幂指函数极限中等价无穷小代换的探讨

第!"卷#第$期##运城学院学报%&’(!"#)&($!**+年,*月#-&./01’&23.045607809:6/;9<=>4<(!**+幂指函数极限中等价无穷小代换的探讨冯变英!（运城学院应用数学系，山西运城*""***）##摘#要：幂指函数的极限若能恰当地使用等价无穷小代换可使求极限问题大大简化。本文主要通过对三种形式的幂指函数极限的无穷小 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式的变形、 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ，确定幂指函数可使用等价无穷小代换求极限的条件，使人们能尽快判断和使用等价小代换求幂指函数的极限。关键词：幂指函数；等价无穷小；代换；极限中图分类号：>,?"#文献标识码：@##文章编号：,**ABA**A（!**+）*$B**?CB*!##幂指函数的极限是一种重要的极限。我们常见的有三种形式：**，D*和,D，但它们的计算一般比较麻烦（参见文献［,］B［"］）。如果能恰当地使用等价无穷小代换，可使求极限问题大大简化。为了能够更好地使用等价无穷小代换求极限，我们首先将**，D*和,D三种形式的极限表示为无穷小的形式，然后再讨论如何使用等价无穷小代换来简化求极限。下面我们分别对三种形式的幂指函数的极限进行讨论。一、**中的等价无穷小代换(**型的极限可写为’9E"#，其中"F*和#均为某变化过程中的无穷小。引理：设!!*，!,!*为某变化过程中的无穷小。若!"!,，则,’0!",’0!,证明：!"!,，所以’9E,#’0!,#’0!,$’9E’0!’0!,$’9E,#!,#!,$,，从而有#,’0!",’0!,。定理,：!!*，!,!*和"，",均为某变化过程中的无穷小。若!"!,，""",，且’9E!",,$%（为了方便，在本文中允许%$&D，’&D$&D，’(D$*），则有’9E!"$’9E!",,$%证明：G!"!,，H,’0!",’0!,。又’9E!",,$%4*，因此，’9E’0!",,$’9E",’0!,$(D，%$*’0%，*)%)&D&D，%$&{D不论哪一种情况，都有’9E"’0!$’9E",’0!$’9E",,’0!,$’9E",’0!,’9E!"$’9E’"’0!$’9E’",’0!,$’9E!",,此定理说明，当’9E!",,$%时，’9E!"中的!和"均可代换为等价无穷小!,和",。例,求’9E*&*&（;90*）<10!*，（**型）解：’9E*&*&（;90*）<10!*$’9E*&*&*!*$’9E*&*&（**）!$,二、D*中的等价无穷小代换+D*型的极限可写为’9E,()!"$’9E,!"，其中!!*和"均为某变化过程中的无穷小。由定理,可得定理!。定理!：!!*，!,!*和"，",均为某变化过程中的无穷小。若!"!,，""",，且’9E,()!"$’9E,!(),",$%，则#’9E,()!"$’9E,!(),",$%此定理说明，当’9E（,!,）",$%时，!和"均可代换为等价无穷小!,和",。例!求’9E*&*&（4&<*）,’0*，（D*型）解：’9E*&*&（4&<*）,’0*$’9E*&*&（,<10*）,’0*$’9E*&*&（,*）,’0*$’9E*&*&’,’0*’0,*$’9E*&*&’,’0*（(’0*）$’(,三、在,D中的等价无穷小代换+,D型的极限可写为’9E（,&!）,"，其中!，"均为某变化过程中的无穷小。引理：设!，"为某变化过程中的无穷小。若’9E!"$%，则’9E（,&!）,"$’’9E!"$’%证明：’9E（,&!）,"$’9E’’0（,&!）"$’’9E’0（,&!）"’0（,&!）"!，H’9E（,&!）,"$’’9E’0（,&!）"$’’9E!"$’%（下转第A!页）·C?·!收稿日期：!**+B*CB*$作者简介：冯变英（,C+$B），女，山西万荣人，运城学院应用数学系副教授。!!"