――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
三角函数
1、角的概念的推广:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边。
2、象限角的概念:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与
轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限。
3. 终边相同的角的表示:
(1)
终边与
终边相同(
的终边在
终边所在射线上)
EMBED Equation.DSMT4 ,注意:相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等.如与角
的终边相同,且绝对值最小的角的度数是___,合___弧度。
(答:
;
)
(2)
终边与
终边共线(
的终边在
终边所在直线上)
EMBED Equation.DSMT4 .
(3)
终边与
终边关于
轴对称
.
(4)
终边与
终边关于
轴对称
.
(5)
终边与
终边关于原点对称
.
(6)
终边在
轴上的角可表示为:
;
终边在
轴上的角可表示为:
;
终边在坐标轴上的角可表示为:
.如
的终边与
的终边关于直线
对称,则
=____________。
(答:
)
4、
与
的终边关系:由“两等分各象限、一二三四”确定.如若
是第二象限角,则
是第_____象限角
(答:一、三)
5.弧长公式:
,扇形面积公式:
,1弧度(1rad)
. 如已知扇形AOB的周长是6cm,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积。
(答:2
)
6、任意角的三角函数的定义:设
是任意一个角,P
是
的终边上的任意一点(异于原点),它与原点的距离是
,那么
,
,
EMBED Equation.DSMT4 ,
EMBED Equation.DSMT4 ,
。三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P的位置无关。如
(1)已知角
的终边经过点P(5,-12),则
的值为__。
(答:
);
(2)设
是第三、四象限角,
,则
的取值范围是_______
(答:(-1,
);
(3)若
,试判断
的符号
(答:负)
7.三角函数线的特征是:正弦线MP“站在
轴上(起点在
轴上)”、余弦线OM“躺在
轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点
处(起点是
)”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。如
(1)若
,则
的大小关系为_____
(答:
);
(2)若
为锐角,则
的大小关系为_______
(答:
);
(3)函数
的定义域是_______
(答:
)
8.特殊角的三角函数值:
30°
45°
60°
0°
90°
180°
270°
15°
75°
0
1
0
-1
1
0
-1
0
1
0
0
2-
2+
1
0
0
2+
2-
9. 同角三角函数的基本关系式:
(1)平方关系:
(2)倒数关系:sin
csc
=1,cos
sec
=1,tan
cot
=1,
(3)商数关系:
同角三角函数的基本关系式的主要应用是,已知一个角的三角函数值,求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时,要根据已知角的范围和三角函数的取值,尽可能地压缩角的范围,以便进行定号;在具体求三角函数值时,一般不需用同角三角函数的基本关系式,而是先根据角的范围确定三角函数值的符号,再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。如
(1)函数
的值的符号为____
(答:大于0);
(2)若
,则使
成立的
的取值范围是____
(答:
);
(3)已知
,
,则
=____
(答:
);
(4)已知
,则
=___;
=____
(答:
;
);
(5)已知
,则
等于
A、
B、
C、
D、
(答:B);
(6)已知
,则
的值为______
(答:-1)。
10.三角函数诱导公式(
)的本质是:奇变偶不变(对
而言,指
取奇数或偶数),符号看象限(看原函数,同时可把
看成是锐角).诱导公式的应用是求任意角的三角函数值,其一般步骤:(1)负角变正角,再写成2k
+
,
;(2)转化为锐角三角函数。如
(1)
的值为________
(答:
);
(2)已知
,则
______,若
为第二象限角,则
________。
(答:
;
)
11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:
如(1)下列各式中,值为
的是
A、
B、
C、
D、
(答:C);
(2)命题P:
,命题Q:
,则P是Q的
A、充要条件 B、充分不必要条件
C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件
(答:C);
(3)已知
,那么
的值为____
(答:
);
(4)
的值是______
(答:4);
(5)已知
,求
的值(用a表示)甲求得的结果是
,乙求得的结果是
,对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______
(答:甲、乙都对)
12. 三角函数的化简、计算、
证明
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的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心!第二看函数名称之间的关系,通常“切化弦”;第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:
(1)巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如
,
,
,
,
等),如
(1)已知
,
,那么
的值是_____
(答:
);
(2)已知
,且
,
,求
的值
(答:
);
(3)已知
为锐角,
,
,则
与
的函数关系为______
(答:
)
(2)三角函数名互化(切割化弦),如
(1)求值
(答:1);
(2)已知
,求
的值
(答:
)
(3)公式变形使用(
EMBED Equation.DSMT4 。如
(1)已知A、B为锐角,且满足
,则
=_____
(答:
);
(2)设
中,
,
,则此三角形是____三角形
(答:等边)
(4)三角函数次数的降升(降幂公式:
,
与升幂公式:
,
)。如
(1)若
,化简
为_____
(答:
);
(2)函数
的单调递增区间为____
(答:
)
(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如
(1)
(答:
);
(2)求证:
;
(3)化简:
(答:
)
(6)常值变换主要指“1”的变换(
等),如已知
,求
(答:
).
