大学数学实验定稿版

IBMsystemofficeroom【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】大学数学实验精编WORD版大学数学实验项目一矩阵运算与方程组求解实验1行列式与矩阵实验目的掌握矩阵的输入方法.掌握利用Mathematica(4.0以上版本)对矩阵进行转置、加、减、数乘、相乘、乘方等运算,并能求矩阵的逆矩阵和计算方阵的行列式.基本命令在Mathematica中,向量和矩阵是以表的形式给出的.1.表在形式上是用花括号括起来的若干表达式,表达式之间用逗号隔开.如输入{2,4,8,16}{x,x+1,y,Sqrt[2]}则输入了两个向量.2.表的生成函数最简单的数值表生成函数Range,其命令格式如下:Range[正整数n]—生成表{1,2,3,4,…,n};Range[m,n]—生成表{m,…,n};Range[m,n,dx]—生成表{m,…,n},步长为dx.(2)通用表的生成函数Table.例如,输入命令Table[n^3,{n,1,20,2}]则输出{1,27,125,343,729,1331,2197,3375,4913,6859}输入Table[x*y,{x,3},{y,3}]则输出{{1,2,3},{2,4,6},{3,6,9}}3.表作为向量和矩阵一层表在线性代数中表示向量,二层表表示矩阵.例如,矩阵可以用数表{{2,3},{4,5}}表示.输入A={{2,3},{4,5}}则输出{{2,3},{4,5}}命令MatrixForm[A]把矩阵A显示成通常的矩阵形式.例如,输入命令:MatrixForm[A]则输出但要注意,一般地,MatrixForm[A]代表的矩阵A不能参与运算.输入B={1,3,5,7}输出为{1,3,5,7}输入MatrixForm[B]输出为虽然从这个形式看向量的矩阵形式是列向量,但实质上Mathematica不区分行向量与列向量.或者说在运算时按照需要,Mathematica自动地把向量当作行向量或列向量.下面是一个生成抽象矩阵的例子.输入Table[a[i,j],{i,4},{j,3}]MatrixForm[%]则输出注:这个矩阵也可以用命令Array生成,如输入Array[a,{4,3}]//MatrixForm则输出与上一命令相同.4.命令IdentityMatrix[n]生成n阶单位矩阵.例如,输入IdentityMatrix[5]则输出一个5阶单位矩阵(输出略).5.命令DiagonalMatrix[…]生成n阶对角矩阵.例如,输入DiagonalMatrix[{b[1],b[2],b[3]}]则输出{{b[1],0,0},{0,b[2],0},{0,0,b[3]}}它是一个以b[1],b[2],b[3]为主对角线元素的3阶对角矩阵.6.矩阵的线性运算:A+B表示矩阵A与B的加法;k*A表示数k与矩阵A的乘法;A.B或Dot[A,B]表示矩阵A与矩阵B的乘法.7.求矩阵A的转置的命令:Transpose[A].8.求方阵A的n次幂的命令:MatrixPower[A,n].9.求方阵A的逆的命令:Inverse[A].10.求向量a与b的内积的命令:Dot[a,b].实验举例矩阵A的转置函数Transpose[A]例1.1求矩阵的转置.输入ma={{1,3,5,1},{7,4,6,1},{2,2,3,4}};Transpose[ma]//MatrixForm输出为如果输入Transpose[{1,2,3}]输出中提示命令有错误.由此可见,向量不区分行向量或列向量.矩阵线性运算例1.2设求输入A={{3,4,5},{4,2,6}};B={{4,2,7},{1,9,2}};A+B//MatrixForm4B-2A//MatrixForm输出为如果矩阵A的行数等于矩阵B的列数,则可进行求AB的运算.系统中乘法运算符为“.”,即用A.B求A与B的乘积,也可以用命令Dot[A,B]实现.对方阵A,可用MatrixPower[A,n]求其n次幂.例1.3设求矩阵ma与mb的乘积.输入Clear[ma,mb];ma={{3,4,5,2},{4,2,6,3}};mb={{4,2,7},{1,9,2},{0,3,5},{8,4,1}};ma.mb//MatrixForm输出为矩阵的乘法运算例1.4设求AB与并求输入Clear[A,B];A={{4,2,7},{1,9,2},{0,3,5}};B={1,0,1};A.B输出为{11,3,5}这是列向量B右乘矩阵A的结果.如果输入B.A输出为{4,5,12}这是行向量B左乘矩阵A的结果这里不需要先求B的转置.