专题七 二次函数特殊四边形的存在性问题

专 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 七二次函数综合题类型三　特殊四边形的存在性问题(遵义2014.27(3)；铜仁2018.25(2))【 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 指导】①平行四边形的判定已知问题找点求点坐标已知三个点已知平面上不共线三个点A、B、C，求一点P，使得A、B、C、P四个点组成平行四边形连接AB、AC、BC，分别过点A、B、C作对边的平行线，三条平行线的交点即为所有点P  ①分别求出直线P1P2，P2P3，P1P3的解析式，再求出交点即为P点；②可由点的平移来求坐标②矩形、菱形的判定方法参照①中平行四边形的判定．已知两个点已知平面上两个点A、B，求两点P、Q，使得A、B、P、Q四个点组成平行四边形(题目中P、Q的位置有具体限制)分两种情况讨论： ①若AB为平行四边形的边，将AB上下左右平移，确定P、Q的位置；②若AB为平行四边形的对角线，取AB中点，旋转经过中点的直线确定P、Q的位置①通过点的平移，构造全等三角形来求坐标； ②由中点坐标 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 可推出：坐标系中▱ABCD的四个点A、B、C、D的坐标满足xA＋xC＝xB＋xD；yA＋yC＝yB＋yD例　已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点．(1)求抛物线的解析式、顶点坐标和对称轴；例题图①【思维教练】 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 抛物线的解析式，需将A，B，C三点坐标代入y＝ax2＋bx＋c中，解方程组即可；把抛物线一般式化成顶点式，可得抛物线的顶点坐标和对称轴．解：将点A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点代入y＝ax2＋bx＋c中，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3.把y＝x2－4x＋3化成顶点式为y＝(x－2)2－1，∴抛物线的顶点坐标为(2，－1)，对称轴是直线x＝2；(2)过点C作CD平行于x轴，交抛物线对称轴于点D，试判断四边形ABDC的形状，并说明理由；例题图②【思维教练】要判断四边形ABDC的形状，观察发现：四边形ABDC为平行四边形，结合已知条件有CD∥AB，再设法证明AB＝CD即可．解：四边形ABDC是平行四边形．理由如下：∵D点在抛物线的对称轴上，CD∥x轴，∴D点的横坐标为2，即CD＝2，∵A(1，0)，B(3，0)，∴AB＝2，∴AB＝CD，又∵CD∥AB，∴四边形ABDC是平行四边形；(3)如果点G是直线BC上一点，点H是抛物线上一点，是否存在这样的点G和H，使得以G，H，O，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点H的坐标；例题图③【思维教练】先假设存在满足条件的点G和H，由于OC的长度和位置确定，所以点G、H的纵坐标之差的绝对值与OC相等，据此可求出点H的坐标．解：存在，如解图①，设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将点B(3，0)，C(0，3)代入可得：，解得，∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.∵点G在直线BC上，点H在抛物线上，且以点G，H，O，C构成的四边形是以OC为边的平行四边形，∴GH⊥x轴，GH＝OC，∴设G点坐标为(n，－n＋3)，H点坐标为(n，n2－4n＋3)，例题解图①∵GH＝OC＝3，∴GH＝|n2－4n＋3－(－n＋3)|＝|n2－3n|＝3，当n2－3n＝3时，解得n＝；当n2－3n＝－3时，方程无解；∵当n＝时，n2－4n＋3＝；当n＝时，n2－4n＋3＝.