精选文档精选文档可修改编辑欢迎下载可修改编辑欢迎下载精选文档可修改编辑欢迎下载24.2 圆的基本性质第1课时 圆的有关概念及点与圆的位置关系知识要点基础练知识点1 圆的定义1.战国时的《墨经》就有“圆,一中同长也”的记载.它的意思是圆上各点到圆心的距离都等于 半径 . 2.以2cm的长为半径作圆,能作 无数 个圆. 知识点2 点与圆的位置关系3.(教材改编)如图,已知矩形ABCD中,AB=3cm,BC=4cm,若以A为圆心、AC长为半径画☉A,则点D与☉A的位置关系为(C)A.点D在☉A上B.点D在☉A外C.点D在☉A内D.无法判断4.☉O的直径为10cm,当OP= 5cm 时,点P在圆上;当OP <5cm 时,点P在圆内;当OP=7cm时,点P在 圆外 . 【变式拓展】如图,数轴上有A,B,C三点,点A,C关于点B对称,以原点O为圆心作圆,若点A,B,C分别在☉O外、☉O内、☉O上,则原点O的位置应该在(C)A.点A与点B之间靠近A点B.点A与点B之间靠近B点C.点B与点C之间靠近B点精选文档精选文档可修改编辑欢迎下载可修改编辑欢迎下载精选文档可修改编辑欢迎下载D.点B与点C之间靠近C点知识点3 圆的有关概念5.如图所示圆规,点A是铁尖的端点,点B是铅笔芯尖的端点,已知点A与点B的距离是2cm,若铁尖的端点A固定,铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周,则作出的圆的直径是(C)A.1cmB.2cmC.4cmD.πcm6.下列说法:①直径是弦;②弦是直径;③过圆内一点有无数多条弦,这些弦都相等;④直径是圆中最长的弦.其中正确的有(C)A.4个B.3个C.2个D.1个7.如图所示,下列说法:①是优弧;②是优弧;③由A,O,C,B四点所围成的图形是弓形;④弦AB所对的弧是劣弧.其中正确的有(A)A.0个B.1个C.2个D.3个综合能力提升练8.下列说法正确的是(C)A.弦是直径B.弧是半圆C.半圆是弧D.过圆心的线段是直径9.圆内最长的弦的长为30cm,则圆的半径为 15 cm. 10.一个点到圆的最大距离是12cm,到圆的最小距离是4cm,则该圆的半径是 4cm或8cm . 11.如图,AB=3cm,用图形
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示到点A的距离小于2cm,且到点B的距离不小于2cm的所有点的集合.(用阴影表示,注意边界上的点是否在集合中,如果在,用实线表示;如果不在,则用虚线表示)精选文档精选文档可修改编辑欢迎下载可修改编辑欢迎下载精选文档可修改编辑欢迎下载解:到点A的距离小于2cm,且到点B的距离不小于2cm的所有点的集合如图所示.12.如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=12,以点A为圆心,以r为半径画☉A,根据下列条件求r.(1)若点D在☉A上,求r的值;(2)若点B在☉A内,点C在☉A外,求r的取值范围;(3)若点B,C,D都在☉A内,求r的取值范围.解:(1)∵四边形ABCD为矩形,∴AD=BC=12,∵点D在☉A上,∴r=12.(2)连接AC.由勾股定理得AC=13,根据题意,得5
13.13.如图,已知△ABC,AC=3,BC=4,∠C=90°,以点C为圆心作☉C,半径为r.(1)当r取何值时,点A,B在☉C外;(2)当r在什么范围时,点A在☉C内,点B在☉C外.解:(1)当0
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,当拖拉机沿ON方向行驶时,路两旁50米内会受到噪音影响,已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶,它们的速度均为5米/秒,问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是多少?解:如图,过点A作AC⊥ON,因为∠MON=30°,OA=80,所以AC=40,当第一台拖拉机到B点时对学校产生噪音影响,此时AB=50,精选文档精选文档可修改编辑欢迎下载可修改编辑欢迎下载精选文档可修改编辑欢迎下载由勾股定理,得BC=30,第一台拖拉机到D点时噪音消失,所以CD=30.