关于一阶完全非线性偏微分方程Cauchy问题的解

第!"卷第"期#############咸#宁#学#院#学#报############$%&’!"，(%’"!))"年*!月############!"#$%&’"()*&%%*%+,"’’-+-############+,-’!))"文章编号：*))"./01!（!))"）)".))*).)!关于一阶完全非线性偏微分方程234-56问题的解"陈名中*，揭爱民!（*’咸宁学院数学系，湖北#咸宁#107))/；!’咸宁市中等职业技术学校，湖北#咸宁#107))/）摘#要：运用特征概念给出一阶完全非线性偏微分方程的234-56问题的一般解法及其原理’关键词：一阶；完全非线性；特征方程；234-56问题中图分类号：8*7/#######文献标识码：9##我们知道，线性方程及拟线性方程比完全非线性方程要简单些’完全非线性方程的解比线性方程及拟线性方程的解往往要复杂得多’但是，我们可以充分利用线性方程及拟线性方程的相关知识和结果来推导和解决一阶完全非线性方程234-56问题的解’*#预备知识为方便起见，我们只讨论含有两个自变量的情形’先讨论一阶拟线性偏微分方程的通解，其一般形式为!*（"，#，$）*$*":!!（"，#，$）*$*#;%（"，#，$）（*）这里总假定!&（"，#，$）（&;*，!）和%（"，#，$）都是其变量的连续可微函数，且!&不同时为零’设$;$（"，#）是（*）的一个解，则它为(0空间中的一个曲面，记为$’设其解的隐式形式为)（"，#，$）;)且)（"，#，$）对"，#，$都有连续偏导数，*)*$))则（*）变为关于)的线性齐次偏微分方程!*（"，#，$）*)*":!!（"，#，$）*)*#:%（"，#，$）*)*$;)（!）（!）的特征方程是<"!*（"，#，$）;<#!!（"，#，$）;<$%（"，#，$）（0）设（0）的相互独立的初积分是!*（"，#，$）;**，!!（"，#，$）;*!则（!）的通解为);"（!*，!!）其中"为任意连续可微函数，从而得到下述定理’定理*［*］对于任意连续可微函数"，若是线性齐次方程（!）的通解，则"（!*，!!）;)是拟线性偏微分方程（*）的隐式通解，其中!*，!!是（0）的相互独立的初积分’例*：求方程（#=$）*$*":（$="）*$*#;"=#的通解’解：该方程为拟线性偏微分方程，其对应的线性齐次方程为（#=$）*)*":（$="）*)*#:（"=#）*)*$;)特征方程是<"#=$;<#$=";<$"=#得到两个相互独立的初积分是!*;":#:$;**，!!;"!:#!:$!;*!故原方程的通解为"（":#:$，"!:#!:$!）;)!#主要结果下面，在上述拟线性偏微分方程理论的基础上，讨论含两个自变量的完全非线性偏微分方程的234-56问题解的一般求法，设含两个自变量的完全非线性方程的一般形式为+（"，#，$，,，-）;)（1）其中,;*$*"，-;*$*#，且函数+（"，#，$，,，-）在所讨论的区域内有二阶连续偏导数’关于（1）的234-56问题为+（"，#，$，,，-）;)$（")，#）;!（#{）（/）先假设$;$（"，#）（"）是（1）的任一个解，且$（"，#）具有二阶连续偏导数对（1）式分别求关于"与#的偏导数，有"收稿日期：!))/.*!.*"万方数据!"!!#*#*"!!$*$*"!!%*%*""#!&!!#*#*&!!$*$*&!!%*%*&{"#（$）由*%#*"*&"*%#*&*"，有*%*""*$*&，代入上式有!"!!#$!!$*$*"!!%*$*&"#!&!!#%!!$*%*"!!%*%*&{"#（&）显然，（&）式为拟线性偏微分方程组，其特征方程为’"!$"’&!%"(’$!"!!#$"’’’"!$"’&!%"(’%!&!!#%"’{’即’"!$"’&!%"(’$!"