综上所述，存在这样的点G和H，使得以G，H，O，C为顶点的四边形是平行四边形，点H的坐标为(，)或(，)；例题解图①(4)如果点M在直线BC上，点N在抛物线上，是否存在这样的点M和N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点N的坐标； 例题图④【思维教练】先假设存在满足条件的点M、N，因为AB长度和位置确定，故需分AB作边还是对角线两种情况进行讨论：当AB为边时，则MN∥AB，且MN＝AB，据此可求出点N的坐标；当AB为对角线时，则MN与AB互相平分，从而确定点N的坐标．解：存在点M，N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形．①当AB为平行四边形的边时，需考虑点M和N的位置关系(即点M在点N的左边还是右边)，如解图②，(ⅰ)当点M在点N的左边时，设点N的坐标为(m，m2－4m＋3)，则点M的坐标为(m－2，－m＋5)，∵四边形ABNM是平行四边形，∴m2－4m＋3＝－m＋5，解得m＝，当m＝时，m2－4m＋3＝；当m＝时，m2－4m＋3＝.∴点N的坐标为(，)或(，)；例题解图②(ⅱ)当点M在点N的右边时，设点N′的坐标为(m，m2－4m＋3)，则点M′的坐标为(m＋2，－m＋1)，∵四边形ABM′N′是平行四边形，∴m2－4m＋3＝－m＋1，解得m＝1或2，∵当m＝1时，点N与点A重合，故舍去；当m＝2时，m2－4m＋3＝－1，∴点N的坐标为(2，－1)；②当AB为平行四边形的对角线时，则MN与AB互相平分，如解图③，AB与MN相交于点J，易得J(2，0)，易得AJ＝NJ＝BJ＝MJ，设M(m，－m＋3)，N(n，n2－4n＋3)，则有＝2，－m＋3＋n2－4n＋3＝0，整理，得n2－3n＋2＝0，解得n1＝1(舍去)，n2＝2，∴N点坐标为(2，－1)．综上所述，点N的坐标为(，)，(，)，(2，－1)；例题解图③(5)设抛物线的对称轴与直线BC的交点为K，点P是抛物线对称轴上一点，点Q为y轴上一点，是否存在这样的点P和Q，使得四边形CKPQ是菱形？如果存在，请求出点P的坐标；例题图⑤【思维教练】先假设存在满足条件的点P，由于四边形CKPQ四个顶点顺序已确定，则CK为菱形的边，故利用KP＝CK上下平移直线BC，与抛物线对称轴的交点即为所求点P.解：存在．理由如下：∵K点的坐标为(2，1)，∴CK＝，假如存在这样的点P，使得四边形CKPQ为菱形，则KP＝CK＝2，如解图④，当点P在点K的下方时，点P1的坐标为(2，1－2)，当点P在点K的上方时，点P2的坐标为(2，1＋2)．∴点P的坐标为(2，1－2)或(2，1＋2)；例题解图④(6)若点R是抛物线对称轴上一点，点S是平面直角坐标系内任一点，是否存在满足条件的点R、S，使得四边形BCRS为矩形？若存在，求出点R、S的坐标．例题图⑥【思维教练】先假设存在满足条件的点R、S，要使四边形BCRS为矩形，则点R在直线BC上方，且∠BCR＝90°，可通过寻找相似三角形利用相似求出点R，再根据矩形性质求出点S.解：存在，如解图⑤，要使四边形BCRS为矩形，抛物线对称轴交x轴于点T，则∠BCR＝90°，∴△CRK∽△TBK，∴，由(5)知，K(2，1)，CK＝2，∵T(2，0)，TK＝1，BK＝，∴RK＝＝4，∴R(2，5)，∵CB∥RS，CB＝RS，根据点平移及矩形性质可得S(5，2)．故存在满足条件的点R、S，使得四边形BCRS为矩形，且点R、S的坐标分别为R(2，5)，S(5，2)．例题解图⑤针对演练(3)平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF可能为菱形，理由如下：当平行四边形OEAF的面积为24时，即－4x2＋28x－24＝24，化简，得x2－7x＋12＝0，解得x＝3或4，当x＝3时，EO＝EA，则平行四边形OEAF为菱形；当x＝4时，EO≠EA，则平行四边形OEAF不为菱形．