由于两台拖拉机相距30米,则第一台到D点时第二台在C点,还需前行30米才对学校没有噪音影响.所以影响时间应是90÷5=18.答:这两台拖拉机沿ON方向行驶给小学带来噪音影响的时间是18秒.第2课时 垂径分弦知识要点基础练知识点1 圆的对称性1.圆是轴对称图形,它有 无数 条对称轴,圆还是中心对称图形,它的对称中心是 圆心 . 2.如图,CD是☉O的一条弦,作直径AB,使CD⊥AB,垂足为E.它是 轴对称 图形,它的对称轴是 直线AB . 知识点2 垂径定理及其推论3.(教材改编)如图,已知☉O的直径AB⊥CD于点E,则下列结论错误的是(B)A.CE=DEB.AE=OEC.D.△OCE≌△ODE4.(教材改编)如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C和D两点,AB=10cm,CD=6cm,则AC长为 2 cm. 知识点3 垂径定理的实际应用5.(教材改编)如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的),点O是这段弧的圆心,C是上一点,OC⊥AB,垂足为D,AB=300m,CD=50m,则这段弯路的半径是 250 m. 精选文档精选文档可修改编辑欢迎下载可修改编辑欢迎下载精选文档可修改编辑欢迎下载综合能力提升练6.如图,☉O的直径CD过弦AB的中点E,且CE=2,DE=8,则AB的长为(B)A.9B.8C.6D.47.如图,☉O的弦AB,AC的夹角为50°,M,N分别是的中点,则∠MON的度数是(D)A.100°B.110°C.120°D.130°【变式拓展】如图所示,☉O的直径AB垂直弦CD于点P,且P是半径OB的中点,CD=6cm,则直径AB的长是(D)A.2cmB.3cmC.4cmD.4cm8.如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,则CD的长为(C)A.B.2C.2D.89.(乐山中考)如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门,小红到影视城游玩,她了解到这扇门的相关数据:这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的,AB=CD=0.25米,BD=1.5米,且AB,CD与水平地面都是垂直的.根据以上数据,请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是(B)精选文档精选文档可修改编辑欢迎下载可修改编辑欢迎下载精选文档可修改编辑欢迎下载A.2米B.2.5米C.2.4米D.2.1米10.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示,已知AB=16m,半径OA=10m,则蔬菜大棚的高度CD= 4 m. 11.(烟台中考)如图,方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度,点O,A,B,C在格点(两条网格线的交点叫格点)上,以点O为原点建立直角坐标系,则过A,B,C三点的圆的圆心坐标为 (-1,-2) . 12.如图,破残的圆形轮片上,弦AB的垂直平分线交弧AB于点C,交弦AB于点D.已知AB=24cm,CD=8cm.(1)求作此残片所在的圆心;(不写作法,保留作图痕迹)(2)求(1)中所作圆的半径.解:(1)如图,作弦BC的垂直平分线与弦AC的垂直平分线交于O点,则O点即为此残片所在的圆心.(2)连接OA,设OA=x,AD=12cm,OD=(x-8)cm,由勾股定理,得x2=122+(x-8)2,解得x=13,即圆的半径为13cm.13.如图,☉O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上的一个动点,求OP的长度范围.解:连接OA,作直径MN⊥弦AB,交AB于点D,精选文档精选文档可修改编辑欢迎下载可修改编辑欢迎下载精选文档可修改编辑欢迎下载由垂径定理,得AD=DB=AB=4.又∵☉O的直径为10,∴OA=5.在Rt△AOD中,由勾股定理,得OD==3.