微分几何练习题库及参考答案已修改

《微分几何》复习题与参考答案一、填空题rrrrrr1．极限lim[(3t21)it3jk]13i8jk．t2rrrrrrr2．设f(t)(sint)itj，g(t)(t21)ietj，求lim(f(t)g(t))0．t0rrrr3．已知4r(t)dt=1,2,3，6r(t)dt=2,1,2，a2,1,1，b1,1,0，则24rrrrr4ar(t)dt+b6ar(t)dt=3,9,5.2rr2rrrr4．已知r(t)a（a为常向量），则r(t)tac．rrrr1rr5．已知r(t)ta，（a为常向量），则r(t)t2ac．26.最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___切线___和密切平面____.7.曲率恒等于零的曲线是_____直线____________.8.挠率恒等于零的曲线是_____平面曲线________.9.切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线.rrvv10.曲线rr(t)在t=2处有&3，则曲线在t=2处的曲率k=3.rrr11.若在点(u,v)处rr0，则(u,v)为曲面的_正常______点.00uv00rrrrrr12．已知f(t)(2t)j(lnt)k，g(t)(sint)i(cost)j，t0，则4drr(fg)dt26cos4．dt0r13．曲线r(t)2t,t3,et在任意点的切向量为2,3t2,et．r14．曲线r(t)acosht,asinht,at在t0点的切向量为0,a,a．r15．曲线r(t)acost,asint,bt在t0点的切向量为0,a,b．1yxeez116．设曲线C:xet,yet,zt2，当t1时的切线方程为．e12e17．设曲线xetcost,yetsint,zet，当t0时的切线方程为x1yz1.18.曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F=M=0_______________.19.u－曲线（v－曲线）的正交轨线的微分方程是_____Edu+Fdv＝0（Fdu+Gdv＝0）__.20.在欧拉公式kkcos2ksin2中，是方向(d)与u－曲线的夹n12角.21.曲面的三个基本形式,,、高斯曲率、平均曲率之间的关系是2HK0.r22．已知r(u,v)uv,uv,uv，其中ut2,vsint，则rdr2tcost,2tcost,2vtucost．dtr23．已知r(,)acoscos,acossin,asin，其中t，t2，则rdr(,)asincos2atcossin,asinsin2atcoscos,acos．dtrrrrr24．设rr(u,v)为曲面的参数 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示，如果rr0，则称参数曲面是正则的；如uvrr果r:Gr(G)是一一对应的，则称曲面是简单曲面．25．如果u曲线族和v曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为正规坐标网．r26．平面r(u,v)u,v,0的第一基本形式为du2dv2，面积微元为dudv．r27．悬链面r(u,v)coshucosv,coshusinv,u第一基本量是Ecosh2u，F0,Gcosh2u．28．曲面zaxy上坐标曲线xx，yy的交角的余弦值是00a2xy00.(1a2x2)(1a2y2)00r29．正螺面r(u,v)ucosv,usinv,bv的第一基本形式是du2(u2b2)dv2．r30．双曲抛物面r(u,v)a(uv),b(uv),2uv的第一基本形式是(a2b24v2)du22(a2b24uv)dudv(a2b24u2)dv2．r31．正螺面r(u,v)ucosv,usinv,bv的平均曲率为0．32．方向(d)du:dv是渐近方向的充要条件是k(d)0或Ldu22MdudvNdv20．n33.方向(d)du:dv和(δ)δu:δv共轭的充要条件是rrII(dr,δr)0或LduδuM(duδvdvδu)Ndvδv0．ELFM34.是主曲率的充要条件是0．FMGN35.(d)du:dv是主方向的充要条件是dv2dudvdu2EduFdvLduMdv0或EFG0．FduGdvMduNdvLMN36.根据罗德里格斯定理，如果方向(d)(du:dv)是主方向，则rrdnkdr，其中k是沿方向(d)的法曲率．