!!#$"(’%!&!!#%"’’（)）故$’"$!$"%’&%!%"$’"!%’&$!$!%!%（*#）由全微分公式’#"$’"!%’&，代入（*#）式，有’#$!$!%!%"’"!$（**）联立（)），（**）式，得到’"!$"’&!%"(’$!"!!#$"(’%!&!!#%"’#$!$!%!%"’’（*%）（*%）式称为方程（+）的特征方程［%］(若,-./01问题（2）的初始条件可用参数形式给出"#""#（)），&#"&#（)），##"##（)）（*3）由##"##（"#（)），&#（)）），有’##’)"*##*"#’"#’)!*##*&#’&#’)即#4#（)）"$#（)）"4#（)）!%#（)）&4#（)）（*+）又显然（*3）式必满足（+）式，即!（"#（)），&#（)），##（)），$#（)），%#（)））"#（*2）联立（*+），（*2）式可得到函数 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式$#"$#（)），%#"%#（)）（*5）综合（*%），（*3），（*5）且当’"#时有’"!$"’&!%"(’$!"!!#$"(’%!&!!#%"’#$!$!%!%"’’"#""#（)），&#"&#（)），##"##（)）$#"$#（)），%#"%#（){）（*$）从（*$）式的积分曲线中可得到"""（)，’），&"（)，’），#"#（)，’）6（其中)，’为参数）（*&）（*&）式即为,-./01问题（2）的参数形式解7结论：以上过程，是在应用了线性方程及拟线性方程求解方法的基础上，运用特征概念从而给出了一阶完全非线性偏微分方程的,-./01问题的一般解法及其原理7该方法具有一定的可行性7在下述例子中，我们再进一步探讨这种方法的可行性7上述解法也可应用到含多个自变量的完全非线性偏微分方程中去［3］736具体例子例%：求,-./01问题$%"##8""#"&{3的解，其中$"*#*"，%"*#*&(解：先将初始条件写成参数形式"#"#，&#")，##")3由#4#（)）"$#（)）"4#（)）!%#（)）&4#（)），得到%#"3)%，代入方程有$#")3，与（*%）相应的方程为’"%"’&$"’$$"’%%"’#%$%"’’当’"#时，"#"#，&#")，##")3，$#")3，%#"3)%故解得%"3)%*’，$")3*’""3)%（*’(*），&")3（*’!%）#")3*%’从而得到所求,-./01问题解的参数形式""3)%（*’(*）&")3（*’!%）#")3*%{’6（其中)，’为参数）7参考文献：［*］朱长江，邓引斌7偏微分方程教程［9］7北京：科学出版社，%##27［%］询中丹，黄海洋7偏微分方程［9］7北京：高等教育出版社，%##+7［3］:;<0=7>-?@A-BCADDE?E=@A-BFG.-@A<=H［9］7IEJK 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 2000,18(1)报道了应用边界积分方法模拟完全非线性孤立波的传播与直墙反射,给出了波形演变过程.结果表明,本模型对计算孤立波的传播与直墙反射是有效的.三阶Boussinesq方程的孤立波解比低阶方程的孤立波解更接近完全非线性的数值解.当来波波高增大时,孤立波直墙反射的相位滞后变小.若考虑大波高孤立波的直墙反射或波--波相互作用,一阶理论预报的相位滞后往往低估实际情况.4.学位论文张丽俊非线性波方程的奇异解问题的研究2008在物理学，力学、生物学与大气动力学等众多自然科学领域的研究中都发现反映众多因子之间相互制约和相互依存的关系方程都是非线性方程，也就是一般被称为得非线性演化方程，而其中恰有为数不少的一部分是具有某种奇异性质的可积的偏微分方程也就是说具有Hamilton结构。