的极值#解：先求驻点，由$%&"%’"&#$(&$(’$&#$"&!"!!&#得%&!%，(&!%，"&!%所以驻点为)#（!%，!%，%）#再求&’((’)’矩阵，因为$%%&"，$%(&#，$%"&#，$(%&#，$((&$，$("&#，$"%&#，$"(&#，$""&!#所以**&"*#*##*$*##*#*!可知，*是正定的，所以$（%，(，"）在)#（!%，!%，%）点取得极小值：$（!%，!%，%）&（!%）"’"+（!%）"’++%"’"+（!%）’$+（!%）!!+%!!当然，此题也可用初等方法$（%，(，"）&%"’"("’+""’"%’$(!!"&（%’%）"’"（(’%）"’+（"!%）"!!，求得极小值!!，结果一样#参考文献：［%］华东师范大学数学系编,数学分析（第三版）［-］,北京：高等教育出版社,"##",［"］黄玉民，李成章,数学分析［-］,北京：科学出版社，%...,/,［+］刘玉琏,数学分析讲义学习辅导书（第二版）［-］,北京：高等教育出版社，"##+,【责任编辑*张凤琴】（上接第0.页）定理+：设!，!%，"，"%均为某变化过程中的无穷小。若!,!%，","%，且123!%"%&-，则有123（%’!）%"&123（%’!%）%"%&.-证明：123!%"%&-，4123!"&123!%"%，123（%’!）%"&.123!"&.123!%"%&123（%’!%）%"%这说明，当123!"&-时，123（%’!）%"中的无穷小量!，"可代换为等价无穷小!%，"%#将定理+中的条件123!%"%&-换为123（%’!%）%"%&-可得定理$定理$：设!，!%，"，"%均为某变化过程中的无穷小。若!,!%，","%，且123（%’!%）%"%&-，则有123（%’!）%"&123（%’!%）%"%&-证明：5123（%’!%）%"%&--#41231)（%’!%）%"%&1231)（%’!%）"%&123!%"%&!6，-&#1)-，#/-/’6’6，-&’{6不论哪一种情况，都有123!%"%&123!"4123（%’!）%"&123（%’!%）%"&-此定理说明当123（%’!%）%"&-时，123（%’!）%"中的!，"可代换为等价无穷小!%，"%。例+：求123%&#’（%’78)%）%1)（%’%），（%6型）解：当%&#’时，78)%,%，1)（%’%）,%#*123%&#’（%’78)%）%1)（%’%）&123%&#’（%’%）%%&.例$*123%&#(2)%()%%!"，（%6型）解：原式&123%&#%’(2)%%!()%%!"&123%&#%’(2)%!%()%%!"由于(2)%&%!%+！%+’0（%+），所以当%&#时，(2)%!%%,!%+！%"原式&123%&#%!%+！%()"%!"&.123%&#%+！%()"%!"&.%!例/*求123%&#%’78)%%’(2)()%%(2)+%，（%6型）解：123%&#%’78)%%’(2)()%%(2)+%&123%&#%’78)%!(2)%%’(2)()%%(2)+%78)%&%’%+%+’#（%+），(2)%&%!%+！%+’0（%+），所以，当%&#时，78)%!(2)%,%"%+，又(2)+%,%+，4123%&#%’78)%%’(2)()%%(2)+%&.123%&#%"%+%’(2)%·%%+&.%"四、总结由例%、"和例+可以看出，恰当使用等价无穷小代换可简化幂指函数的极限计算。但还是要具体情况具体分析。例如，并不是所有的%6型极限都要化为123（%9!）%"的形式来求极限。在使用中，大家要综合分析，选择简单的方法。参考文献：［%］华东师范大学数学系,数学分析［-］,,北京：高等教育出版社，%.:0,［"］吉林大学,数学分析［-］,北京：人民教育出版社，%.0:,［+］同济大学应用数学系,高等数学［-］,北京：高等教育出版社，"##",［$］高等数学解题指导,高等数学［-］,北京：中国商业出版社，%...,【责任编辑*张凤琴】·":·幂指函数极限中等价无穷小代换的探讨作者：冯变英，FENGBian-ying作者单位：运城学院,应用数学系,山西,运城,044000刊名：运城学院学报英文刊名：JOURNALOFYUNCHENGUNIVERSITY年，卷(期)：2006，24(5)被引用次数：4次参考文献(4条)1.