nn37．旋转曲面中的极小曲面是平面或悬链面．38．测地曲率的几何意义是曲面S上的曲线在P点的测地曲率的绝对值等于(C)在P点的切平面上的正投影曲线(C*)的曲率．39．k,k,k之间的关系是k2k2k2．gngn40．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为0．41．正交网时测地线的方程为dEG=vcosusinds2EG2GEducos=．dsEdvsin=dsG42．曲线是曲面的测地线，曲线(C)上任一点在其切平面的正投影曲线是直线.二、单项选择题rr1．已知r(t)et,t,et，则r(0)为（A）．A.1,0,1；B.1,0,1；C.0,1,1；D.1,0,1.rrr2．已知r(t)r(t)，为常数，则r(t)为（C）．rrrrA.ta；B.a；C.eta；D.ea.r其中a为常向量．3.曲线(C)是一般螺线，以下命题不正确的是（D）．A．切线与固定方向成固定角；B．副法线与固定方向成固定角；C．主法线与固定方向垂直；D．副法线与固定方向垂直．4.曲面在每一点处的主方向（A）A．至少有两个；B．只有一个；C．只有两个；D．可能没有.5．球面上的大圆不可能是球面上的（D）A．测地线；B．曲率线；C．法截线；D．渐近线．.rr6.已知r(x,y)x,y,xy，求dr(1,2)为（D）．A.dx,dy,dx2dy；B.dxdy,dxdy,0；C.dx-dy,dx+dy,0；D.dx,dy,2dxdy.r7．圆柱螺线rcost,sint,t的切线与z轴（C）.A.平行；B.垂直；C.有固定夹角；D.有固定夹角4.3rrrr8．设平面曲线C:rr(s)，s为自然参数，,是曲线的基本向量．叙述错误的是（C）．rrr&rrA.为单位向量；B.；C.&k；D.r&rrk.9．直线的曲率为（B）．A.-1；B.0；C.1；D.2.rr10．关于平面曲线的曲率C:rr(s)不正确的是（D）．r&rA.k(s)(s)；B.k(s)&(s)，为(s)的旋转角；r&rC.k(s)；D.k(s)|r&(s)|.11．对于曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的（D）．A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.既不充分也不必要条件；D.充要条件.12．下列论述不正确的是（D）．rrrrrrrA.,,均为单位向量；B.；C.；D.rrP.13．对于空间曲线C，“挠率为零”是“曲线是直线”的（B）．A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.既不充分也不必要条件；D.充要条件.t14．xa(tsint),ya(1cost),z4asin在点t的切线与z轴关系为22（D）．A.垂直；B.平行；C.成的角；D.成的角.34x2y2z215．椭球面1的参数表示为（C）．a2b2c2A.x,y,zcoscos,cossin,sin；B.x,y,zacoscos,bcossin,sin；C.x,y,zacoscos,bcossin,csin；D.x,y,zacoscos,bsincos,csin2.r16．曲面r(u,v)2uv,u2v2,u3v3在点M(3,5,7)的切平面方程为（B）．A.21x3y5z200；B.18x3y4z410；C.7x5y6z180；D.18x5y3z160.r17．球面r(u,v)Rcosucosv,Rcosusinv,Rsinu的第一基本形式为（D）．A.R2(du2sin2udv2)；B.R2(du2cosh2udv2)；C.R2(du2sinh2udv2)；D.R2(du2cos2udv2).r18．正圆柱面r(u,v)Rcosv,Rsinv,u的第一基本形式为（C）．A.du2dv2；B.du2dv2；Cdu2R2dv2；D.du2R2dv2.19．在第一基本形式为I(du,dv)du2sinh2udv2的曲面上，方程为uv(vvv)的曲线段的弧长为（B）．12A．coshvcoshv；B．sinhvsinhv；2121C．coshvcoshv；D．sinhvsinhv．121220．设M为正则曲面，则M的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（B）．A．E0；B．F0；C．G0；D．M0．21．高斯曲率为零的的曲面称为（A）．A．极小曲面；B．球面；C．常高斯曲率曲面；D．