∴平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF可能为菱形．解：(1)∵C1与C2关于y轴对称，∴C1与C2交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，∴a＝1，n＝－3，∴C1的对称轴为x＝1，∴C2的对称轴为x＝－1，∴m＝2，∴C1：y＝x2－2x－3，C2：y＝x2＋2x－3；(2)令C2中y＝0，则x2＋2x－3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，∵点A在点B左侧，∴A(－3，0)，B(1，0)；(3)存在．如解图，设P(a，b)，第2题解图∵四边形ABPQ是平行四边形，∴PQ＝AB＝4，∴Q(a＋4，b)或(a－4，b)．①当Q(a＋4，b)时，得a2－2a－3＝(a＋4)2＋2(a＋4)－3，解得a＝－2，∴b＝a2－2a－3＝4＋4－3＝5，∴P1(－2，5)，Q1(2，5)；②当Q(a－4，b)时，得a2－2a－3＝(a－4)2＋2(a－4)－3，解得a＝2，∴b＝a2－2a－3＝4－4－3＝－3.∴P2(2，－3)，Q2(－2，－3)．综上所述,所求点的坐标为P1(－2，5),Q1(2，5)或P2(2，－3)，Q2(－2，－3)．类型四　相似三角形的存在性问题(铜仁2018.25(3))【方法指导】△ABC与△DEF相似，在没指明对应点的情况下，理论上应分六种情况讨论，但实际问题中通常不超过四种，常见有如下两种类型，每类分两种情况讨论就可以了．两个三角形均为直角三角形两个三角形有一个公共角若△ABC与△DEF相似，∠B＝∠E＝90°，则△ABC∽△DEF或△ABC∽△FED若△ABC与△AEF相似，则△ABC∽△AEF或△ABC∽△AFE　　　另外，如果不满足以上两种情况，①但可以确定已知三角形的形状(特征)时，先确定动态三角形中固定的因素，看是否与已知三角形中有相等的角，若存在，根据分类讨论列比例关系式求解；②已知条件中有一条对应边，只需要讨论另外两条边的对应关系，列比例关系式求解；③若可得相似三角形的某个对应角的度数时，分类讨论另外两个角的对应情况，列比例关系式求解．例　如图，抛物线图象交x轴于A、B两点，且点A位于x轴的正半轴，点B位于x轴的负半轴，且OA＝，OB＝3.抛物线交y轴于点C(0，3)．(1)求抛物线的解析式；例题图①【思维教练】要求抛物线的解析式，已知OA，OB的长度，可知点A、B的坐标，再结合点C的坐标，利用待定系数法即可确定抛物线的解析式．解：∵OA＝，点A在x轴的正半轴，∴A(，0)，∵OB＝3，点B在x轴的负半轴，∴B(－3，0)，设抛物线的解析式为：y＝ax2＋bx＋c，将点A(，0)，B(－3，0)，C(0，3)代入，得，解得，即此抛物线的解析式为y＝－x2－x＋3；(2)连接AC、BC，则在坐标轴上是否存在一点D，使得△ABC∽△ACD(点D不与点B重合)，若存在，请求出点D坐标；例题图②【思维教练】要在坐标轴上找一点D，使得△ABC∽△ACD，由(1)知A、B、C三点坐标，可判断出△ABC为直角三角形，则可知△ACD必是直角三角形且点D对应直角顶点，根据相似三角形对应边成比例可求得点D的坐标．解：存在，如解图①，∵tan∠OCA＝，∴∠OCA＝30°，∵tan∠BCO＝，∴∠BCO＝60°，∴∠ACB＝90°，∴△ABC为直角三角形，∵△ABC∽△ACD，且点D在坐标轴上，由题易知，AB＝4，AC＝2，BC＝6，∴，即，∴CD＝3，∵C(0，3)，∴D(0，0)；例题解图①(3)设抛物线的对称轴分别交抛物线，x轴于点E，F，在x轴上是否存在一点G(不与点F重合)，使得△AEF与△AEG相似，若存在，请求出点G坐标；【思维教练】要使△AEF与△AEG相似，因为△AEF为直角三角形，需考虑△AEG中哪个角为直角的情况：当点G在x轴上时，分△AEF∽△AGE和△AEF∽△AEG两种情况．