数学分析习题

第一章 第1章​ 函数、极限、连续 第一次 讨论题及练习题 1．下列说法能否作为 是数列 的极限的定义？ (1) 对任给的 ， ，使得当 时，不等式 成立； (2) 对于无穷多个 ，存在 ，当 时，恒有 成立； (3) ， ，当 时，有无穷多项 ，使 成立； (4) 对给定的 ，不等式 恒成立。 2．说明下列表述都可作为 是 极限的定义。 (1) ， ，当 时，恒有 成立； (2) ， ，当 时，恒有 成立； (3) ，存在 ，当 时，恒有 成立，其中 是正常数。 3．若 与 是两个发散系列，它们的和与积是否发散？为什么？若其中一个收敛 ，一个发散，它们的和与积的收敛性又如何？ 4．用 语言表述 不收敛于 。 5．下列计算方法是否正确？为什么？ (1) ； (2) 设 ，若 ，因为 ，两边取极限得 ，从而必有 ，故 。 6．证明：设 ，则 ，使 ， 。 7．下列结论是否正确？若有正确，请给出证明；若不正确，请举出反例。 (1) 若 ，则 ； (2) 若 ，则 ( )； (3) 若 ，则 ； (4) 若 ，则 ； (5) 若 ，则 ； (6) 若对任何实数， ，则 8．用 定义证明下列极限 (1) ； (2) 若 有界， ，则 。 9．设由数列 的奇数项与偶数项组成的两个子列收敛于同一个极限 ，证明 也收敛于 。 10．试证明：若 ， ，则 。 11．证明：任何实数都是某个有理数列的极限。 12．单调有界收敛准则中，若“数列 单调增(减)”改为“从某一项之后单调增(减)”结论成立吗？数列 是否收敛？若收敛，试求其极限值。 3．指出下面的作法是否正确？为什么？ ∵ ， ( ) ∴ ，从而 第二次讨论题及练习题 1．写出下列极限的定义 　　　　(1)　 　　　　　　　 (2)　 时， 2．试用 语言来表述当 时 不收敛于 。 3．证明 。 4．用极限的定义证明 。 5．用 语言给出 时 是无穷小量的定义。 6．下列命题是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请举出反例。 　　　　(1) 若 与 都存在，则 存在； (2) 若 与 都存在，则 必存在。 7．利用两个重要极限求下列极限。 　　　　(1) ；　　　　　　　(2)　 。 8．下列说法是否正确？为什么？ 　　　　(1) 无穷大量一定是无界变量； (2) 无穷大量与有界量的乘积是无穷大量。 9．利用无穷小的等价代换求极限 。 10．证明：函数 在 连续 在 既左连续又右连续。 11．两个在 处不连续函数之和在 是否一定不连续？若其中一个在 处连续，一个在 处不连续，则它们的和在 处是否一定不连续？ 12．证明：若 连续，则 也连续，逆命题成立吗？ 13．讨论函数 的连续性，若有间断点，判别其类型。 14．证明：函数 在 处连续 ， ，有 。 15．证明方程 至少有一个正根。 16．若 在 上连续， ，则在 上必有 ，使 。 17．证明：若 在 内连续，且 存在，则 必在 内有界。 2．判别下面的作法是否正确？为什么？ 4．证明方程 ，其中 ， ，至少有一个正根，并且它不超过 。 第2章​ 导数及其应用 第一次讨论题 1．设 在 的某邻域内有定义，则 在 处可导的一个充要条件为。 A) 存在，B) 存在， C) 存在，D) 存在。 2．若 在 处左可导且右可导，试问：函数 在 处连续吗？反之如何？ 3．1) 如果 在 处可导，那么是否存在 的邻域？在此邻域内 一定可导 2) 如果 在 点处可导，那么是否存在 的一个邻域，在此邻域内 一定连续？ 4．可导的周期函数的导数还是周期函数吗？非周期函数的导函数一定不是周期函数吗？ 5．设有分段函数 ，其中 和 均可导，问 是否成立？为什么？ 6．导数与微分之间的区别与联系是什么？ 7．能否用下面的方法证明Cauchy定理？为什么？ 对 ， 分别应用Lagrange定理得： 8．1) 若Rolle定理的三个条件中有一个不满足，试问Rolle定理的结论是否一定成立？为什么？ 2) 设 ，且 在 内可导， 试问：Rolle定理的逆命题成立吗？即，若 ，使 ，是否一定存在 ， ，使 ？ 3) 如果将Rolle定理中的条件改为： 在 内可导， 和 存在且相等，Rolle定理的结论还成立吗？为什么？ 9．1) 证明微分中值定理(Lagrange定理、Cauchy定理)的主要思想方法是什么？微分中值定理主要揭示了什么？ 2) 微分中值定理可以用来解决哪些相关问题？ 3) 构造辅助函数的方法有哪几种？ 10．设 在 处二阶可导，则 试问：1) 以上解法是否正确？为什么？　　　　 2) 正确的解法是什么？ 3) 如何改变原题设条件，才能使以上解法正确？ 11．1) 运用L Hospital法则能求哪些类型极限？ 2) 运用L Hospital法则求极限时应注意哪些问题？ 第二次讨论题及练习题 1．​ 已知 在其定义域内可导，它的图 形如右图所示，则其导函数 的图形为： 2．如果 ，由此可以断定 在 的某邻域内单调增吗？为什么？ 3．