求方阵A的三次方,输入MatrixPower[A,3]//MatrixForm输出为例1.5设求及输入A={{1,1,1},{1,1,1},{1,2,3}}MatrixForm[A]B={{3,2,1},{0,4,1},{1,2,4}}MatrixForm[B]3A.B2A//MatrixFormTranspose[A].B//MatrixForm则输出及的运算结果分别为求方阵的逆例1.6设求输入Clear[ma]ma={{2,1,3,2},{5,2,3,3},{0,1,4,6},{3,2,1,5}};Inverse[ma]//MatrixForm则输出注:如果输入Inverse[ma//MatrixForm]则得不到所要的结果,即求矩阵的逆时必须输入矩阵的数表形式例1.7求矩阵的逆矩阵.解A={{7,12,8,24},{5,34,6,-8},{32,4,30,24},{-26,9,27,0}}MatrixForm[A]Inverse[A]//MatrixForm例1.8设求输入Clear[A,B];A={{3,0,4,4},{2,1,3,3},{1,5,3,4},{1,2,1,5}};B={{0,3,2},{7,1,3},{1,3,3},{1,2,2}};Inverse[ma].B//MatrixForm输出为对于线性方程组如果A是可逆矩阵,X,b是列向量,则其解向量为例1.9解方程组输入Clear[A,b];A={{3,2,1},{1,-1,3},{2,4,-4}};b={7,6,-2};Inverse[A].b输出为{1,1,2}求方阵的行列式例1.10求行列式输入Clear[A];A={{3,1,-1,2},{-5,1,3,-4},{2,0,1,-1},{1,-5,3,-3}};Det[A]输出为40例1.11求输入Clear[A,a,b,c,d];A={{a^2+1/a^2,a,1/a,1},{b^2+1/b^2,b,1/b,1},{c^2+1/c^2,c,1/c,1},{d^2+1/d^2,d,1/d,1}};Det[A]//Simplify则输出例1.12计算范德蒙行列式输入Clear[x];Van=Table[x[j]^k,{k,0,4},{j,1,5}]//MatrixForm输出为再输入Det[van]则输出结果比较复杂(项很多)若改为输入Det[van]//Simplify或Factor[Det[van]]则有输出(x[1]-x[2])(x[1]-x[3])(x[2]-x[3])(x[1]-x[4])(x[2]-x[4])(x[3]-x[4])(x[1]-x[5])(x[2]-x[5])(x[3]-x[5])(x[4]-x[5])例1.13设矩阵求输入A={{3,7,2,6,4},{7,9,4,2,0},{11,5,6,9,3},{2,7,8,3,7},{5,7,9,0,6}}MatrixForm[A]Det[A]Tr[A]MatrixPower[A,3]//MatrixForm则输出分别为115923向量的内积向量内积的运算仍用“.”表示,也可以用命令Dot实现例1.14求向量与的内积.输入u={1,2,3};v={1,-1,0};u.v输出为-1或者输入Dot[u,v]所得结果相同.实验习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 1.设求及2.设求一般地(k是正整数).3.求的逆.4.设且求5.利用逆矩阵解线性方程组实验2矩阵的秩与向量组的极大无关组实验目的学习利用Mathematica求矩阵的秩,作矩阵的初等行变换;求向量组的秩与极大无关组.基本命令1.求矩阵M的所有可能的k阶子式组成的矩阵的命令:Minors[M,k].2.把矩阵A化作行最简形的命令:RowReduce[A].3.把数表1,数表2,…,合并成一个数表的命令:Join[list1,list2,…].例如输入Join[{{1,0,1},{3,2,1}},{{1,5},{4,6}}]则输出{{1,0,1},{3,2,1},{1,5},{4,6}}实验举例求矩阵的秩例2.1设求矩阵M的秩.输入Clear[M];M={{3,2,1,3,2},{2,1,3,1,3},{7,0,5,1,8}};Minors[M,2]则输出{{7,11,9,5,5,1,8,8,9,11},{14,22,18,10,10,2,16,16,18,22},{7,11,9,5,5,1,8,8,9,11}}可见矩阵M有不为0的二阶子式.再输入Minors[M,3]则输出{{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}}可见矩阵M的三阶子式都为0.所以例2.2已知矩阵的秩等于2,求常数t的值.左上角的二阶子式不等于0.三阶子式应该都等于0.