∵垂线段最短,半径最长,∴OP的长度范围是3≤OP≤5.拓展探究突破练14.如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m,其中水面的宽AB为0.6m.(1)求排水管内水的深度;(2)当水面的宽MN为0.8m时,此时水面上升了多少米?解:(1)作半径OC⊥AB,垂足为D,交弧AB于点C,连接OA,则CD即为弓形高,∵OC⊥AB,∴AD=AB,∵AO=0.5,AB=0.6,∴AD=AB=0.3,∴OD==0.4,∴CD=OC-OD=0.5-0.4=0.1,即排水管内水的深度为0.1米.(2)当水位上升到水面宽MN为0.8米时,直线OC与MN相交于点P,同理可得OP=0.3,当MN与AB在圆心同侧时,水面上升的高度为0.1米;当MN与AB在圆心异侧时,水面上升的高度为0.7米.第3课时 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系精选文档精选文档可修改编辑欢迎下载可修改编辑欢迎下载精选文档可修改编辑欢迎下载知识要点基础练知识点1 圆心角1.如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上,若∠C=55°,则圆心角∠COB的度数是(C)A.55°B.100°C.110°D.130°2.圆的一条弦分圆周为3∶6两部分,则其中劣弧所对的圆心角度数为 120° . 【变式拓展】已知AB是☉O的弦,若AB与☉O的半径相等,则圆心角∠AOB= 60° . 知识点2 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系3.(教材改编)若正方形ABCD四个顶点都在☉O上,则边AB所对的圆心角的度数是(B)A.45°B.90°C.120°D.135°【变式拓展】如图,点A,B,C都在☉O上,∠AOB=∠BOC=∠COA,则△ABC的形状是(D)A.不等边三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形4.如图,在☉O中,弦AB=CD,请写出图中两组相等的角: 本题
答案
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不唯一,如:∠AOB=∠COD,∠A=∠B=∠C=∠D,∠AOC=∠BOD等 . 5.(教材改编)如图,AB是☉O的直径,若OD∥AC,求证:D是的中点.解:连接OC,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∵OD∥AC,∴∠BOD=∠OAC,∠COD=∠OCA,精选文档精选文档可修改编辑欢迎下载可修改编辑欢迎下载精选文档可修改编辑欢迎下载∴∠BOD=∠COD,∴,即D是的中点.综合能力提升练6.已知☉O的半径为10,圆心O到弦AB的距离为5,则弦AB所对圆心角的度数是(B)A.60°B.120°C.90°D.60°或120°7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,若以点C为圆心,CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D,则AC的长等于(A)A.5B.5C.5D.68.如图,已知☉O的半径为5,弦AB,CD所对的圆心角分别为∠AOB,∠COD,若∠AOB与∠COD互补,弦CD=6,则弦AB的弦心距为(A)A.3B.6C.8D.59.(毕节中考)如图,AB是☉O的直径,C,D为半圆的三等分点,CE⊥AB于点E,∠ACE的度数为 30° . 10.在△ABC中,∠A=70°,☉O截△ABC的三边,所截得的弦相等,则∠BOC= 125° . 11.如图,点P在☉O上,PA,PB是☉O的弦,连接OP.若OP平分∠APB,求证:PA=PB.证明:过点O作OM⊥PA于点M,ON⊥PB于点N,∵OP平分∠APB,∴OM=ON,∴PA=PB.12.如图所示,M,N分别是☉O的弦AB,CD的中点,AB=CD.求证:∠AMN=∠CNM.