二次函数y=ax+bx+c的图像与性质

22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质xyO一般地，抛物线y=a(x-h)+k与y=ax的相同，不同22形状位置y=ax2y=a(x-h)+k2上加下减左加右减抛物线有如下特点:1.当a﹥0时，开口，当a﹤0时，开口，向上向下2.对称轴是；3.顶点坐标是。直线X=h(h,k)直线x=–3直线x=1直线x=2向上向下向下（－3，5）（1，－2）（2，－6）你能说出二次函数y=—x－6x＋21图像的特征吗？212二次函数开口方向对称轴顶点坐标y=2(x+3)2+5y=-3(x-1)2-2y=-5(2-x)2-6通过前面的学习我们知道，画二次函数图像时，为了完整的表现出二次函数图象的走势，取点应该取顶点及其对称轴附近的值，且要具有对称性配方y=—(x―6)+3212你知道是怎样配方的吗？(1)“提”：提出二次项系数；(2)“配”：括号内配成完全平方；（3）“化”：化成顶点式。1、关于对称轴对称的点纵坐标相等。2、增减性所以二次函数通过开口方向和对称轴（顶点坐标）就可以判断其增减性x…3456789……7.553.533.557.5…利用配方法求下列抛物线的对称轴和顶点坐标并指出它的最值和增减性。(1)y=x2+4x-1(2)y=-0.5x2+2x-1配方函数y=ax²+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？函数y=ax²+bx+c的增减性呢？例：说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值以及增减性：1、应用公式求下列抛物线对称轴及顶点坐标，并说出它的开口方向、最值以及增减性？（1）y=3x2+2x（2）y=-2x2-8确定抛物线的对称轴及顶点的方法归纳1.抛物线y=-x2+mx-n的顶点坐标是（2，-3），求m，n的值。2.不画图象，说明抛物线y=-x2+4x+5可由抛物线y=-x2经过怎样的平移得到？y=ax²+bx+c当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点。增减性：左减右增当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。增减性：左增右减抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定向上向下函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质抛物线y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)增减性最值在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax²的关系1.相同点:(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).(2)都是轴对称图形.(3)都有最(大或小)值.(4)a>0时,开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随x的增大而增大.a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随x的增大而减小.2.不同点:(1)位置不同(2)顶点不同:分别是和(0,0).(3)对称轴不同:分别是和y轴.(4)最值不同:分别是和0.函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax²的关系B1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.不论k取任何实数，抛物线y=a(x+k)2+k(a≠0)的顶点都在A.直线y=x上B.直线y=-x上C.x轴上D.y轴上3.若二次函数y=ax2+4x+a-1的最小值是2,则a的值是4B.-1C.3D.4或-14.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如下,与x轴的一个交点为(1,0),则下列各式中不成立的是()A.b2-4ac>0B.abc>0C.a+b+c=0D.a-b+c<01CAxyo-1B()（）　5.若把抛物线y=x2+bx+c向左平移2个单位,再向上平移3个单位,得抛物线y=x2-2x+1,则A.b=2B.b=-6,c=6C.b=-8D.b=-8,c=186.若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx-3的大致图象是()()B-3-3-3-3C7.在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c的大致图象可能是（）C抛物线位置与系数a，b，c的关系：⑴a决定抛物线的开口方向：a＞0开口向上a＜0开口向下⑵a，b决定抛物线对称轴的位置:(对称轴是直线x=－—)① a，b同号对称轴在y轴左侧；② b=0对称轴是y轴；③a，b异号对称轴在y轴右侧2ab【左同右异】 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 一：⑶c决定抛物线与y轴交点的位置：①  c＞0↔图象与y轴交点在x轴上②  c=0↔图象过原点；③  c＜0↔图象与y轴交点在x轴下方。⑷顶点坐标是（，）。（5）二次函数有最大或最小值由a决定。当x=－—时,y有最大(最小)值y=b2a______________________4a4ac－b2小结：二次函数y=ax2+bx+c的系数a、b、c与图象的关系a决定图象的形状b影响对称轴的位置当b=0时，对称轴为.表达式是.当ab>0时，对称轴在y轴.当ab<0时，对称轴在y轴.y轴左侧右侧＞＞y=ax2+cc确定图象与y轴的交点：（0，c)当c＝0时图象过.表达式是.当c>0时图象与y轴半轴相交当c<0时图象与y轴半轴相交原点正负y=ax2+bx2.抛物线的图象开口最大的是()A.;B.y=-3x2;C.y=2x2;D.不确定;C1.函数y=ax2(a≠0)的图象与a的符号有关的是()A.对称轴;B.顶点坐标;C.开口方向;D.开口大小;A及时反馈：4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，那么下列判断正确的是()A.a＞0，b＞0,c＞0B.a＞0,b＞0,c＜0C.a＞0，b＜0,c＞0D.a＞0，b＜0,c＜0D及时反馈5.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则点M在()A.第一象限Ｂ.第二象限C.第三象限D.第四象限B典型例题解析【例1】已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图3-4-6所示，下列结论①a+b+c＜0，②a-b+c＞0；③abc＞0；④b=2a中正确个数为()A.4个B.3个C.2个D.1个A△（b2-4ac）的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定与x轴有两个交点b2-4ac>0与x轴有一个交点b2-4ac=0与x轴无交点b2-4ac<0（6）1、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyoa>0,b<0,c>0,△>0.练习2、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyoa>0,b>0,c=0,△>0.练习3、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyoa<0,b<0,c>0,△>0.练习4、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyoa>0,b=0,c>0,△=0.练习5、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyoa>0,b=0,c=0,△=0.练习6、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyoa<0,b>0,c<0,△<0.练习7、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点M（，a）在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限xoya<0,b>0,c>0,D练习8、已知：一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系中的大致图象是图中的（）（A）（B）（C）（D）C练习9、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0；④a+b-c＞0;⑤a-b+c＞0正确的个数是（）A、2个B、3个C、4个D、5个C练习知识点二：抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：（7）a+b+c的符号：由x=1时抛物线上的点的位置确定点在x轴上方点在x轴下方点在x轴上a+b+c>0a+b+c<0a+b+c=0（8）a-b+c的符号：由x=-1时抛物线上的点的位置确定点在x轴上方点在x轴下方点在x轴上a-b+c>0a-b+c<0a-b+c=011、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中下不正确的是（）A、abc＞0B、b2-4ac＞0C、2a+b＞0D、4a-2b+c＜0D练习试一试：已知;二次函数y=2x2-(m+1)x+(m-1).(1)求证:不论m为何值时,函数的图像与x轴总有交点,并指出m为何值时,只有一个交点；(2)当m为何值时,函数图像过原点,并指出此时函数图像与x轴的另一个交点；(3)若函数图像的顶点在第四象限,求m的取值范围.(2)另一个交点坐标为(1，0)(3)当m＞-1且m≠3时,抛物线的顶点在第四象限抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定小结4.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如下,与x轴的一个交点为(1,0),则下列各式中不成立的是（）A.b2-4ac>0B.<0C.a+b+c=0D.>0B5.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如下,与x轴的一个交点为(1,0),则下列各式中不成立的是()A.b2-4ac>0B.abc>0C.a+b+c=0D.a-b+c<0xyo1-1B6.若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx-3的大致图象是()7.在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c的大致图象可能是（）CC想一想函数y=ax2+bx+c和y=ax2的图象之间的关系是什么？形状、大小及开口方向完全相同，只是位置不同，可以通过平移而得到。一般地，我们可以用配方法求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点与对称轴