输入Clear[M];M={{3,2,-1,-3},{2,-1,3,1},{7,0,t,-1}};Minors[M,3]输出为{{35-7t,45-9t,-5+t}}当时,所有的三阶子式都等于0.此时矩阵的秩等于2.例2.3求矩阵的行最简形及其秩.输入A={{6,1,1,7},{4,0,4,1},{1,2,9,0},{1,3,16,1},{2,4,22,3}}MatrixForm[A]RowReduce[A]//MatrixForm则输出矩阵A的行最简形根据矩阵的行最简形,便得矩阵的秩为3.矩阵的初等行变换命令RowfReduce[A]把矩阵A化作行最简形.用初等行变换可以求矩阵的秩与矩阵的逆.例2.4设求矩阵A的秩.输入Clear[A];A={{2,-3,8,2},{2,12,-2,12},{1,3,1,4}};RowReduce[A]//MatrixForm输出为因此A的秩为2.例2.5用初等变换法求矩阵的逆矩阵.输入A={{1,2,3},{2,2,1},{3,4,3}}MatrixForm[A]Transpose[Join[Transpose[A],IdentityMatrix[3]]]//MatrixFormRowReduce[%]//MatrixFormInverse[A]//MatrixForm则输出矩阵A的逆矩阵为向量组的秩矩阵的秩与它的行向量组,以及列向量组的秩相等,因此可以用命令RowReduce求向量组的秩.例2.6求向量组的秩.将向量写作矩阵的行,输入Clear[A];A={{1,2,-1,1},{0,-4,5,-2},{2,0,3,0}};RowReduce[A]//MatrixForm则输出这里有两个非零行,矩阵的秩等于2.因此,它的行向量组的秩也等于2.例2.7向量组是否线性相关?输入Clear[A];A={{1,1,2,3},{1,1,1,1},{1,3,4,5},{3,1,5,7}};RowReduce[A]//MatrixForm则输出向量组包含四个向量,而它的秩等于3,因此,这个向量组线性相关.例2.8向量组是否线性相关?输入Clear[A];A={{2,2,7},{3,-1,2},{1,1,3}};RowReduce[A]//MatrixForm则输出向量组包含三个向量,而它的秩等于3,因此,这个向量组线性无关.向量组的极大无关组例2.9求向量组的极大无关组,并将其它向量用极大无关组线性表示.输入Clear[A,B];A={{1,1,2,4},{0,3,1,2},{3,0,7,14},{1,1,2,0},{2,1,5,0}};B=Transpose[A];RowReduce[B]//MatrixForm则输出在行最简形中有三个非零行,因此向量组的秩等于3.非零行的首元素位于第一、二、四列,因此是向量组的一个极大无关组.第三列的前两个元素分别是3,1,于是第五列的前三个元素分别是于是向量组的等价可以证明:两个向量组等价的充分必要条件是:以它们为行向量构成的矩阵的行最简形具有相同的非零行,因此,还可以用命令RowReduce证明两个向量组等价.例2.10设向量求证:向量组与等价.将向量分别写作矩阵A,B的行向量,输入Clear[A,B];A={{2,1,-1,3},{3,-2,1,-2}};B={{-5,8,-5,12},{4,-5,3,-7}};RowReduce[A]//MatrixFormRowReduce[B]//MatrixForm则输出与两个行最简形相同,因此两个向量组等价.实验习题1.求矩阵的秩.2.求t,使得矩阵的秩等于2.3.求向量组的秩.4.当t取何值时,向量组的秩最小?5.向量组是否线性相关?6.求向量组的最大线性无关组.并用极大无关组线性表示其它向量.7.设向量求证:向量组与等价.实验3线性方程组实验目的熟悉求解线性方程组的常用命令,能利用Mathematica命令各类求线性方程组的解.理解计算机求解的实用意义.基本命令1.命令NullSpace,给出齐次方程组的解空间的一个基.2.命令LinearSolve,给出非齐次线性方程组的一个特解.3.解一般方程或方程组的命令Solve见Mathematica入门.实验举例求齐次线性方程组的解空间设为矩阵,为维列向量,则齐次线性方程组必定有解.若矩阵的秩等于,则只有零解;若矩阵的秩小于,则有非零解,且所有解构成一向量空间.命令NullSpace给出齐次线性方程组的解空间的一个基.例3.1求解线性方程组输入Clear[A];A={{1,1,2,1},{3,2,1,2},{0,5,7,3},{2,3,5,1}};NullSpace[A]则输出{{2,1,2,3}}说明该齐次线性方程组的解空间是一维向量空间,且向量(2,1,2,3)是解空间的基.注:如果输出为空集{},则表明解空间的基是一个空集,该方程组只有零解.