例题图③解：存在，∵△AEF是直角三角形，且△AEF与△AEG相似，∴△AEG也是直角三角形，点G在x轴上，分两种情况讨论：①当△AGE∽△AEF时，由(1)知A(，0)，E(－，4)，EF＝4，AF＝2，根据勾股定理，得AE＝2，∴，∴AE2＝AG·AF，解得AG＝，∴OG＝AG－OA＝，即G(－，0)；②当△AEF∽△AEG时，点F与点G重合，∴综上所述，G点坐标为(－，0)；(4)直线AC与抛物线的对称轴交于M点，在y轴上是否存在一点N，使得△AOC与△MNC相似，若存在，请求出点N坐标；例题图④【思维教练】要使△AOC与△MNC相似，因为∠ACO＝∠MCN，则需考虑∠AOC＝90°这个直角与哪个角对应，从而分以下两种情况讨论：①△AOC∽△MNC，②△AOC∽△NMC，根据对应边成比例计算出点N的坐标．解：存在，设直线AC的解析式为y＝kx＋b，将A(，0)，C(0，3)代入，∴直线AC的解析式为y＝－x＋3，易知AC＝2，又∵抛物线对称轴为x＝－，∴将x＝－代入y＝－x＋3中，得y＝6，∴M(－，6)，又∵C(0，3)，∴MC＝.分以下两种情况讨论：(ⅰ)如解图②，过点M作MN⊥y轴于点N，此时△AOC∽△MNC，则此时，点N与点M纵坐标相等，∴N(0，6)； 例题解图②(ⅱ)如解图③，过点M作MN⊥AC于点M，此时△AOC∽△NMC，∴，即，∴NC＝4，则ON＝OC＋NC＝7，∴N(0，7)．综上所述：满足要求的点N的坐标为(0，6)或(0，7)；例题解图③(5)在抛物线上是否存在点P，使△AOC与△ACP相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．例题图⑤【思维教练】要使△AOC与△ACP相似，因为△AOC是直角三角形，而△ACP中三个内角均可能为直角，故需分三种情况讨论，在每种情况之下，求出对应点，再看求出的点是否满足三角形相似的条件．解：存在，∵△AOC是直角三角形，△AOC与△ACP相似，∴△ACP也是直角三角形，分以下三种情况讨论：(ⅰ)如解图④，当点P与点B重合，即∠ACP＝90°时， ∵∠AOC＝∠ACB，∠CAO＝∠BAC，∴△AOC∽△ACB，此时，点P的坐标为(－3，0)；例题解图④(ⅱ)如解图⑤，当∠CAP＝90°时，AC2＋AP2＝CP2， 设点P坐标为(x，－x2－x＋3)，∵A(，0)，C(0，3)，∴AC2＝()2＋32＝12，AP2＝(x－)2＋(x2＋x－3)2，CP2＝x2＋(3＋x2＋x－3)2，即12＋(x－)2＋(x2＋x－3)2＝x2＋(3＋x2＋x－3)2，解得x＝或－4.当x＝时y＝0，点P与点A重合，故舍去，∴P(－4，－5)；例题解图⑤AP＝.∵，＝2，，，∴，.∴△AOC与△ACP不相似，∴P(－4，－5)(舍去)；(ⅲ)如解图⑥，当∠CPA＝90°时，以AC为直径作圆，此圆过点O、A、C，不与抛物线有其他交点，则不存在符合要求的点P. 综上所述：满足条件的点P的坐标为(－3，0)．例题解图⑥1.(2018乌鲁木齐)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(－2，0)，B(8，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)点C是抛物线与y轴的交点，连接BC，设点P是抛物线上在第一象限内的点，PD⊥BC，垂足为点D.①是否存在点P，使线段PD的长度最大，若存在，请求出点P的坐标；②当△PDC与△COA相似时，求点P的坐标．第1题图解：(1)将A(－2，0)，B(8，0)代入y＝－x2＋bx＋c得，∴抛物线解析式为：y＝－x2＋x＋4；在Rt△PDE中，PD＝PE·sin∠PED＝PE·sin∠OCB＝PE·＝PE·＝PE，∴当线段PE最长时，PD的长度最大．设P(t，－t2＋t＋4)，∵点E在直线BC上，且点E，G的横坐标与点P的横坐标相等，∴E(t，－t＋4)，G(t，0)，即PG＝－t2＋t＋4，EG＝－t＋4，∴PE＝PG－EG＝－t2＋2t＝－(t－4)2＋4(0 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示的二次函数的表达式；例题图【思维教练】将点A、B分别代入抛物线的表达式，通过解方程组，可得到b，c的值．