精选文档精选文档可修改编辑欢迎下载可修改编辑欢迎下载精选文档可修改编辑欢迎下载证明:连接OM,ON,∵O为圆心,M,N分别为弦AB,CD的中点,∴OM⊥AB,ON⊥CD,∵AB=CD,∴OM=ON,∴∠OMN=∠ONM,∵∠AMN=90°-∠OMN,∠CNM=90°-∠ONM,∴∠AMN=∠CNM.13.(1)如图,A,B,C,D,E都在☉O上,且AB=BC=CD=DE=AE.求∠AOB的度数.(2)受(1)的启发,你能将一个圆四等分,六等分吗?解:(1)连接OC,OD,OE,∵AB=BC=CD=DE=AE,∴.∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOA,∴∠AOB==72°.(2)四等分时,作90°的圆心角;六等分时,作60°的圆心角.精选文档精选文档可修改编辑欢迎下载可修改编辑欢迎下载精选文档可修改编辑欢迎下载14.如图,AB是☉O的直径,C,D是AB上的两个动点(不与点A,B重合),过点C,D分别作与AB垂直的弦EF,MN.(1)若AC=BD,求证:EF=MN.(2)若C,D分别是OA,OB的中点,则是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说出之间的关系.解:连接OE,OM.(1)∵OA=OB,AC=BD,∴OC=OD,∵EF⊥AB,MN⊥AB,∴EF=MN.(2).理由:在Rt△OEC中,∵C是OA的中点,∴cos∠AOE=,∴∠AOE=60°,同理∠MOB=60°,∴∠EOM=180°-∠AOE-∠MOB=180°-60°-60°=60°,∴∠AOE=∠EOM=∠MOB,∴.拓展探究突破练15.如图1,PC是☉O的直径,PA与PB是弦,且∠APC=∠BPC.(1)求证:PA=PB.(2)如果点P由圆上运动到圆外,PC过圆心.如图2,是否仍有PA=PB?为什么?(3)如图3,如果点P由圆上运动到圆内,PC过圆心,如图3,是否仍有PA=PB?(直接写出结论,不必说明理由)精选文档精选文档可修改编辑欢迎下载可修改编辑欢迎下载精选文档可修改编辑欢迎下载解:(1)作OE⊥PA于点E,OF⊥PB于点F,∴∠OEP=∠OFP=90°.在△POE和△POF中,∴△POE≌△POF,∴PE=PF.又∵PE=PA,PF=PB,∴PA=PB.(2)作OE⊥PA于点E,OF⊥PB于点F,∴∠OEP=∠OFP=90°,在△POE和△POF中,∴△POE≌△POF,∴OE=OF,PE=PF,∴AE=BF,∴PA=PB.(3)仍有PA=PB.第4课时 圆的确定知识要点基础练知识点1 确定圆的条件1.过两点画圆,可以画(D)A.0个B.1个C.2个D.无数个2.下列条件,可以画出圆的是(C)精选文档精选文档可修改编辑欢迎下载可修改编辑欢迎下载精选文档可修改编辑欢迎下载A.已知圆心B.已知半径C.已知不在同一直线上的三点D.已知直径知识点2 三角形的外接圆及有关概念3.如图,☉O是△ABC的外接圆,则点O是△ABC的(B)A.三条高线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三角形三内角角平分线的交点4.如图,将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中,点A,B,C均落在格点上,用一个圆面去覆盖△ABC,能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是(A)A.B.C.2D.5.直角三角形的斜边为l,则它的外接圆面积是 πl2 . 知识点3 反证法6.用反证法证明命题:如果AB⊥CD,AB⊥EF,那么CD∥EF,证明的第一个步骤是(C)A.假设CD∥EFB.假设AB∥EFC.假设CD和EF不平行D.假设AB和EF不平行【变式拓展】用反证法证明时,假设结论“点在圆外”不成立,那么点与圆的位置关系只能是(D)A.点在圆内B.点在圆上精选文档精选文档可修改编辑欢迎下载可修改编辑欢迎下载精选文档可修改编辑欢迎下载C.点在圆心上D.点在圆上或圆内综合能力提升练7.下列说法正确的是(D)A.半圆是弧,弧也是半圆B.三点确定一个圆C.平分弦的直径垂直于弦D.直径是同一圆中最长的弦8.