例3.2求解线性方程组输入Clear[A];A={{1,1,2,-1},{3,-2,-3,2},{0,5,7,3},{2,-3,-5,-1}};Nullspace[A]输出为{}因此解空间的基是一个空集,说明该线性方程组只有零解.例3.3向量组是否线性相关根据定义,如果向量组线性相关,则齐次线性方程组有非零解.输入Clear[A,B];A={{1,1,2,3},{1,1,1,1},{1,3,4,5},{3,1,5,7}};B=Transpose[A];NullSpace[B]输出为{{2,1,0,1}}说明向量组线性相关,且非齐次线性方程组的特解例3.4求线性方程组的特解.输入Clear[A,b];A={{1,1,2,1},{3,2,1,2},{0,5,7,3},{2,3,5,1}};b={4,2,2,4}LinearSolve[A,b]输出为{1,1,1,0}注:命令LinearSolve只给出线性方程组的一个特解.例3.5求线性方程组的特解.输入Clear[A,b];A={{1,1,2,-1},{3,-2,-1,2},{0,5,7,3},{2,-3,-5,-1}};b={4,2,2,4}Linearsolve[A,b]输出为Linearsolve::nosol:Linearequationencounteredwhichhasnosolution.说明该方程组无解.例3.6向量是否可以由向量，，线性表示?根据定义,如果向量可以由向量组线性相关,则非齐次线性方程组有解.输入Clear[A,B,b];A={{1,2,-3,1},{5,-5,12,11},{0,5,7,3},{1,-3,6,3}};B=Transpose[A];b={2,-1,3,4};Linearsolve[B,b]输出为{,,0}说明可以由线性表示,且例3.7求出通过平面上三点(0,7),(1,6)和(2,9)的二次多项式并画出其图形.根据题设条件有输入Clear[x];A={{0,0,1},{1,1,1},{4,2,1}}y={7,6,9}p=LinearSolve[A,y]Clear[a,b,c,r,s,t];{a,b,c}.{r,s,t}f[x_]=p.{x^2,x,1};Plot[f[x],{x,0,2},GridLines>Automatic,PlotRange>All];则输出的值为{2,3,7}并画出二次多项式的图形(略).非齐次线性方程组的通解用命令Solve求非齐次线性方程组的通解.例3.8求出通过平面上三点(0,0),(1,1),(-1,3)以及满足的4次多项式解设则有输入Clear[a,b,c,d,e];q[x_]=a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e;eqs=[q[0]==0,q[1]==1,q[-1]==3,q’[-1]==20,q’[1]==9];{A,y}=LinearEquationsToMatrices[eqs,{a,b,c,d}];p=LinearSolve[A,y];f[x_]=p.{x^4,x^3,x^2,x,1};Plot[f[x],{x,-1,1},GridLines->Automatic,PlotRange->All];则输出所求多项式非齐次线性方程组的通解用命令solve求非齐次线性方程组的通解.例3.9解方程组输入solve[{x-y+2z+w==1,2x-y+z+2w==3,x-z+w==2,3x-y+3w==5},{x,y,z,w}]输出为{{x2-w+z,y1+3z}}即,.于是,非齐次线性方程组的特解为(2,1,0,0).对应的齐次线性方程组的基础解系为(1,3,1,0)与(-1,0,0,1).例3.10解方程组解法1用命令solve输入solve[{x-2y+3z-4w==4,y-z+w==-3,x+3y+w==1,-7y+3z+3w==-3},{x,y,z,w}]输出为{{x-8,y3,z6,w0}}即有唯一解,，，.解法2这个线性方程组中方程的个数等于未知数的个数,而且有唯一解,此解可以表示为.其中是线性方程组的系数矩阵,而是右边常数向量.于是,可以用逆阵计算唯一解.输入Clear[A,b,x];A={{1,-2,3,-4},{0,1,-1,1},{1,3,0,1},{0,-7,3,1}};b={4,-3,1,-3};x=Inverse[A].b输出为{-8,3,6,0}解法3还可以用克拉默法计算这个线性方程组的唯一解.为计算各行列式,输入未知数的系数向量,即系数矩阵的列向量.