(7)正余弦“三兄妹—
”的内存联系――“知一求二”,如
(1)若
,则
__
(答:
),特别提醒:这里
;
(2)若
,求
的值。
(答:
);
(3)已知
EMBED Equation.DSMT4 ,试用
表示
的值
(答:
)。
13、辅助角公式中辅助角的确定:
(其中
角所在的象限由a, b的符号确定,
角的值由
确定)在求最值、化简时起着重要作用。如
(1)若方程
有实数解,则
的取值范围是___________.
(答:[-2,2]);
(2)当函数
取得最大值时,
的值是______
(答:
);
(3)如果
是奇函数,则
=
(答:-2);
(4)求值:
________
(答:32)
14、正弦函数和余弦函数的图象:正弦函数
和余弦函数
图象的作图方法:五点法:先取横坐标分别为0,
的五点,再用光滑的曲线把这五点连接起来,就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。
15、正弦函数
、余弦函数
的性质:
(1)定义域:都是R。
(2)值域:都是
,对
,当
时,
取最大值1;当
时,
取最小值-1;对
,当
时,
取最大值1,当
时,
取最小值-1。如
(1)若函数
的最大值为
,最小值为
,则
__,
_
(答:
或
);
(2)函数
(
)的值域是____
(答:[-1, 2]);
(3)若
,则
的最大值和最小值分别是____ 、_____
(答:7;-5);
(4)函数
EMBED Equation.DSMT4 的最小值是_____,此时
=__________
(答:2;
);
(5)己知
,求
的变化范围
(答:
);
(6)若
,求
的最大、最小值
(答:
,
)
。特别提醒:在解含有正余弦函数的问题时,你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗?
(3)周期性:①
、
的最小正周期都是2
;②
和
的最小正周期都是
。如
(1)若
,则
=___
(答:0);
(2) 函数
EMBED Equation.DSMT4
的最小正周期为____
(答:
);
(3) 设函数
,若对任意
都有
成立,则
的最小值为____
(答:2)
(4)奇偶性与对称性:正弦函数
是奇函数,对称中心是
,对称轴是直线
;余弦函数
是偶函数,对称中心是
,对称轴是直线
(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于
轴的直线,对称中心为图象与
轴的交点)。如
(1)函数
的奇偶性是______、
(答:偶函数);
(2)已知函数
为常数),且
,则
______
(答:-5);
(3)函数
的图象的对称中心和对称轴分别是_______、_______
(答:
、
);
(4)已知
为偶函数,求
的值。
(答:
)
(5)单调性:
上单调递增,在
单调递减;
在
上单调递减,在
上单调递增。特别提醒,别忘了
!
16、形如
的函数:
(1)几个物理量:A―振幅;
―频率(周期的倒数);
―相位;
―初相;
(2)函数
表达式的确定:A由最值确定;
由周期确定;
由图象上的特殊点确定,如
,
的图象如图所示,则
=_____(答:
);
(3)函数
图象的画法:①“五点法”――设
,令
=0,
求出相应的
值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变换法:这是作函数简图常用方法。
(4)函数
的图象与
图象间的关系:①函数
的图象纵坐标不变,横坐标向左(
>0)或向右(
<0)平移
个单位得
的图象;②函数
图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的
,得到函数
的图象;③函数
图象的横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,得到函数
的图象;④函数
图象的横坐标不变,纵坐标向上(
)或向下(
),得到
的图象。要特别注意,若由
得到
的图象,则向左或向右平移应平移
个单位,如
(1)函数
的图象经过怎样的变换才能得到
的图象?
(答:
向上平移1个单位得
的图象,再向左平移
个单位得
的图象,横坐标扩大到原来的2倍得
的图象,最后将纵坐标缩小到原来的
即得
的图象);
(2) 要得到函数
的图象,只需把函数
的图象向___平移____个单位
(答:左;
);
(3)将函数
图像,按向量
平移后得到的函数图像关于原点对称,这样的向量是否唯一?若唯一,求出
;若不唯一,求出模最小的向量
(答:存在但不唯一,模最小的向量
);
(4)若函数
的图象与直线
有且仅有四个不同的交点,则
的取值范围是
(答:
)
(5)研究函数
性质的方法:类比于研究
的性质,只需将
中的
看成
中的
,但在求
的单调区间时,要特别注意A和
的符号,通过诱导公式先将
化正。如
(1)函数
的递减区间是______
(答:
);
(2)
的递减区间是_______
(答:
);
(3)设函数
的图象关于直线
对称,它的周期是
,则
A、
B、
在区间
上是减函数
C、
D、
的最大值是A
(答:C);
(4)对于函数
给出下列结论:
①图象关于原点成中心对称;
②图象关于直线
成轴对称;
③图象可由函数
的图像向左平移
个单位得到
;④图像向左平移
个单位,即得到函数
的图像。
其中正确结论是_______
(答:②④);
(5)已知函数
图象与直线
的交点中,距离最近两点间的距离为
,那么此函数的周期是_______
(答:
)
17、正切函数
的图象和性质:
(1)定义域:
。遇到有关正切函数问题时,你注意到正切函数的定义域了吗?