平面．22．曲面上直线（如果存在）的测地曲率等于（A）．A．0；B．1；C．2；D．3．23．当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为（B）．1lnE1lnEA．；B．；2Eu2Gv1lnG1lnEC．；D．．2Ev2Gu24．如果测地线同时为渐近线，则它必为（A）．A．直线；B．平面曲线；C．抛物线；D．圆柱螺线．三、判断题（正确打√，错误打×）rrrr1.向量函数rr(t)具有固定长度，则r(t)r(t).√rrrr2.向量函数rr(t)具有固定方向，则r(t)Pr(t).√rr3.向量函数r(t)关于t的旋转速度等于其微商的模r(t).×4.曲线的曲率、挠率都为常数，则曲线是圆柱螺线.×5.若曲线的曲率、挠率都为非零常数，则曲线是圆柱螺线.√r6.圆柱面r{Rcos,Rsin,z},z线是渐近线.√7.两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例.×8.两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例.√9.等距变换一定是保角变换.√10.保角变换一定是等距变换.×11.空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定.×12.在光滑曲线的正常点处，切线存在但不唯一．×13.若曲线的所有切线都经过定点，则该曲线一定是直线．√14.在曲面的非脐点处，有且仅有两个主方向．√15.高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量．×16.曲面上的直线一定是测地线．√17.微分方程A(u,v)duB(u,v)dv0表示曲面上曲线族.×18.二阶微分方程A(u,v)du22B(u,v)dudvC(u,v)dv20总表示曲面上两族曲线.×19.坐标曲线网是正交网的充要条件是F0，这里F是第一基本量.√20.高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面.√21.连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.×22.球面上的圆一定是测地线.×23.球面上经线一定是测地线.√24.测地曲率是曲面的内蕴量.√四、计算题1．求旋轮线xa(tsint),ya(1cost)的0t2一段的弧长．rr解旋轮线r(t)a(tsint),a(1cost)的切向量为r(t)aacost,asint，则在2r20t2一段的弧长为：sr(t)dt2a1costdt8a．002．求曲线xtsint,ytcost,ztet在原点的切向量、主法向量、副法向量．r解由题意知r(t)sinttcost,costtsint,ettet，rr(t)2costtsint,2sinttcost,2ettet，rr在原点，有r(0)(0,1,1),r(0)(2,0,2)，rrrrrrrrrrrr(rr)r(rr)rrrr又r,rrr，rr，rrrrrrr22r666r333所以有(0,,),(,,),(,,).22366333r3．圆柱螺线为r(t)acost,asint,bt，rrr①求基本向量,,；②求曲率k和挠率.rr解①r(t)asint,acost,b，r(t)acost,asint,0，rrrrrrrrrrrr(rr)r(rr)rrrr又由公式r,rrr,rrrrrrrrrrrrrrr(r,r,r)②由一般参数的曲率公式k(t)r及挠率公式(t)rrr3rr2ab有k，.a2b2a2b2r4．求正螺面r(u,v)ucosv,usinv,bv的切平面和法线方程．rr解rcosv,sinv,0，rusinv,ucosv,b，切平面方程为uvxucosvyusinvzbvcosvsinv00，usinvucosvbxucosvyusinvzbv法线方程为．bsinvbcosvur5．求球面r(,)acoscos,acossin,asin上任一点处的切平面与法线方程．rr解rasincos,asinsin,acos，racossin,acoscos,0，球面上任意点的切平面方程为即coscosxcossinysinza0，法线方程为xacoscosyacossinzasin即．coscoscossinsin6．