在1993年，Camassa与Holm利用Hamilton原理获得一类新的完全可积色散的浅水波方程(Camassa-Holm方程)并证明该方程在k=0时，具有一个在它的波峰处具有不连续的一阶导数的孤立波解(孤立尖波)。同年，Rosenau与Hyman为了理解非线性色散在液体滴落模式中的作用，引入并研究一类完全非线性的Korteweg-deVries(KdV)方程K(m，n)，得到了K(2，2)方程的一个特别的具有孤立子形状的解被他们命名为紧孤立子(紧孤立波)。自此之后，这些由光滑的初值条件经过传播后形成的非光滑解的出现的奇异现象就一直被广泛关注，近来也得到了一定的发展。我们关心的是偏微分方程的行波解，在行波变换下非线性偏微分方程就转化为一个以波速为参数的常微分方程，而具有Hamilton结构的偏微分方程往往就化为可积的常微分方程，从而我们可以借助动力系统分支理论，从微分动力系统理论的角度，以解析的方法来说明在该方程中这类奇异解的出现的真正原因，并求出方程的行波解。我们研究重点是研究这些奇异行波解并力图解释一些类型的非线性发展方程的行波解的某些动力学行为，研究方程的光滑的周期波、孤立子、扭波等以及非光滑的奇异行波解出现的参数条件，例如紧孤子解、周期尖波、尖孤立子、紧扭波等的存在性以及其在某些参数条件下的解析表达式。在本文中，我们研究了几类经典的非线性波方程，广义Camassa-Holm方程，Degasperis-Procesi方程，一类非常广泛的方程的具有非线性色散项的广义B(m，n)方程，广义非线性Schrodinger方程，非线性色散的K(m，n，k)方程以及广义非线性Klein-Gordon模型方程的行波解的分支，特别是其奇异行波解，特别地，在广义非线性Klein-Gordon模型方程的研究中首次提出了两类不同于以前已知的奇异解，并给出了其积分表达式。由此可见，利用微分动力系统的动力学分支理论，通过形变的技巧，不仅可以清楚地解释了已知的奇异行波解产生的动力学原因，而且可以了解其他的一些奇异解。5.期刊论文宁德志.滕斌.谭丽.周斌珍.NINGDe-zhi.TENGBin.TANLi.ZHOUBin-zhen完全非线性聚焦波浪的数值模拟-水科学进展2008,19(6)利用高阶边界元方法求解拉普拉斯方程,建立了模拟完全非线性聚焦波的时域数值模型,其中追踪流体自由表面的方法为满足完全非线性自由水面条件的半混合欧拉.拉格朗日方法,运用四阶Bunga-Kutta方法计算每一时间步新的波面高度和速度势,同时通过人射边界给定速度的二阶Stokes解析解产生波浪,并应用镜像格林函数消除水槽两个侧面和底面上的积分.对不同波陡的聚焦波群在水槽中开展了物理模型实验,并把试验结果和数值结果进行了对比,两者吻合得很好,然后对非线性条件下聚焦波的特点进行了研究.6.期刊论文刘桦.吴卫.LiuHua.WuWei完全非线性孤立波的稳态解-海洋通报1999,18(6)报道了应用边界积分方法模拟完全非线性孤立波的传播,给出了稳态解的波形、流速场的数值计算结果.结果表明,本模型对计算孤立波的传播是有效的.当α/h＞0.3时,自由液面上的水平流速、底部流速和垂向平均流速之间的差别是明显的.三阶Boussinesq方程的孤立波解比低阶方程的孤立波解更接近本文完全非线性的数值解.7.期刊论文何海伦.陈利琴.宋金宝.HEHai-lun.CHENLi-qin.SONGJin-bao一个二维数值波浪水槽的改进-海洋科学2007,31(3)对Drimer,Agnon及Segre研发的数值波浪水槽(简称DAS),首先通过修正DAS中某些积分计算的错误,建立了第一个修正模型(MDAS1),使得模型更加准确稳定.其次,将DAS模型自由表面线性元近似替换为更为合理准确的三阶元近似,建立了第二个修正模型(MDAS2),使得模型计算的波面更合理可靠.