如果函数 在 处取极大值，能否肯定存在点 的邻域，使 在左半邻域内单调增，而在右半邻域内单调减？ 4．函数 在[a,b]上的最大(小)值点，一定是 在极值点吗？ 5．有人说：如果可导函数 与 当 时，有 ，那么，当 时，必有 ，这种说法正确吗？为什么？附加什么条件以上说法正确？ 6．利用导数的知识证明不等式常用的方法有哪些？ 7．利用导数的知识讨论方程根的存在性和根的个数时，常用的方法有哪些？ 8．求解最大最小值应用问题时，如何建立目标函数？ 9．设水以常速(即：单位时间注入的水的体积为 常数)注入右图所示的罐中，直至将水罐满。 1) 画出水位高度随时间变化的函数 的图形，(不要求精角图形，但应画出曲线的凸性并表示出拐点) 2) 在何处增长最快，何处最慢？估计这两个增长率的比值。 10．设 1) 求该函数的增减区间和极值， 2) 确定函数图形的凸性及拐点， 3) 求其渐近线， 4) 作出其草图。 11．我们知道，若 在 处可微，则 该结论与带有Peano余项的Taglor定理有何联系？有何区别？两种余项(即Peano余项、Lagrange余项)的共同之处是什么？不同之处是什么？ 12．设圆柱形铁皮罐头的体积为 ，高为 ，底面半径为 ，若 给定，问 应为何值时，可使罐头盒的表面积最小，从而使材费料最小？ 1) 不考虑材料的浪费等因素，试证 时，罐头盒的表面积最小。 2) 罐头盒的侧壁是用矩形铁皮围成，从大铁 皮板上切割矩形片不会产生多少边角费料，而如 果从一个正方形铁皮上切割一块块的圆生，不可 避免地余下一些边角料而造成浪，如右图如果把 费弃的边角料也计算在所用材料中，那么为了使 用去的材料最省，证明： 第3章​ 定积分及其应用 第一次讨论题与练习题 1．​ 下列积分哪些相等，为什么？其中 ① ② ③ ④ 2．​ 用定积分的几何意义说明： 3．​ 试述原函数、定积分、不定积分的关系。设 连续， ， ， 说明下列等式是否成立，为什么？ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 4．函数 与 在[-1,1]上是否可积？ 是否相等？为什么？ 5． 同题4，怎样计算 ，小结分积函数不定积分与定积分的计算法。 6． 在[a,b]上可积与 在[a,b]上原函数存在是否一回事？考察下列两个例子，说明这个问题。 ① 求其导函数 。 ② 同例4，这两题中的 在[-1,1]上是否可积？原函数是否存在？ 7．设 连续， (常数)， ，求 并讨论 的连续性。 8．计算 ， ， ， ， ( 连续)，并小结变上限积分的求导法。 9．计算① ，② ，求 并小结变上限积分求导的综合题还有哪些类型。 10．设 在[a, b]上可积，且 ①若 0，则 ，是否成立？ ②若 ，则 是否成立？ ③若 ， 都在[a, b]上可积， ，且 ，则 是否成立？ ④若 ， 在[a, b]上可积，且在[a, b]的任一个子区间 上 ，那么 ，是否成立？ ⑤若 ， 都在[a, b]上连续，则上面四个结论是否成立？若成立，试证明之。。 11．设 在[0, 1]上非负连续，(1)证明： ，使在 上以 为高的矩形面积等于区间 上以 为曲边的曲边梯形面积；(2)若 在[0, 1]可导，且 ，试证明(1)中的 是唯一的。 第二次讨论题与练习题 一块高为 ，底为 的等腰三角形板， ①垂直地沉入水中，顶在上，与水面相齐，底与水面平行； ②垂直地沉入水上，顶在下，底与水面相齐； ③底与水面相齐，且该板与水面成 角； 讨论各种情况薄板一侧所受水压力的积分表达式如何建立，并计算之。 1．​ 半径为的半球形水池 ①池中盛满水，将水池口全部抽出；②池中盛满水，将深 以上的水全部从池口抽出； ③池中盛满水，将水全部抽到距池口 的高处；④池中水的深入为 ，将水全部从容器口抽出； 讨论各种情况需作功的积分表达式，并计算之。 3．半径为 的球沉入水中，并与水面相接，球的此重 (与水相同)将球从水中捞出需作功多少？若 ，又将怎样计算。 4．由 ( ) ( )， ( )与 轴围成平面图形 ①绕 轴旋转一圈； ②绕直线 旋转一圈； ③绕直线 旋转一圈 ④绕直线 ( )旋转一圈； 建立以上四个旋转体体积的积分表达式，并计算曲线与 轴围成的图形，分别绕 轴、 轴、直线 旋转一圈所产生旋转体的体积。 5．直角三角形如图，A、C两处分别放置 两质点，质量为M、m，将质点m移到B点， 求引力所作功。 6．一圆环线密度 为常数，半径为R， 在圆环中垂线上与圆心相距为a处有一质 点m，求引力大小。 若圆环改为圆片，其面密度 常数，则如何求引力？ 7．双纽线，圆 ①求两曲线围成图形公共部分的面积。 ②求位于圆外、双纽线内部分图形的面积。 8．已知点A、B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1,)，线段AB绕 轴旋转一圈所成的旋转面为S，求由S及两平面 及 所围立体的体积。 9．设 在[a, b]可导， ， 证明： 唯一的 ，使得如图两块阴影区域的面积A1与A2，成立3A1=A2。