求圆柱螺线xacost,yasint,zt在点(a,0,0)处的密切平面.rr解r(t){asint,acost,1},r(t){acost,asint,0},所以曲线在原点的密切平面的方程为即(sint)x(cost)yazasint0.7．求旋转抛物面za(x2y2)的第一基本形式．rrr解参数表示为r(x,y)x,y,a(x2y2)，r1,0,2ax，r0,1,2ay，xyrrrrrrErr14a2x2，Frr4a2xy，Grr14a2y2，xxxyyyI(dx,dy)(14a2x2)dx28a2xydxdy(14a2y2)dy2．r8．求正螺面r(u,v)ucosv,usinv,bv的第一基本形式．rr解rcosv,sinv,0，rusinv,ucosv,b，uvrrrrrrErr1，Frr0，Grru2b2，uuuvvvI(du,dv)du2(u2b2)dv2．r9．计算正螺面r(u,v)ucosv,usinv,bv的第一、第二基本量．rr解rcosv,sinv,0，rusinv,ucosv,b，rurvrr0,0,0，rsinv,cosv,0，rucosv,usinv,0，uuuvvvrrrijkrrrrcosvsinv0bsinv,bcosv,u，uvusinvucosvbrrrrrbsinv,bcosv,unrurv，rrb2u2uvrrrrrrErr1，Frr0，Grru2b2，uuuvvvrrrrbrrLrn0，Mrn，Nrn0．uuuvb2u2vv10．计算抛物面zx2y2的高斯曲率和平均曲率．r解设抛物面的参数表示为r(x,y)x,y,x2y2，则rrrrrrr1,0,2x，r0,1,2y，r0,0,2，rr0,0,0，r0，0，2，xyxxxyyxyyrrrijkrrrr102x2x,2y,1，xy012yrrrrr2x,2y,1nrxry，|rr|4x24y21xyrrrrrrErr14x2，Frr4xy，Grr14y2，xxxyyyrr2rrrr2Lrn，Mrn0，Nrn，xxxyyy4x24y214x24y2140LNM24x24y214K，EGF2(14x2)(14y2)(4xy)2(4x24y21)21GL2FMEN4x24y22H．2EGF23(4x24y21)2r11.计算正螺面r(u,v)ucosv,usinv,av的高斯曲率.解直接计算知aE1，F0，Gu2a2，L0，M，N0，u2a2LNM2a2K．EGF2(u2a2)212.求曲面zxy2的渐近线.zz2z2z解zxy2，则py2，q2xy，r0，s2y，xyx2xy2zt2xy22y2x所以，L=0，M，N1y44x2y21y44x2y24y2x渐近线微分方程为dxdydy20，1y44x2y21y44x2y2化简得dy(2ydxxdy)0，dy0或2ydxxdy0渐近线为，2y=C1xy=C2r13.求螺旋面rucosv,usinv,bv上的曲率线.rr解r{cosv,sinv,0},r{usinv,ucosv,b}uvrrrr=0,0,0,r=sinv,cosv,0,rucosv,usinv,0，uuuvvvbL0,M,N0u2b2曲率线的微分方程为:dv2dudvdu2110u2b2=0或dvduu2b2b00u2b2积分得两族曲率线方程:r14.求马鞍面r{u,v,u2v2}在原点处沿任意方向的法曲率.rr解r{1,0,2u},r{0,1,2v}，uvrrrrr2u,2v,1nrurv，rr4u24v21uv22Ⅱdu2dv2，14u24v214u24v22（du2dv2)Ⅱk==14u24v2.nⅠ(14u2)du28uvdudv(14v2)dv215.求抛物面za(x2y2)在(0,0)点的主曲率.r解曲面方程即r{x,y,a(x2y2)},rrrr{0,0,2a},r{0,0,0},r{0,0,2a}，L(0,0)=2a,M(0,0)=0,N(0,0)=2a,xxxyyy2ak0代入主曲率公式，N0，所以两主曲率分别为kk2a.02ak12Nr16.求曲面r{u,v,u2v2}在点(1,1)的主方向.rr解r=1,0,2u,r=01,2,v,E14u2,F4uv,G14v2uv2L(1,1)N(1,1),M(1,1)0,代入主方向方程，得(dudv)(dudv)0,3即在点(1,1)主方向du:dv1:1;u:v1:1.r17.求曲面r(u,v){u,v,u2v3}上的椭圆点，双曲点和抛物点．rrr解由r{u,v,u2v3},得r=1,0,2u,r=0,1,3v2,uv①v>0时，是椭圆点；②v<0时，是双曲点；③v=0时，是抛物点.r18.求曲面r(u,v){v3,u2,uv}上的抛物点的轨迹方程．