04_02一维周期场中电子运动的近自由电子近似模型和微扰计算近自由电子近似模型——假定势场的起伏较小——电子受到原子实周期性势场的作用零级近似——用势场平均值代替原子实产生的势场——周期性势场的起伏量可以作为微扰来处理零级近似下电子的能量和波函数——空格子中电子的能量和波函数金属的线度零级近似下正交归一化——l为整数边界条件波矢取值——能量微扰下电子的能量本征值哈密顿量微扰理论——电子的能量本征值一级能量修正能量本征值二级能量修正——按原胞划分积分——引入积分变量势场是晶格周期性函数1)2)——V(x)第n个傅里叶系数二级修正项电子的能量本征值微扰下电子的波函数电子的波函数波函数的一级修正——计入微扰电子的波函数令可以证明电子波函数——布洛赫函数形式电子波函数的意义1)电子波函数和散射波——前进的平面波——势场作用产生的散射波散射波的波矢相关散射波成份的振幅相邻原子的散射波有相同的相位散射波电子入射波波长——布拉格反射条件在正入射时的结果波函数一级修正项散射波成份的振幅——微扰法不再适用了入射波波矢2)电子波函数和不同态之间的相互作用在零级波函数中掺入其它零级波函数——能量差越小掺入部分越大当时两个状态具有相同的能量——导致了波函数的发散电子能量的意义二级能量修正当——电子的能量是发散的——k和k’两个状态具有相同的能量____k和k’态简并电子波矢在附近的能量和波函数简并微扰——波函数由简并波函数线性组合构成状态——一个小量——主要影响的态——只考虑影响最大的状态__忽略其它状态的影响状态对状态的影响波函数薛定谔方程应用分别以或从左边乘方程，对x积分利用线性代数方程a,b有非零解1)波矢k离较远__k状态的能量和状态k’差别较大将按展开能量本征值k和k’能级相互作用——原来能级较高的k’提高原来能级较低的k下压量子力学中微扰作用——两个相互影响的能级总是原来较高的能量提高了原来较低的能量降低了——能级间“排斥作用”——原来能级较高的k’提高原来能级较低的k下压2)波矢k非常接近__k状态的能量和k’能量差别很小将按展开结果分析1)两个状态k和k’微扰后——能量变为E+和E-原能量高的态，能量提高；原能量低的态能量降低两个相互影响的状态k和k’微扰后——能量变为E+和E-2)当0时两种情形下完全对称的能级——A和B两个状态作用后的能级——C和D两个状态作用后的能级3)能带和带隙____禁带——零级近似__电子能量曲线为抛物线——k状态不计二级能量修正——微扰情形__电子的k不在附近3)能带和带隙____禁带——抛物线电子的一个状态波矢存在一个状态——两个态的能量相同电子的一个状态波矢存在一个状态——两个状态的能量相近由于周期性势场的微扰能量的突变——微扰只考虑两个态的作用能量本征值在处断开——禁带宽度电子波矢取值——1个l，1个量子态k能量本征值N很大——能量视为准连续周期性势场影响——准连续能级分裂为一系列能带能量本征值在处断开4)能带底部__能量向上弯曲——能带顶部__能量向下弯曲5)禁带出现在波矢空间倒格矢的中点处禁带宽度—取决于金属势场形式能带及一般性质自由电子的能谱晶体弱周期性势场的微扰——电子能谱在布里渊边界产生了宽度的禁带发生能量跃变远离布里渊区边界——近自由电子的能谱_____抛物线——每个波矢k有一个量子态原胞的数目趋于无限大时__波矢k变得非常密集——能级的准连续分布形成了一系列的能带——各能带之间是禁带在完整的晶体中禁带无允许的能级能带序号k的范围k的长度布里渊区第一布里渊区第二布里渊区第三布里渊区一维布喇菲格子——能带序号__能带涉及波矢k的范围与布里渊区的对应关系一维布喇菲格子——能带序号__能带波矢k所在的布里渊区的对应关系——每个能带中包含的量子态数目波矢k的取值—k的数目每个能带对应k的取值范围各个能带k的取值数目——原胞的数目计入电子自旋——每个能带中包含2N个量子态电子波矢和量子数－简约波矢的关系——第一布里渊区电子的波矢一维情形——m为整数的取值范围——平移算符本征值量子数k____简约波矢——l为整数——电子的波函数——晶格周期性函数将代入——晶格周期性函数晶体中电子的波函数电子在周期性势场中的波函数为布洛赫函数用简约波矢来
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示电子的能量——电子的能量——m为整数__对应于不同的能带第一能带位于简约布里渊区__其它能带通过倒格矢移到简约布里渊区——所有能带在简约布里渊区的图像——简约波矢的取值被限制在简约布里渊区要标志一个状态需要表明1) 它属于哪一个能带__能带标号2) 它的简约波矢是什么？电子波矢k和简约波矢的关系——周期性势场的起伏只使不同能带相同简约波矢的状态之间的相互影响不同能带之间出现带隙——禁带——对于一般的——远离布里渊边界——能量为准连续在用简约波矢来表示零级波函数零级波函数将代入得到简约波矢表示波函数——必须指明属于哪个能带——第一个能带——电子的波函数——第二个能带电子的波函数——第二个能带——第三个能带电子的波函数——第三个能带
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