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了,其中四块碎片如图所示,为了配到与原来大小一样的圆形镜子,小明带到商店去的一块碎片应该是(A)A.①B.②C.③D.④9.如图,已知平面直角坐标系内三点A(3,0),B(5,0),C(0,4),☉P经过点A,B,C,则点P的坐标为(C)A.(6,8)B.(4,5)C.(4,)D.(4,)10.如图,等边△ABC的外接圆的半径为2,则图中阴影部分的面积是 4π-3 .(结果用含π的式子表示) 11.用反证法证明“三角形三个内角中,至少有一个内角小于或等于60°”.已知:∠A,∠B,∠C是△ABC的内角.求证:∠A,∠B,∠C中至少有一个内角小于或等于60°.证明:假设求证的结论不成立,那么 三角形中所有角都大于60° . ∴∠A+∠B+∠C> 180° . 这与三角形 内角和为180° 相矛盾. ∴假设不成立.∴ 三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60° . 精选文档精选文档可修改编辑欢迎下载可修改编辑欢迎下载精选文档可修改编辑欢迎下载12.如图,为丰富A,B,C三个小区的文化生活,现准备新建一个影剧院M,使它到三个小区的距离相等,试确定M的位置.(用尺规作图,不写作法,但要保留痕迹)答案图解:如图.13.如图,AD为△ABC外接圆的直径,AD⊥BC,垂足为F,∠ABC的平分线交AD于点E,连接BD,CD.(1)求证:BD=CD;(2)请判断B,E,C三点是否在以D为圆心,以DB为半径的圆上?并说明理由.解:(1)∵AD为直径,AD⊥BC,∴,∴BD=CD.(2)B,E,C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上.理由:由(1)知,∴∠BAD=∠CBD,又∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠ABE.∵∠DBE=∠CBD+∠CBE,∠DEB=∠BAD+∠ABE,∠CBE=∠ABE,∴∠DBE=∠DEB,∴DB=DE.由(1)知BD=CD,∴DB=DE=DC.∴B,E,C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上.14.下面的解题过程对不对?如果不对,如何改正?题目:△ABC内接于圆,且AB=AC=5,圆心到BC的距离为1,求☉O的半径.解答:如图,过点A作AD⊥BC于点D,AD过圆心O,连接OB.设OB=OA=r.精选文档精选文档可修改编辑欢迎下载可修改编辑欢迎下载精选文档可修改编辑欢迎下载在Rt△ABD中,有BD2+AD2=AB2,即BD2+(r+1)2=52,①在Rt△BOD中,有BD2+OD2=OB2,即BD2+12=r2,②由①②可得r=.解:错误.有两种情况,①当△ABC为锐角三角形时,如文中解题过程,得r=.②当△ABC为钝角三角形时,圆心O不在△ABC内,则有BD2+(r-1)2=52,BD2+12=r2,得r=,故☉O的半径为.拓展探究突破练15.某公司临街面的外墙上有一块三角形的墙面发生破损现象(如图所示△ABC即是),公司领导让工人师傅做一个圆形广告牌,将破损面全部覆盖住,工人师傅量得∠B=45°,∠C=30°,BC=4m.为使所做广告牌最小,工人师傅给出两种
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:(1)作△ABC的外接圆;(2)以BC为直径作圆.问:哪个方案中的圆面积最小?是多少?解:作△ABC的外接圆☉O和以BC为直径的☉P.方案(2)中圆的面积较小,理由:∵∠ABC=45°,∠ACB=30°,∴∠BAC=180°-(45°+30°)=105°.∵∠BAC≠90°,∴△ABC的外接圆☉O的直径大于BC的长.∵☉P的直径为BC,☉O的直径大于BC的长,精选文档精选文档可修改编辑欢迎下载可修改编辑欢迎下载精选文档可修改编辑欢迎下载∴☉P的面积小于☉O的面积.∵☉P的半径为BP,∴S=BP2π.∵BC=4,∴BP=2,∴S=4π.∴圆的最小面积是4πm2..
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