rrr解由r(u,v){v3,u2,uv},得r=0,2u,1,r=3v2,0,1,uv72uv3令LNM2=0.得u=0或v=0EG-F2rr所以抛物点的轨迹方程为r=v3,0,v或r=0,u2,u.r19.求圆柱螺线r(t){acost,asint,bt}自然参数表示.rrr解由r(t){acost,asint,bt},得r{-asint,acost,b}，r(t)a2+b2,ts弧长s(t)a2+b2dt=a2+b2t,t,0a2+b2rsss曲线的自然参数表示为r(s){acos,asin,b}.a2+b2a2+b2a2+b220.求挠曲线的主法线曲面的腰曲线.rrrrr解设挠曲线为a=a(s),则主法线曲面为：r=a(s)+v(s),rrrrrr&r&rrr则a=a=,b==-k,agb=k,b2=k2+2,rrrragbrrkr所以腰曲线是r=a(s)-r(s)=a(s)+(s)b2k2+221．求位于正螺面xucosv,yusinv,zav上的圆柱螺线xucosv,yusinv,zav（u=常数）的测地曲率．000解因为正螺面的第一基本形式为Ιdu2(u2a2)dv2，螺旋线是正螺面的v-曲d线uu，由得0．由正交网的坐标曲线的测地曲率得02dsGuku0．g2GEu2a20五、证明题rrr&r&r&&r&&r&&1.设曲线：rr(s),证明：⑴k-;⑵(r,r,r)=k2.rrrr证明⑴由伏雷内公式，得&=k，&=-,rrrr两式作点积，得&&=-k=-k,rrrrrrrr&rrrrrr⑵r=&，&r=&&=k,&r=k&&&+k=k&+k(-k+)=-k2+k&+krr&r&&r&&&&r&&&2.设曲线：rr(s),证明：(r,r,r)=k3(k&-k).证明由伏雷内公式，得rrrrr3.曲线rr(s)是一般螺线，证明:rRds也是一般螺线（R是曲线1的曲率半径）．rrr证明rRds，1两边关于s微商，得rrP，由于Γ是一般螺线，所以也是一般螺线.1r4.证明曲线r(t){asin(t)dt,acos(t)dt,bt}(a,b是常数）是一般螺线．r证明r(t){asin(t),acos(t),b},ka.b5．曲面S上一条曲线(C),P是曲线(C)上的正常点，k,k,k分别是曲线(C)在点Png的曲率、法曲率与测地曲率，证明k2=k2+k2．ngrrrrrrrrrr证明测地曲率kkk(n)k(,,n)knksin.(是主法向量grr与法向量n的夹角)rr法曲率kknkcos，nr6.证明曲线retcost,etsint,0的切向量与曲线的位置向量成定角．r证明对曲线上任意一点，曲线的位置向量为retcost,etsint,0，该点切线r的切向量为：ret(costsint),et(sintcost),0，则有：rrrre2t2cosrr，故夹角为.rr2etet24由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角．rr7．证明：若r和r对一切t线性相关，则曲线是直线．rr证明若r和r对一切t线性相关，则存在不同时为0的f(t),g(t)使rrrf(t)r(t)g(t)r(t)0，rrr则t,r(t)r(t)0,rrrr又k(t)r，故t有k(t)0.于是该曲线是直线．r38．证明圆柱螺线xacost,yasint,zbt的主法线和z轴垂直相交．证明由题意有rrr(t)asint,acost,b,r(t)acost,asint,0，rrrrrrr(rr)r(rr)rr由rrr知cost,sint,0.rrrrrrrr另一方面z轴的方向向量为a0,0,1，而a0，故a，即主法线与z轴垂直．9．证明曲线xasin2t,yasintcost,zacost的所有法平面皆通过坐标原点．r证明由题意可得r(t)asin2t,acos2t,asint，则任意点的法平面为asin2t(xasin2t)acos2t(yasintcost)asint(zacost)0将点0000000（0,0,0）代入上述方程有左边asin2t(0asin2t)acos2t(0asintcost)asint(0acost)0右0000000边，故结论成立．10．证明曲线x13t+2t2,y22t5t2,z1t2为平面曲线，并求出它所在的平面方程.rr证明r13t+2t2,22t5t2,1t2，r3+4t,210t,2t，rrrrrr4,10,2，r0,0,0(r,r,r)0,0，所以曲线是平面曲线.它所在的平面就是密切平面rrr(0)3,2,0，r(0)4,10,2x－1y－2z－1密切平面方程为3200，4102化简得其所在的平面方程是2x+3y+19z–27＝0.11.