解：将点A(－1，0)，B(0，－2)代入y＝x2＋bx＋c中，得，解得，∴二次函数表达式为y＝x2－x－2；(2)在抛物线上找出两点P1、P2，使得△MP1P2与△MCB全等，并求出P1、P2的坐标．【思维教练】利用全等时对应边相等，结合抛物线的对称性，分两种情况：①分别作B、C点关于对称轴对称的点，所作对称点即为所求P1，P2点；②作BC的平行线，与抛物线的交点，即为所求P点．例题图解：令y＝x2－x－2＝0，得x1＝－1，x2＝2，所以点C的坐标为(2，0)．易得抛物线对称轴为x＝－，①如解图，取点C关于对称轴l的对称点A，点B关于对称轴l的对称点为B′(1，－2)，则当点P1，P2与A，B′重合时，有△MP1P2与△MBC全等，此时，P1(－1，0)，P2(1，－2)．例题解图②过点M作MP1′∥BC，交抛物线于点P1′，如解图，若△MP1′C≌△CBM，则MP1′＝CB.∴四边形MBCP1′为平行四边形，∴xM－xB＝xP1′－xC；∴＝xM－xB＋xC＝－0＋2＝.将x＝代入y＝x2－x－2中，得y＝，∴P1′(，)，此时P2′与C点重合，∴P1′(，)，P2′(2，0)．综上所述，满足条件的P1，P2点的坐标分别为P1(－1，0)，P2(1，－2)；P1′(，)，P2′(2，0)．例题解图1.(2017包头)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(2，0)两点，与y轴交于点C.(1)求该抛物线的解析式；(2)直线y＝－x＋n与抛物线在第四象限内交于点D，与线段BC交于点E，与x轴交于点F，且BE＝4EC.①求n的值；②连接AC，CD，线段AC与线段DF交于点G，△AGF与△CGD是否全等？请说明理由．第1题图解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(2，0)两点，将A(－1，0)，B(2，0)代入抛物线解析式可得，解得，∴该抛物线的解析式为y＝x2－x－3；(2)①如解图，过点E作EE′⊥x轴于点E′，∴E′E∥OC，∴＝，∵BE＝4CE，∴BE′＝4OE′，设点E的坐标为(x，y)，∴OE′＝x，BE′＝4x.∵点B坐标为(2，0)，∴OB＝2，∴x＋4x＝2，∴x＝，∵抛物线y＝x2－x－3与y轴交于点C，∴当x＝0时，y＝－3，∴C(0，－3)．第1题解图设直线BC的解析式为y＝kx＋b1，∵B(2，0)，C(0，－3)，将B、C两点代入解析式，得，解得k＝，∴直线BC的解析式为y＝x－3.∵当x＝时，代入直线BC的解析式，得y＝－，∴E(，－)．∵点E在直线y＝－x＋n上，∴－＋n＝－，∴n＝－2；②全等；理由如下：∵直线EF的解析式为y＝－x－2，∴当y＝0时，x＝－2，∴F(－2，0)，∴OF＝2.∵A(－1，0)，∴OA＝1，∴AF＝1，∵抛物线与直线y＝－x－2相交于点D，联立方程，得，解得或.∵点D在第四象限，∴点D的坐标为(1，－3)．∵点C的坐标为(0，－3)，∴CD∥x轴，CD＝1，∴∠AFG＝∠CDG，∠FAG＝∠DCG，∵CD＝AF＝1，∴△AGF≌△CGD(ASA)．2.如图，一次函数y＝－x＋2与坐标轴分别交于A，B两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A，B，点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线BA运动，点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AO运动，两点同时出发，运动时间为t秒．(1)求此抛物线的表达式；(2)求当△APQ为等腰三角形时，所有满足条件的t的值；(3)点P在线段AB上运动，请直接写出t为何值时，△APQ的面积达到最大？此时，在抛物线上是否存在一点T，使得△APT≌△APO？