平底水槽中波群的生成及传播算例表明:与DAS结果相比,MDAS1对波面没有显著影响,而采用三阶元的MDAS2对波面有显著影响.与Hansen和Svendsen的实测资料相比较证实了两个修正模型的有效性.8.会议论文刘桦.吴卫完全非线性弧立波的稳态解1999该文报道了应用边界积分方法模拟完全非线性弧立波的传播，给出了稳态解的波形，流速场的数值计算结果。结果表明，该模型对计算弧立波的传播是有效的。当α/h＞0．3时，自由液面上的水平流速，底部流速和垂向平均流速之间的差别是明显的。三阶Boussinesq方程的孤立波解妆近该完全非线性的数值解。9.期刊论文宁德志.滕斌.姜立明.臧军.NINGDe-zhi.TENGBin.JIANGLi-ming.ZANGJun极限波浪运动特性的非线性数值模拟-海洋学报（中文版）2008,30(3)利用时域高阶边界元方法建立了模拟极限波浪运动的完全非线性数值模型,其中自由水面满足完全非线性自由水面条件.采用半混合欧拉一拉格朗日方法追踪流体瞬时水面,运用四阶RHage-Kutta方法更新下一时间步的波面和速度势,同时应用镜像格林函数消除水槽两个侧面和底面上的积分.研究中利用波浪聚焦的方法产生极限波浪,并且在水槽中开展了物理模型实验,将测点试验数据与数值结果进行了对比,两者吻合得很好.对极限波浪运动的非线性和流域内速度分布进行了研究.10.学位论文马小舟近岸低频波浪的Boussinesq模拟2006本文从欧拉方程出发，推导了一组精确到O(μ2，ε3μ2)的完全非线性Boussinesq方程，其中ε是波浪场中特征波幅和水深的比值，代表波浪的非线性，而μ2是波浪场中特征水深和波长的比值的平方，代表波浪的色散性。方程中保留了O(μ2)量级的非线性项，使得方程的非线性能得到提高。为了进一步改善方程的性能，对方程的线性色散关系和线性变浅率作了改进。改进后方程的线性色散关系达到了一阶Stokes波色散关系的Padé[4，4]近似，在相对水深μ接近1.0时仍保持较高的准确性。通过对方程进行Fourier分析发现对色散关系的改进还对提高方程的非线性特性有很大增益。Boussinesq方程是对势流的一种近似，因此它本身不包含任何耗散项。为了模拟波浪在破碎带的传播，在动量方程中引入一个在空间和时间上都只作用于波前的涡粘项来模拟由于波浪破碎引起的能量损失。通过应用窄缝法处理海岸线的动边界，将模型的模拟范围扩展到冲刷区，从而使本模型可以模拟波浪从深水一直到海岸上的爬高的整个过程。方程的水平一维形式用有限差分法进行求解，对于时间导数项用Adams-Bashforth显式 格式 pdf格式笔记格式下载页码格式下载公文格式下载简报格式下载 预估，用Adams-Moulton四阶隐式格式校正。所采用差分格式的截断误差小于方程中的非线性浅水方程项，可以保证得到高精度的数值解。为了防止波浪在边界处的反射及二次反射的发生，采用在计算域内造波并在水槽两端布置海绵层来吸收波能，这样使得波浪长时间稳定地在水槽中传播成为可能。用所建立的波浪模型模拟了波浪在有潜堤或者斜坡的地形上的演化变形，将模拟结果和解析解以及试验结果进行了比较，它们总的来说符合良好，说明本文所建立的模型是可靠的。低频波浪是近岸水域一种重要的水动力学现象，应用本文的模型模拟了不同主波波幅、波群频率的双色波群在斜坡上破碎时产生的低频波浪，给出了低频波浪的波幅的变化规律，讨论了低频波浪的结构，并将数值模拟结果和实验结果进行了比较，两者符合良好，显示了Boussinesq方程同时模拟长波和短波的优势。本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_xnszxb200606004.aspx授权使用：淮南师范学院图书馆(hnsfxy)，授权号：709e1d07-fec8-4783-aa39-9e9500f1a0ae下载时间：2011年2月25日