证明如果曲线的所有切线都经过一个定点，那么它是直线.rrv证明设曲线方程rr(s)，定点的向径为R，则rr0rrr两边求微商，得&(s)(s)&&(s)(s)krrr&&rr1＝0(1(s))(s)k0由于,线性无关，∴k＝0∴k＝0曲线是直线.12.证明如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，那么它是平面曲线.rr证明取定点为坐标原点，曲线的方程为rr(t)，rrrr则曲面在任一点的密切平面方程为(r(t),r(t),r(t))0因任一点的密切平面过定点，所以rrrrrrr(or(t),r(t),r(t))0,即(r(t),r(t),r(t))0rrrr所以rr(t)平行于固定平面，所以rr(t)是平面曲线.13.若一条曲线的所有法平面包含非零常向量e，证明曲线是直线或平面曲线.rr证明根据已知条件，得e0.............①，rrrr①两边求导，得&e0，由伏雷内公式得ke0，ⅰ)k0，则曲线是直线；rrrrⅱ)e0又有①可知‖err因e是常向量，所以是常向量，r于是|||&|0,所以0，所以曲线为平面曲线.14.设在两条挠曲线,的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应的点的副法线互相平行，证明它们在对应点的切线和主法线也分别平行.rrrgrgds证明＝,＝2１２１２ds1vvdsrrrr由伏雷内公式得＝2=进而１1２２ds1212115.证明挠曲线（0）的主法线曲面是不可展曲面.rr证明设挠曲线为rr(s)，则挠率0，rrrrrrr其主法线曲面的方程是：r(s)t(s)取ar(s),b(s)，则rrrrgrra(s),b(s)k＋所以,rrrrrrrrrrrrr(a,b,b)((s),(s),k＋)((s),(s),k)＋((s),(s),)＝0所以挠曲线的主法线曲面不是可展曲面.16.证明挠曲线（0）的副法线曲面是不可展曲面.rr证明设挠曲线为rr(s)，则挠率0，rrr其副法线曲面的方程是：r(s)t(s)rrrrrrrrgr取ar(s),b(s)，则a(s),b(s)rrrrrr所以,(a,b,b)((s),(s),)0，所以挠曲线的副法线曲面不是可展曲面.17.证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.rrrrr证明设曲线r＝r(s),则曲线的主法线曲面为r=r(s)+v(s)rrrrrrr（1-vk）-vrrn=rsrv=,沿曲线（v＝0）n=，rr（1-vk）2（v）2sv所以主法向量与曲面的法向量夹角,kkcos0,2n所以曲线是它的主法线曲面上的渐近线.r18.证明二次锥面r{aucos,busin,cu}沿每一条直母线只有一个切平面.rrr证明r{aucos,busin,cu}u{acos,bsin,c}0u()为直纹面rrr(0,(),()）0,所以，曲面可展，即沿每一条直母线只有一个切平面.也可以用高斯曲率K=0证明.19.给出曲面上一条曲率线，设上每一处的副法向量和曲面在该点处的法向量成定角，求证是一平面曲线.rr证明设副法向量和曲面在该点处的法向量成定角，则ｎg＝cos00rrrr两边求微商，得ｎgg＋ｎgg＝0rgrrrg由于曲线是曲率线，所以ｎP，进而ｎg＝0，由伏雷内公式得rr－ｎg＝0⑴＝0时，是一平面曲线vvvv⑵ng＝0，即n，kkcos=0，nvvvv又因为是曲率线，所以dnkdr0即n是常向量，所以是平面曲线.n20．求证正螺面上的坐标曲线（即u曲线族v曲线族）互相垂直．r证明设正螺面的参数表示是r(u,v)ucosv,usinv,bv，则rrrcosv,sinv,0，rusinv,ucosv,b，urrvrrcosv,sinv,0usinv,ucosv,b0，故正螺面上的坐标曲线互相uv垂直．21.证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数.证明由欧拉公式kkcos2ksin2n12所以kk*kk＝常数.nn1222.如果曲面上非直线的测地线均为平面曲线，则必是曲率线.rr证明因为曲线是非直线的测地线，所以沿此曲线有n,rrr从而n&(),又因为曲线是平面曲线，所以0,rr进一步n&.由罗德里格斯定理可知曲线的切线方向为主方向，故所给曲线为曲率线.23.