(2)值域是R,在上面定义域上无最大值也无最小值;
(3)周期性:是周期函数且周期是
,它与直线
的两个相邻交点之间的距离是一个周期
。绝对值或平方对三角函数周期性的影响:一般说来,某一周期函数解析式加绝对值或平方,其周期性是:弦减半、切不变.既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值,其周期性不变,其它不定。 如
的周期都是
, 但
的周期为
,而
,
的周期不变;
(4)奇偶性与对称性:是奇函数,对称中心是
EMBED Equation.DSMT4 ,特别提醒:正(余)切型函数的对称中心有两类:一类是图象与
轴的交点,另一类是渐近线与
轴的交点,但无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处。
(5)单调性:正切函数在开区间
内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。如下图:
18. 三角形中的有关公式:
(1)内角和定理:三角形三角和为
,这是三角形中三角函数问题的特殊性,解题可不能忘记!任意两角和与第三个角总互补,任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形
三内角都是锐角
三内角的余弦值为正值
任两角和都是钝角
任意两边的平方和大于第三边的平方.
(2)正弦定理:
(R为三角形外接圆的半径).注意:①正弦定理的一些变式:
;
;
;②已知三角形两边一对角,求解三角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解.
(3)余弦定理:
等,常选用余弦定理鉴定三角形的形状.
(4)面积公式:
(其中
为三角形内切圆半径).如
中,若
,判断
的形状(答:直角三角形)。
特别提醒:(1)求解三角形中的问题时,一定要注意
这个特殊性:
;(2)求解三角形中含有边角混合关系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如
(1)
中,A、B的对边分别是
,且
,那么满足条件的
A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定
(答:C);
(2)在
中,A>B是
成立的_____条件
(答:充要);
(3)在
中,
,则
=_____
(答:
);
(4)在
中,
分别是角A、B、C所对的边,若
EMBED Equation.DSMT4 ,则
=____
(答:
);
(5)在
中,若其面积
,则
=____
(答:
);
(6)在
中,
,这个三角形的面积为
,则
外接圆的直径是_______
(答:
);
(7)在△ABC中,a、b、c是角A、B、C的对边,
= ,
的最大值为
(答:
);
(8)在△ABC中AB=1,BC=2,则角C的取值范围是
(答:
);
(9)设O是锐角三角形ABC的外心,若
,且
的面积满足关系式
,求
(
答:
).
19.反三角函数:(1)反三角函数的定义(以反正弦函数为例):
表示一个角,这个角的正弦值为
,且这个角在
内
。(2)反正弦
、反余弦
、反正切
的取值范围分别是
.
在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的倾斜角、
到
的角、
与
的夹角以及两向量的夹角时,你是否注意到了它们的范围?
,
,
.
20、求角的方法:先确定角的范围,再求出关于此角的某一个三角函数(要注意选择,其标准有二:一是此三角函数在角的范围内具有单调性;二是根据条件易求出此三角函数值)。如
(1)若
,且
、
是方程
的两根,则求
的值______
(答:
);
(2)
中,
,则
=_______
(答:
);
(3)若
且
,
,求
的值
(答:
).
� EMBED PowerPoint.Slide.8 ���
� EMBED Equation.DSMT4 ���
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� EMBED Equation.DSMT4 ���
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关于艾滋病ppt课件精益管理ppt下载地图下载ppt可编辑假如ppt教学课件下载triz基础知识ppt
三角函数图象几何性质
x
O
y
x=x1
x=x2
x4
邻中心|x3-x4|=T/2
邻轴|x1-x2|=T/2
无穷对称中心:
由y=0确定
无穷对称轴:
由y=A或-A确定
y=Asin(ωx+φ)
x3
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三角函数图象几何性质
x
O
y
x=x1
x=x2
x4
邻中心|x3-x4|= T/2
邻渐近线|x1-x2|=T
无穷对称中心:
由y=0或 y无意义确定
y=Atan(ωx+φ)
x3
无对称轴
任意一条y轴的垂线与正切
函数图象都相交,且相邻两
交点的距离为一个周期!
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