2；称为P点的横坐标.PNM11-1-2-3-42323454-1-2-3-4-50Ａ（４，３）xy1.找出点Ａ的坐标.(1)过点Ａ作x轴的垂线，垂足在x轴上对应的数是４；(2)过点Ａ作y轴的垂线，垂足在y轴上对应的数是３；点Ａ的坐标为（４，３）试一试xO123-1-2-312-1-2-3y2.在平面直角坐标系中找点A(3,-2)由坐标找点的方法：(1)先找到表示横坐标与纵坐标的点；(2)然后过这两点分别作x轴与y轴的垂线；(3)垂线的交点就是该坐标对应的点.A典例精析ABCEFD例1：写出下图中的多边形ABCDEF各个顶点的坐标.1234-1-2123-1-2-3【答案】A（-2，0）B（0，-3）C（3，-3）D（4，0）E（3，3）F（0，3）yOx31425-2-1-3012345-4-3-2-1xy·B·A·D·C在直角坐标第中描出下列各点：A（4，3），B（-2，3），C（-4，-1），D（2，-2）.练一练活动1:观察坐标系,填写各象限内的点的坐标的特征：点的位置横坐标的符号纵坐标的符号第一象限第二象限第三象限第四象限+++---+-AyOx-1-2-3-1-2-3-4123412345-4BCDE交流:不看平面直角坐标系,你能迅速说出A(4,5),B(-2,3),C(-4,-1),D(2.5,-2),E(0,-4)所在的象限吗？你的方法又是什么？平面直角坐标系中坐标的特征二点的位置横坐标的符号纵坐标的符号在x轴的正半轴上在x轴的负半轴上在y轴的正半轴上在y轴的负半轴上0++--000交流：不看平面直角坐标系,你能迅速说出(-5,0),(0,-5),(3,0),(0,3),(0,0)所在的位置吗？你的方法又是什么？AyOx-1-2-3-1-2-3-4123412345-4BCE活动2.观察坐标系,填写坐标轴上的点的坐标的特征：思考：坐标平面内的点与有序数对(坐标)是什么关系?类似数轴上的点与实数是一一对应的.我们可以得出：①对于坐标平面内任意一点M,都有唯一的一对有序实数(x,y)(即点M的坐标）和它对应；②反过来，对于任意一对有序实数(x,y),在坐标平面内都有唯一的一点M(即坐标为(x,y)的点）和它对应.也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的.例1设点M(a，b)为平面直角坐标系内的点．(1)当a>0，b<0时，点M位于第几象限？(2)当ab>0时，点M位于第几象限？(3)当a为任意有理数，且b<0时，点M位于第几象限？典例精析解：(1)点M在第四象限；(2)可能在第一象限(a>0，b>0)或者在第三象限(a<0，b<0)；(3)可能在第三象限(a<0，b<0)或者第四象限(a>0，b<0)或者y轴负半轴上(a=0，b<0)．练一练已在平面直角坐标系中，点P(m，m－2)在第一象限内，则m的取值范围是________．解析：根据第一象限内点的坐标的符号特征，横坐标为正，纵坐标为正，可得关于m的一元一次不等式组解得m＞2.m＞2【方法总结】求点的坐标中字母的取值范围的方法：根据各个象限内点的坐标的符号特征，列出关于字母的不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可求出相应字母的取值范围．例2点A(m＋3，m＋1)在x轴上，则A点的坐标为(　　)A．(0，－2)B．(2，0)C．(4，0)D．(0，－4)【解析】点A(m＋3，m＋1)在x轴上，根据x轴上点的坐标特征知m＋1＝0，求出m的值代入m＋3中即可．B【方法总结】坐标轴上的点的坐标特点：x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0.根据点所在坐标轴确定字母取值，进而求出点的坐标．练一练已知点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为1.如果过点P作两坐标轴的垂线，垂足分别在x轴的正半轴上和y轴的负半轴上，那么点P的坐标是(　　)A．(2,－1)B．(1,－2)C．(－2,－1)D．(1,2)解析：由点P到x轴的距离为2，可知点P的纵坐标的绝对值为2，又因为垂足在y轴的负半轴上，则纵坐标为－2；由点P到y轴的距离为1，可知点P的横坐标的绝对值为1，又因为垂足在x轴的正半轴上，则横坐标为1.故点P的坐标是(1，－2)．B本题的易错点有三处：①混淆距离与坐标之间的区别；②不知道与“点P到x轴的距离”对应的是纵坐标，与“点P到y轴的距离”对应的是横坐标；③忽略坐标的符号出现错解．若本例题只已知距离而无附加条件，则点P的坐标有四个．方法总结当堂练习1.如图，点A的坐标为()A.(-2，3)B.(2，-3)C.(-2，-3)D.(2，3)xyO123-3-2-112-1-2AA2.如图，点A的坐标为，点B的坐标为.xyO123-3-2-112-1-2AB(-2,0)(0,-2)3.在y轴上的点的横坐标是______，在x轴上的点的纵坐标是______.4.点M（-8，12）到x轴的