第二章§33.1一、选择题1．双曲线3x2－4y2＝－12的焦点坐标为()A．(±5,0)B．(0，±5)C．(±7，0)D．(0，±7)[答案]Dy2x2[解析]双曲线3x2－4y2＝－12化为
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方程为－＝1，∴a2＝3，b2＝4，c2＝a2＋b234＝7，∴c＝7，又∵焦点在y轴上，故选D.x2y22．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是34()x2x2A.－y2＝1B．y2－＝133x2y2y2x2C.－＝1D.－＝13434[答案]B[解析]由题意知双曲线的焦点在y轴上，且a＝1，c＝2，x2∴b2＝3，双曲线方程为y2－＝1.3x2y23．若方程＋＝1
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示双曲线，则实数k的取值范围是()k－25－kA．2
5C．k<2或k>5D．以上答案都不对[答案]C[解析]由题意得(k－2)(5－k)<0，∴(k－2)(k－5)>0，∴k>5或k<2.4．已知点F(－4,0)和F(4,0)，曲线C上的动点P到F、F距离之差为6，则曲线C1212的方程为()x2y2A.－＝197x2y2B.－＝1(y>0)97x2y2x2y2C.－＝1或－＝19779x2y2D.－＝1(x>0)97[答案]D[解析]由双曲线的定义知，点P的轨迹是以F、F为焦点，实轴长为6的双曲线的12x2y2右支，其方程为：－＝1(x>0)97x2y2x2y25．(2014·揭阳一中高二期中)已知椭圆＋＝1(a>0)与双曲线－＝1有相同的焦点，a2943则a的值为()A.2B.10C．4D．10[答案]C[解析]由条件知a2－9＝4＋3，∴a2＝16，∵a>0，∴a＝4.x2→→6．设F，F是双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且PF·PF＝0，则|PF|·|PF|1241212的值等于()A．2B．22C．4D．8[答案]A→→→→[解析]∵PF·PF＝0，∴PF⊥PF.1212又||PF|－|PF||＝4，|PF|2＋|PF|2＝|FF|2＝20，121212∴(|PF|－|PF|)2＝|PF|2＋|PF|2－2|PF|·|PF|＝20－2|PF|·|PF|＝16，12121212∴|PF|·|PF|＝2.12二、填空题x27．双曲线－y2＝1的一个焦点为F(3,0)，则m＝________.m[答案]8[解析]由题意，得a2＝m，b2＝1，∴c2＝a2＋b2＝m＋1，又c＝3，∴m＋1＝9，∴m＝8.8．双曲线的焦点在x轴上，且经过点M(3,2)、N(－2，－1)，则双曲线标准方程是________．x2y2[答案]－＝17735x2y2[解析]设双曲线方程为：－＝1(a>0，b>0)，a2b2又点M(3,2)、N(－2，－1)在双曲线上，947－＝1a2＝a2b23∴，∴.417－＝1b2＝a2b25y2→→9．已知双曲线x2－＝1的焦点为F、F，点M在双曲线上且MF·MF＝0，则点M21212到x轴的距离为________．23[答案]3[解析]由条件知c＝3，∴|FF|＝23，12→→1∵MF·MF＝0，∴|MO|＝|FF|＝3，12212x2＋y2＝300设M(x，y)，则y2，00x2－0＝102423∴y2＝，∴y＝±.030323故所求距离为.3三、解答题x2y210．若F、F是双曲线－＝1的两个焦点，P在双曲线上，且|PF|·|PF|＝32，求∠1291612FPF的大小．12[答案]90°[解析]由双曲线的对称性，可设点P在第一象限，由双曲线的方程，知a＝3，b＝4，∴c＝5.由双曲线的定义，得|PF|－|PF|＝2a＝6，12上式两边平方，得|PF|2＋|PF|2＝36＋2|PF|·|PF|＝36＋64＝100，1212由余弦定理，得|PF|2＋|PF|2－|FF|2cos∠FPF＝1212122|PF|·|PF|12100－100＝＝0.2|PF|·|PF|12∴∠FPF＝90°.12一、选择题11．已知双曲线中心在原点，一个焦点为F(－5，0)，点P在该双曲线上，线段PF11的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是()x2y2A.－y2＝1B．x2－＝144x2y2x2y2C.－＝1D.－＝12332[答案]Bx2y2516[解析]由条件知P(5，4)在双曲线－＝1上，∴－＝1，a2b2a2b2a2＝1又a2＋b2＝5，∴，故选B.b2＝4y212．(2014·海南省文昌市检测)设F、F是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上1224的一点，且3|PF|＝4|PF|，则△PFF的面积等于()1212A．42B．83C．24D．48[答案]C[解析]由3|PF|＝4|PF|知|PF|>|PF|，由双曲线的定义知|PF|－|PF|＝2，∴|PF|＝8，1212121|PF|＝6，又c2＝a2＋b2＝1＋24＝25，∴c＝5，∴|FF|＝10，2121∴△PFF为直角三角形，S△PFF＝|PF||PF|＝24.1212212x2y2x2y213．(2014·许昌、新乡、平顶山调研)若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(a>0，mnabb>0)有相同的焦点F、F，P是两曲线的一个交点，则|PF|·|PF|的值为()1212A．m2－a2B.m－a1C.(m－a)D．m－a2[答案]D[解析]设点P为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF|＋|PF|＝2m，12由双曲线定义得|PF|－|PF|＝2a.12∴|PF|＝m＋a，|PF|＝m－a，12∴|PF|·|PF|＝m－a.12二、填空题x2y214．设点P是双曲线－＝1上任意一点，F、F分别是左、右焦点，若|PF|＝8，3628121则|PF|＝________.2[答案]20[解析]由题意知，a＝6，c＝a2＋b2＝36＋28＝8，∵|PF|＝80，b>0)，a2b2x2y2又点A(x4)在椭圆＋＝1上，∴x2＝15，0,27360y2x21615又点A在双曲线－＝1上，∴－＝1，a2b2a2b2又a2＋b2＝c2＝9，∴a2＝4，b2＝5，y2x2所求的双曲线方程为：－＝1.4517．当0°≤α≤180°时，方程为x2cosα＋y2sinα＝1表示的曲线怎样变化？[答案]α＝0°或90°表示直线0°<α<45°或45°<α<90°表示椭圆α＝45°表示圆90°<α<180°表示双曲线α＝180°不表示任何曲线[解析](1)当α＝0°时，方程x2＝1，它表示两条平行直线x＝1和x＝－1.x2y2(2)当0°<<90°时，方程为＋＝1.α11cosαsinα11①当0°<α<45°时，0<<，它表示焦点在y轴上的椭圆．cosαsinα②当α＝45°时，它表示圆x2＋y2＝2.11③当45°<α<90°时，>>0，它表示焦点在x轴上的椭圆．cosαsinα(3)当α＝90°时，方程为y2＝1，它表示两条平行直线y＝1和y＝－1.y2x2(4)当90°<<180°时，方程为－＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线．α11sinα－cosα(5)当α＝180°时，方程为x2＝－1，它不表示任何曲线．
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