过定点的三次函数图像切线条数问题

年第 期 中学数学研究 , , 。 山 几 一了 只 一一 」一厄一一 ‘ ⋯‘ 一 一 二厄一一 , 交, 一 。、 。 , 贪, 一 、。。 。。 一 。二 。二 竺竺岁业 翌丫玉已 以竺兰竺全选亘 一 左 二 一 , 二 一 , ” ’ 熟 , 一 , 一 二 一 ‘ 故结论 成立 结论 若两个等差数列 , 。 的前 项和分别为 。 , 几 , 则 沪 , 一 一 一 , 一 · 结论 ⋯ , 的前 若 个等差数列 , , 项和分别为 , , ⋯ , , 则 一 口 ⋯ 一 一” 、 一 , , 一 二 一 , ” ’ 凡 、一 ⋯ 证明 气‘ ” 、 几一 ” 、 一 才 、, “ 、, 伽 一 “ ‘“、 入 、 一 , 、 , 气 一 ”入 , 一 、, 伽 一 “ “气 , 一 , 、 、 。“ 一 ‘气 一 证明 。 · , 仅 一 准。 一 卜饥 一 , , 一 一 , 。 一 · 一 “ ’ 又 、一 一 , 一 一 ⋯ 一 一 , 一 、 , 一 占 , 一 — 入 — 一 一 。 一 一 一 一 一 故结论 成立 故结论 成立 参考文献 【 湛凤高一道课本 习题结论 的推广 〔 〕数学通讯 , 过定点的三次函数图像切线条数问题 浙江省龙游中学 叶秋平 二次函数 十 。 笋 的图像 是抛物线 , 我们有如下共识 点 尸 。 , 在抛 物线上时满足 。 , 过点尸 的切 线有且只有一条 当点 尸 在抛物线内时满足 了 。 。 , 过点 尸 的切线不存在 当点 尸 在抛物线外时满足 ‘ , 过点 尸 的切线有两条 对于三 次函数 二 二 笋 , 平面 内点 尸 与曲线的位置关 系有类似的结论 但过定点 尸 的切线条数与点 尸 的位置关系又如何呢 经过探究 , 有如下结 论 引理 以曲线 厂 一 二 十 。 十 笋 上任意一 点为切点的切线有且 只 · · 有一条 证明 要证结论 , 只需证 明以曲线上两个 不同点为切点的切线不重合 不妨设 , 、 , 为曲线上不 同两点 , 则有 护 · 因为 ‘ 。 , 所 以以 为切 点的切线 的方程为 二 二 。 》 一 , 即 二 故 。 一 , 同理 以 为切点的切线 的方程为 夕 加 一 要使 , 、 几 重合 , 则应 同时满足 二 旅 一 。 旅 。 和 一 二 二 一 , 化简后 即要 同时 © 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 中学数学研究 年第 期 满足 二 十 一器①和 二产 十 二 ② , 把 ①代入 ②得 夕 。 山 。。 。 工 工 一 石二乏堪岁 国 、夕明 寸 一 一 “ 与 并 矛盾 所以 , 、 不重合 为叙述方便 , 设 以 曲线 尸 一’衍 笋 。 对称 中心 一 弃 为切 点的切 线 为 ‘ , 其方程 为 口 ‘‘ 一一 ︸气一 言丁十 ‘ 夕 一 “ 曲线 尸 及 把坐标平 干 。 爪 。 面分成 、 、 班 、 四个 区域 , 如 图 对应 的情况 、 图 对应 的情况 则有下 述结论 定理 当定点 尸 在中心 或在 工和 班 区域时 , 过 尸 点的切线有且只有一条 当定点 尸 在曲线 厂 或切线 上且不在 时 , 过点 尸 的切线有二条 当定点 尸 在 或 区域时 , 过点 尸 的 切线有三条 、一 , 矗,‘才一。 , · , · 当 。一矗时 , 。’‘卜 一。 , 、 , 函数 二 单调递增 , 则两 函数图像交点 只有一个 , 说明方程 , 只有一个解 , 即过对称 中心 的切线有且只有一条 “ 。 一 矗时 , 函数 , 一 、 区间 ‘一 , 一矗〕及 区间。。 , 调递增 , 在区 间卜矗 , 。 单调递减 , 函数 , 一 。 , 的图像 如 图 、 “ 。 一 矗时 , 函 数 , 一 。 在 区 间 一 , 。 〕及 区间 一矗 , 十 ,单调递增 , 在 区 间阮。 , 一 矗“单调递减 , 函数 , 一 。 的图像 如 图 图 口 图 证明 先考虑 情况 以 , 为切点的切线 俪 的方程为 二 十 一 占 一 己 , 若切 线 过定 点 尸 , , 则 。 一 占 一 , 即 一 二。 一 加。 。 一 少。 二 令 人 占一 。 旅。 , 。