证明在曲面zf(x)f(y)上曲线族x=常数，y=常数构成共轭网.r证明曲面的向量表示为r(x,y)x,y,f(x)f(y),x=常数,y=常数是两族坐标曲线.rrr{1,0,f},r{0,1,g}.xyrrrrr因为Mrxy0,所以坐标曲线构成共轭网，xyEGF2即曲线族x=常数,y=常数构成共轭网.24．证明马鞍面zxy上所有点都是双曲点．r证明参数表示为r(x,y)x,y,xy，则rrrrrr1,0,y，r0,1,x，r0,0,0，r0,0,1，r0,0,0，xyrrxxxyyyrrrrry,x,1rry,x,1，nrxry，xy|rr|x2y21xyrrrr1rrLrn0，Mrn，Nrn0，xxyyxyx2y2111LNM2000，x2y21x2y21故马鞍面zxy上所有点都是双曲点．II(du,dv)25．如果曲面上某点的第一与第二基本形式成比例，即与方向无关，则I(du,dv)称该点是曲面的脐点；如果曲面上所有点都是脐点，则称曲面是全脐的．试证球面是全脐的．证明设球面的参数表示为rr(u,v)Rcosvcosu,Rcosvsinu,Rsinv，则rrrRcosvsinu,Rcosvcosu,0，rRsinvcosu,Rsinvsinu,Rcosv，ruvrrrRcosvcosu,Rcosvsinu,0，rrRsinvsinu,Rsinvcosu,0，ruuuvvurRcosvcosu,Rcosvsinu,Rsinv，vvrrrrrrErrR2cos2v，Frr0，GrrR2，ururruvrrrvvrrr(r,r,r)(r,r,r)(r,r,r)LuvuuRcos2v，Muvuv0，NuvvvR，EGF2EGF2EGF21(L,M,N)(E,F,G)，故球面是全脐的．R26．证明平面是全脐的．r证明设平面的参数表示为r(x,y)x,y,0，则rrrrrr1,0,0，r0,1,0，r0,0,0，r0,0,0，r0,0,0，xyxxxyyyrrrrrrErr1，Frr0，Grr1，xxxyyyrrrrrrLrn0，Mrn0，Nrn0xxxyyy(L,M,N)0(E,F,G)，故平面是全脐的．27．证明曲面xyz3的所有点为抛物点．r证明曲面的参数表示为r(x,y)x,y,(xy)1/3，则rrr1,0,1(xy)2/3，r0,1,1(xy)2/3，x3y3rrrr0,0,2(xy)5/3，r0,0,2(xy)5/3，r0,0,2(xy)5/3，xx3xy9yy9rrrrrrrrr1(xy)2/3,1(xy)2/3,1，nrxry，xy33|rr|xyrrrrrrLrn0,0,2(xy)5/3n，Mrn0,0,2(xy)5/3n，xx9xy9rrrNrn0,0,2(xy)5/3nLNM20，yy9曲面xyz3的所有点为抛物点．r28．求证正螺面r(u,v)ucosv,usinv,av是极小曲面．rr证明rcosv,sinv,0，rusinv,ucosv,a，rurvrr0,0,0，rsinv,cosv,0，rucosv,usinv,0，uuuvvvrrrijkrrrrcosvsinv0asinv,acosv,u，uvusinvucosvarrrrrasinv,acosv,unrurv，|rr|a2u2rurvrrrrErr1，Frr0，Grra2u2，uuuvvvrrrrarrLrn0，Mrn，Nrn0，uuuva2u2vva1020()(a2u2)01EN2FMGL122Hau0,故正螺面是极2EGF221(a2u2)02小曲面．r29.圆柱面r{acosu,asinu,v}上的纬线是测地线．r证明由r{acosu,asinu,v},dEGEa2,F0,G1.kvcosusin，纬线是u-线，此时gds2EG2GE0或，k0.所以，纬线是测地线．g30．证明极小曲面上的点都是双曲点或平点．kk证明QH120，kk，Kkkk20212122当K0时，kk0，极小曲面的点都是平点；12当K0时，极小曲面的点都是双曲点．31.证明(1)如果测地线同时是渐近线，则它是直线；(2)如果测地线同时是曲率线，则它一定是平面曲线.证明(1)因为曲线是测地线，所以k0，曲线又是渐近线，所以，k0，gn而k2k2k2，所以k=0，故所给曲线是直线.ng(2)证法1rrr&r因曲线是测地线，所以沿此曲线有nP，所以Pdn，rrr又曲线是曲率线，所以dnPdrP，rrr所以(k)P，所以0，故所给曲线是平面曲线.证法2rvrv因所给曲线既是测地线又为曲率线，所以沿此曲线有nP,n&P,rrrrrrrrrrrrrrr而，所以n,从而&(&nn&)(kn0)0，rr又&，所以0，故所给曲线是平面曲线.