若存在，请直接写出点T的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图解：(1)把x＝0代入y＝－x＋2中，得y＝2.把y＝0代入y＝－x＋2中，得x＝2.∴A(2，0)，B(0，2)，把A(2，0)，B(0，2)分别代入y＝－x2＋bx＋c中，得b＝，c＝2，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋2；(2)∵OA＝2，OB＝2，由勾股定理，得AB＝＝4，∴∠BAO＝30°.运动t秒后，AQ＝t，BP＝2t.由△APQ为等腰三角形，有QA＝QP，AP＝AQ，PA＝PQ三种情况，①当QP＝QA时，如解图①，过点Q作QD⊥AB于点D，则D为AP的中点．在Rt△ADQ中，QD＝AQ＝t，AD＝PD＝AQ＝t，∴AP＝t，∵BP＋AP＝AB，∴2t＋t＝4.解得t＝8－4；第2题解图①②当AP＝AQ时，(ⅰ)若点P在x轴上方的直线AB上，AP＝t，BP＝2t，BP＋AP＝AB，∴t＋2t＝4，解得t＝.(ⅱ)若点P在x轴下方的直线AB上，∵AP＝BP－AB＝AQ，∴2t－4＝t，解得t＝4；③当PA＝PQ时，如解图②，过点P作PE⊥AO于点E.则AE＝AQ＝t，在Rt△PEA中，PE＝AE＝t.AP＝2PE＝t.∵BP＋AP＝AB，∴2t＋t＝4.解得t＝.综上所述，当△APQ为等腰三角形时，t的值为8－4或或4或；第2题解图②(3)如解图③，过点P作PF⊥AO于点F，延长FP交抛物线于点T，连接AT.∴PF为△APQ底边AQ上的高．∵AP＝4－2t，∠BAO＝30°，∴PF＝AP＝2－t.∴S△APQ＝AQ·PF＝×t×(2－t)＝－(t－1)2＋.∴当t＝1时，△APQ的面积最大．此时点P为AB的中点，且P(，1)．连接OP，则OP＝AP＝BP，∵点P(，1)，∴点T的横坐标为，第2题解图③将x＝代入抛物线的解析式，得y＝3.∴TP＝OP＝2.在Rt△TFA中，由勾股定理可知：TA＝2，∴AO＝TA.∴△APT≌△APO.∴存在点T，使△APT≌△APO，点T的坐标为(，3)．类型六　切线问题(遵义2015.27(3)；铜仁2015.23(3))【方法指导】抛物线中有关圆的切线的问题，一般为两种类型：①已知直线与圆相切的相关计算；②已知直线与圆相切，求直线解析式．对这两种问题，一般解题方法如下：①已知圆与直线相切时，连接切点与圆心，得到垂直，再结合题干中的已知条件，利用直角三角形或相似三角形的性质进行计算；若判断抛物线对称轴与圆的位置关系，只要根据圆心到对称轴距离与圆半径大小关系即可确定；②若已知圆与直线相切，需根据题意分析，切线只存在一条，还是两条，若为两条，常要进行分类讨论计算，然后根据勾股定理或相似列方程求出点坐标，得到直线解析式．例　如图，抛物线与x轴交于点A(－4，0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，2)．(1)求抛物线的解析式；【思维教练】根据题意设抛物线的顶点式，将C(0，2)代入即可得解．例题图解：∵抛物线过点A(－4，0)，B(2，0)，∴设抛物线解析式为：y＝a(x＋4)(x－2)，把C(0，2)代入，得2＝a×4×(－2)，即a＝－，∴所求抛物线的解析式为y＝－(x＋4)(x－2)＝－x2－x＋2；(2)若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，当以A、C、D三点为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积；【思维教练】求解此题，关键是用D的坐标表示出△ACD的面积，且由题意知yD>0，将△ACD拆分成同底，且以点A、C为顶点的两个三角形求解．