输入Clear[a,b,c,d,e];a={1,0,1,0};b={-2,1,3,-7};c={3,-1,0,3};d={-4,1,1,1};e={4,-3,1,-3};Det[{e,b,c,d}]/Det[{a,b,c,d}]Det[{a,e,c,d}]/Det[{a,b,c,d}]Det[{a,b,e,d}]/Det[{a,b,c,d}]Det[{a,b,c,e}]/Det[{a,b,c,d}]输出为-8360例3.10当为何值时,方程组无解、有唯一解、有无穷多解当方程组有解时,求通解.先计算系数行列式,并求,使行列式等于0.输入Clear[a];Det[{{a,1,1},{1,a,1},{1,1,a}}];Solve[%0,a]则输出{{a2},{a1},{a1}}当,时,方程组有唯一解.输入Solve[{a*xyz1,xa*yz1,xya*z1},{x,y,z}]则输出{{xyz}}当2时,输入Solve[{2x+y+z==1,x2y+z==1,x+y2z==1},{x,y,z}]则输出{}说明方程组无解.当=1时,输入Solve[{x+y+z==1,x+y+z==1,x+y+z==1},{x,y,z}]则输出{{x1yz}}}说明有无穷多个解.非齐次线性方程组的特解为(1,0,0),对应的齐次线性方程组的基础解系为为(1,1,0)与(1,0,1).例3.11求非齐次线性方程组的通解.解法1输入A={{2,1,1,1},{3,2,1,3},{1,4,3,5}};b={1,4,2};particular=LinearSolve[A,b]nullspacebasis=NullSpace[A]generalsolution=t*nullspacebasis[[1]]+k*nullspacebasis[[2]]+Flatten[particular]generalsolution//MatrixForm解法2输入B={{2,1,1,1,1},{3,2,1,3,4},{1,4,3,5,2}}RowReduce[B]//MatrixForm根据增广矩阵的行最简形,易知方程组有无穷多解.其通解为(k,t为任意常数)实验习题1.解方程组2.解方程组3.解方程组4.解方程组5.用三种方法求方程组的唯一解.6.当为何值时,方程组有唯一解、无解、有无穷多解对后者求通解.实验4交通流模型(综合实验)实验目的利用线性代数中向量和矩阵的运算,线性方程组的求解等知识,建立交通流模型.掌握线性代数在交通规划方面的应用.应用举例假设某城市部分单行街道的交通流量(每小时通过的车辆数)如图4.1所示.图41试建立数学模型确定该交通网络未知部分的具体流量.假定上述问题满足下列两个基本假设(1)全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量;(2)全部流入一个节点的流量等于流出此节点的流量.于是,根据图4.1及上述基本两个假设,可建立该问题的线性方程组即若将上述矩阵方程记为,则问题就转化为求的全部解.下面我们利用Mathmatica软件来求解1、输入矩阵A,并利用RowReduce[A]命令求得A的秩为8.输入RowReduce[A]//MatrixFormOut[2]//MatrixForm=则输出2、应用命令NullSpace[A]求出齐次线性方程组的基础解系.输入In[3]:=NullSpace[A]//MatrixFormOut[3]//MatrixForm=则输出由此即得到所求齐次线性方程组的基础解系:,(为任意常数).3、输入增广阵(Ab),求出其秩为8,由知方程组有无穷多个解.输入RowReduce[Ab]//MatrixFormOut[5]//MatrixForm=则输出4、应用命令LinearSolve[A,b],求得非齐次线性方程组的一个特解.输入LinearSolve[A,b]Out[9]={{800},{0},{200},{500},{0},{800},{1000},{0},{400},{600}}则得到所求非齐次线性方程组的一个特解:综上所述,我们就得到了非齐次线性方程组的全部解为(为任意常数).在解的表示式中,的每一个分量即为交通网络中未知部分的具体流量,该问题有无穷多解(为什么并思考其实际意义).本模型具有实际应用价值,求出该模型的解,可以为交通规划设计部门提供解决交通堵塞、车流运行不畅等问题的方法,知道在何处应建设立交桥,那条路应设计多宽等,为城镇交通规划提供科学的指导意见.但是,在本模型中,我们只考虑了单行街道这样一种简单情形,更复杂的情形留待读者在更高一级的课程中去研究.此外,本模型还可推广到电路分析中的网络节点流量等问题中.实验报告请读者应用本模型的思想方法,为你所在或你熟悉的城镇建立一个区域的交通流量模型.并提供一个具体的解决 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ,即从无穷多个解中根据具体限制确定出一个具体的解决方案.