十 一 , 由引理知切点不 同切线不 同 , 则过点 尸 的切 线条数就是 关于 的方 程 , 解的个数 , 即函数 二 图像和 函数 图像交点 下文简称为两 函 数图像交 点 的个数 人 ‘ , 占 一 二。 一 起 为叙述方便简洁 , 下面按 。 一 矗和 矗分 类讨论 中结果相 同的部 分合 在 当 。 一 二 或 十 一 。二 , 一 乒 时 , 两函数图像有两个交点 , 说明方程 , 劝 ’ “ 叼 囚 扒 囚 冷 曰 『, ’ 八 ” 、、 , ““ ‘ 户 ‘ 有两个解 , 即过点 尸 的切线有两条 由 。 十 一 二 。 化简得 。二 护十 千 。十 , 说明点尸 在曲线上 由 。十 一 。 、 一矗,化简得 , 。 。 一 , 说明点 尸 在 上 去点 、 曰 , , 、 , , , 兰 一 丽且 向 久 “ 十 久 一 弃 时 , 两 函数图像有三个交点 , 说 明方程 · · © 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 年第 期 中学数学研究 绝 对 值 函 数 的 导 数 求 法 四川沪县二中 张玉彬 对于求含绝对值的函数导数 , 一般都是用 零点分段法去绝对值化为分段函数求导数 , 由 于分段函数 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达和认识都比较困难 , 所以 , 用零 点分段法去绝对值化为分段函数求导数就比较 困难 为 了克服 困难 , 优化解题过程 , 本文例举 用丫 尸 压异 去绝对值化为无理 函数求导数的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 例 判断函数 二 十 在 处是否有导数 解 了诬互 , 厂 二 瓜异 护户 , 即厂 一合 ‘ ‘ ‘ 导函数 ‘ 在 时无意义 , ⋯了 二 在 处没有导数 评注 本题若用零点分段法去绝对值化为 分段函数 , 再用导数的定义解答 , 比较繁难 例 已知 了 工 一 二 十 士十 , , , 若对 二 任【粤 , 〕, 二 。 恒成立 , 求 。 的取值范 ‘ ”“ ’ 、 一 ‘一 尸、 一 ’ 一 , 一 “ ’叮 一 、 一 围 三 个解 , 即过点 尸 的切线有三 条 此时 点 尸 在直线 的上方与曲线 下方 , 且在直线 二 一 弃右边 , 即点 尸 在区域 ‘ “ ’ 一 , ‘”、 ‘ 卜 一例 ” ’ , 。 , , , , 当 。 一 沂 且 。 十 一 。一 一 ’ “ 、 尹 一 “ 一 。 , 两 函数图像有三 个交点 , 说 明方程 二 三 个解 , 即过点 尸 的切 线有三 条 此 时 点 尸 在直线 的上方与曲线 尸 上方 , 且在直线 一弃左边 , 即点尸 在区域 一 ’ 一 ’ ‘, ’、 一 冲 一叮 “ ‘ ” 当 。 一 弃且 。 十 一 、 。 。 , , , , 、 、 又 一 石万且 十 一 。、 、一 万二夕明名名名名名 。 一矗且 。 以一 , 。 , 。 时 , 两个 函数 图像只有一个交点 , 说明方程 有一个解 , 即 过点 尸 的切线有一条 此 时点 尸 在直 线 一矗右边 ”直线‘下方以及直线二 一矗的左 边与曲线 尸 下方 , 即点 尸 在区域班 综上所述 , 定理成立 , 当 时 , 同理可证定理成立 由该定理即可判断过定点的三次函数图像 的切线条数 利用同样的方法 , 可判断过定点的 一般幂函数 二 ” 图像的切线条 数 两个函数 参考文献 图像只有一个交点 , 说 明方程 , 有一个解 , 即 过点 尸 的切线有一 条 此时点 尸 在直线 一 票右边与曲线 上方 以及直线 二 一 弃的‘ 目 , 四 的 ‘ 一 廿 仍 一 ’‘ 左边与直线 上方 , 即点 尸 在区域 , 、 , , 、 。 当 。 一 亡且 。十 一 。 一 会 和“ 一 〔〕朱火芬 三 次函数的单调性【 数学通讯 , 加 〔幻管宏斌 破解三 次函数切线问题 的两个着眼点【 〕 数学通讯 , 〔 罗永高 , 程雪飞 破解三 次函数切线问题 的两个着 眼点【 〕中学教研 数学 , © 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net