例题图解：依题意可设D(x，－x2－x＋2)(－4＜x＜0)，如解图①，连接AC，过点D作DF⊥x轴交AC于点F，设直线AC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将点A(－4，0)，C(0，2)代入，得，解得，∴直线AC的解析式为y＝x＋2，∴F(x，x＋2)，S△ADC＝S△ADF＋S△CDF＝(xD－xA)(yD－yF)＋(xC－xD)(yD－yF)＝(xC－xA)(yD－yF)＝×4×(－x2－x＋2－x－2)＝－x2－2x＝－(x＋2)2＋2，∵－＜0，－40，∵MQ⊥EQ，ME＝5，MQ＝3，由勾股定理得EQ＝＝4，∴，解得或(舍去)，∴点Q(，－)，同理可得点P(－，－)，例题解图②设直线l1和直线l2的解析式分别为y1＝k1x＋b1，y2＝k2x＋b2，则，解得；，解得.∴直线l1、l2的解析式分别是y1＝－x－，y2＝x－.∴直线l的解析式是y＝－x－或y＝x－.1.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a<0)与x轴交于A(3，0)、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x＝1，D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE＝.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)求证：直线DE是△ACD的外接圆的切线．第1题图(1)解：∵抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋3，对称轴为直线x＝1，∴x＝－＝1，即b＝－2a，∵点A(3，0)在抛物线上，∴9a＋3b＋3＝0，联立得，解得，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.当x＝1时，y＝－1＋2＋3＝4，∴顶点D的坐标为(1，4)；(2)证明：∵点C是抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴的交点，∴点C的坐标为(0，3)，∴AC＝3，CD＝，AD＝2，∴AC2＋CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°，∴AD是△ACD外接圆的直径．如解图，过点E作EF⊥CD于点F，∵tan∠ECD＝＝＝1，∴∠ECD＝45°，∴EF＝CF＝CE＝，第1题解图∵CD＝，∴DF＝CD－CF＝－＝，∴tan∠EDF＝＝＝，∵tan∠CAD＝＝＝＝tan∠CDE，∴∠CAD＝∠CDE，∴∠CDE＋∠CDA＝∠CDA＋∠CAD＝90°，即∠EDA＝90°，∴DE是△ADC的外接圆的切线．2.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(c≠0)经过x轴上的两点A(x1，0)、B(x2，0)和y轴上的点C(0，－)，⊙P的圆心P在y轴上，且经过B、C两点，若b＝a，AB＝2.(1)求抛物线的解析式；(2)D在抛物线上，且C、D两点关于抛物线的对称轴对称，问直线BD是否经过圆心P？并说明理由；(3)设直线BD交⊙P于另一点E，求经过点E的⊙P的切线的解析式．第2题图解：(1)∵y轴上的点C(0，－)，∴c＝－，由题意知，b＝a，AB＝2，令ax2＋ax－＝0，|x1－x2|＝2，解得a＝，b＝；∴抛物线的解析式是：y＝x2＋x－；(2)直线BD经过圆心P.理由如下：由(1)知对称轴为x＝－，∴D(－，－)，令x2＋x－＝0，得x1＝－，x2＝，即A(－，0)，B(，0)，则直线BD的解析式为y＝x－，如解图，连接BP，设⊙P的半径为R，根据勾股定理知BP2＝OB2＋OP2，∴R2＝()2＋(－R)2，解得R＝1，则OP＝OC－R＝－1＝，∴P(0，－)，点P的坐标满足直线BD的解析式y＝x－.∴直线BD经过圆心P；第2题解图(3)如解图，过点E作EF⊥y轴于点F，得△OPB≌△FPE，∴E(－，－1)，设经过E点⊙P的切线L交y轴于点Q.则∠PEQ＝90°，EF⊥PQ，∴PE2＝PE·PQ，∴PQ＝2，Q(0，－)，∴⊙P的切线的解析式为y＝－x－.