华东师范大学数学系数学分析19872.吉林大学数学分析19783.同济大学应用数学系高等数学20024.高等数学解题指导1999相似文献(7条)1.期刊论文魏国祥.张隆辉.成明山关于等价无穷小替换求极限方法的推广-四川教育学院学报2008,24(5)将求极限时无穷小的因子可用其等价无穷小代替的结论推广到幂指函数的情形,给出了"和或差中的项"可用等价无穷小代替的条件.2.期刊论文沐国宝等价无穷小在求幂指函数极限中的应用-上海应用技术学院学报(自然科学版)2002,2(2)本文讨论了在幂指函数求极限的过程中利用等价无穷小量代换,提出了四条定理,并给出了证明.结合罗必塔法则,使幂指函数求极限的计算更加简练.3.期刊论文吴健辉.袁亚萍.WUJian-hui.YUANYa-Ping利用等价无穷小求解极限的简便方法-景德镇高专学报2006,21(4)介绍了三个定理,利用这三个定理在求解有关积分上限函数的极限及幂指函数的极限时更加简便.4.期刊论文吕杰"00"型极限的研究与探讨-宿州学院学报2008,23(2)从幂指函数的定义出发,结合复合函数的极限法则以及等价无穷小的性质,给出幂指函数极限的计算定理.首先通过对定理结论的分析得到""型的极限值是不确定的,说明此类型的极限是未定式.其次由幂指函数极限的计算定理结合等价无穷小替换原理,给出"O0"型未定式极限的计算定理以及"00"型未定式极限为1的充分条件定理.最后再通过实例,讲述定理的应用,并由所求得极限值的不同,进一步证明这一类型是一个未定式.5.期刊论文王莉萍.WANGLi-ping幂指函数几个性质的研究-湖北广播电视大学学报2007,27(8)利用f(x)g(x)=eg(x)Inf(x)(f(x)＞0)对幂指函数的极限、微分和积分进行了探讨,获得了应用更广泛更灵活的几个结果:将分式型不定式的等价无穷小代换定理、无穷小比较定理和洛必达法则推广到幂指型不定式中;给出了幂指函数求导的四种方法;得到了一类幂指函数的积分定理.所得结果从理论上系统解决了幂指函数的极限、微分和积分的求解问题.6.期刊论文姜根明.魏孝章等价无穷小的极限定理-西安联合大学学报2003,6(4)求极限时,正确使用等价无穷小代换,可以简化计算.在求两个无穷小之比的极限时,若分子及分母满足一定的条件,可将分子、分母用等价无穷小来代换.并进一步给出求极限时,若因式中某个因子是两个无穷小之和、差时,可用等价无穷小来代换的条件;给出了求幂指函数的极限时,其底和指数可分别用它相应的等价无穷小代换的条件及相关的一些结论.7.期刊论文李强函数极限中等价无穷小的应用探讨-铜仁学院学报2010,12(1)利用等价无穷小量作代换是计算极限的一种常用、方便、有效的方法.围绕无穷小之比、变上限积分的极限、幂指函数极限和Taylor 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ,利用等价无穷小代换思想进行分析应用,以此达到极限求解中化繁为简、化难为易的目的.引证文献(4条)1.朱美玉幂指函数的极限与导数问题[期刊论文]-濮阳职业技术学院学报2009(4)2.李泽衣幂指型不定式问题的进一步研究[期刊论文]-贺州学院学报2008(3)3.刘洪运幂指型未定式问题的新方法[期刊论文]-邢台职业技术学院学报2008(1)4.王莉萍幂指函数几个性质的研究[期刊论文]-湖北广播电视大学学报2007(8)本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_yuncxyxb200605037.aspx授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：16b3f464-a2ce-4202-8fd0-9dca00fe4d6a下载时间：2010年8月6日