两角和与差的正弦、余弦和正切
公式
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1. 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．
3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
[理要点]
一、两角和与差的三角
函数
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公式
sin(α±β)＝ sinαcosβ±cosαsinβ；
cos(α±β)＝ cosαcosβ∓sinαsinβ；
tan(α±β)＝ eq \f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ) .
其公式变形为：
tanα＋tanβ＝ tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；
tanα－tanβ＝ tan(α－β)(1＋tanαtanβ)
tanαtanβ＝ 1－eq \f(tanα＋tanβ,tanα＋β)
二、二倍角公式
sin2α＝2sinαcosα ；
cos2α＝cos2α－sin2α＝ 2cos2α－1＝1－2sin2α ；
tan2α＝ eq \f(2tanα,1－tan2α) .
其公式变形为：
sin2α＝ eq \f(1－cos2α,2) ；
cos2α＝ eq \f(1＋cos2α,2) .
[究 疑 点]
1．两角和与差的正切公式对任意角都适用吗？若出现不适用的情况如何化简？
提示：在T(α＋β)中，α、β、α±β都不等于kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，即保证tanα、tanβ、tan(α＋β)都有意义；若α、β中有一角是kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，可利用诱导公式化简
2．你能用tanα来
表
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示sin2α，cos2α吗？
提示：sin2α＝2sinαcosα＝eq \f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq \f(2tanα,tan2α＋1)；
cos2α＝cos2α－sin2α＝eq \f(cos2α－sin2α,cos2α＋sin2α)＝eq \f(1－tan2α,1＋tan2α).
[题组自测]
1．若eq \f(cos2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))))＝－eq \f(\r(2),2)，则cosα＋sinα的值为________
解析：本题考查了三角函数化简求值．
eq \f(cos2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))))＝eq \f(cos2α－sin2α,\f(\r(2),2)sinα－cosα)
＝－eq \r(2)(sinα＋cosα)＝－eq \f(\r(2),2)，
∴sinα＋cosα＝eq \f(1,2).
答案
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：eq \f(1,2)
2．若tan(α＋eq \f(π,4))＝eq \f(2,5)，则tanα＝________
解析：tan(α＋eq \f(π,4))＝eq \f(tanα＋1,1－tanα)＝eq \f(2,5)，
∴5tanα＋5＝2－2tanα，
∴7tanα＝－3，∴tanα＝－eq \f(3,7).
答案：－eq \f(3,7)
3．在△ABC中，sinA＝eq \f(3,5)，cosB＝eq \f(5,13)，求cosC
解：由cosB＝eq \f(5,13)得0
0，β∈(0，π)
∴β∈(0，eq \f(π,2))
又tanα＝－eq \f(1,3)<0，α∈(0，π)
∴α∈(eq \f(π,2)，π)
∴eq \f(π,2)<α＋β0，cos(α＋β)<0.
∵cos(β－eq \f(π,4))＝eq \f(1,3)，sin(α＋β)＝eq \f(4,5)，
∴sin(β－eq \f(π,4))＝eq \f(2\r(2),3)，cos(α＋β)＝－eq \f(3,5).
∴cos(α＋eq \f(π,4))＝cos[(α＋β)－(β－eq \f(π,4))]
＝cos(α＋β)cos(β－eq \f(π,4))＋sin(α＋β)sin(β－eq \f(π,4))
＝－eq \f(3,5)×eq \f(1,3)＋eq \f(4,5)×eq \f(2\r(2),3)＝eq \f(8\r(2)－3,15)
已知0＜α＜eq \f(π,2)＜β＜π，taneq \f(α,2)＝eq \f(1,2)，cos(β－α)＝eq \f(\r(2),10).
(1)求sinα的值；
(2)求β的值．
解：(1)tanα＝eq \f(2tan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq \f(4,3)，所以eq \f(sinα,cosα)＝eq \f(4,3).
又因为sin2α＋cos2α＝1,0＜α＜eq \f(π,2)，解得sinα＝eq \f(4,5).
(2)因为0＜α＜eq \f(π,2)＜β＜π，所以0＜β－α＜π.
因为cos(β－α)＝eq \f(\r(2),10)，所以sin(β－α)＝eq \f(7\r(2),10).
所以sinβ＝sin[(β－α)＋α]
＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα
＝eq \f(7\r(2),10)×eq \f(3,5)＋eq \f(\r(2),10)×eq \f(4,5)＝eq \f(\r(2),2).
因为β∈(eq \f(π,2)，π)，所以β＝eq \f(3π,4).
[归纳领悟]
1．当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“
已知角”的和或差的形式；
2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“
已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求
角”变成“已知角”．
3．常见的配角技巧：
α＝2·eq \f(α,2)；α＝(α＋β)－β；
α＝β－(β－α)；α＝eq \f(1,2)[(α＋β)＋(α－β)]；
β＝eq \f(1,2)[(α＋β)－(α－β)]；eq \f(π,4)＋α＝eq \f(π,2)－(eq \f(π,4)－α)．
注意：特殊的角也看成已知角，如α＝eq \f(π,4)－(eq \f(π,4)－α)．
一、把脉考情
从近两年的高考试题来看，和差角公式、二倍角公式是高考的热点，常与三角函数式的求值、化简交汇命题．既有选择题、填空题，又有解答题，难度中低档，属于送分题，主要考查公式的灵活运用及三角恒等变换能力．
预测2012年高考仍将以和差角公式及二倍角公式为主要考点，重点考查这两类公式在三角函数式求值与化简中的计算能力．
二、考题诊断
1．(2010·新课标全国卷)若cosα＝－eq \f(4,5)，α是第三象限的角，则sin(α＋eq \f(π,4))＝
( )
A．－eq \f(7\r(2),10) B.eq \f(7\r(2),10)
C．－eq \f(\r(2),10)
D.eq \f(\r(2),10)
解析：由题知，cosα＝－eq \f(4,5)，α是第三象限的角，
所以sinα＝－eq \f(3,5)，
由两角和的正弦公式可得sin(α＋eq \f(π,4))
＝sin αcoseq \f(π,4)＋cosαsineq \f(π,4)＝(－eq \f(3,5))×eq \f(\r(2),2)＋(－eq \f(4,5))×eq \f(\r(2),2)
＝－eq \f(7\r(2),10).
答案：A
2．(2010·全国卷Ⅰ)已知α为第二象限的角，sinα＝eq \f(3,5)，则tan2α＝________.
解析：由sinα＝eq \f(3,5)，且α为第二象限的角得cosα＝－eq \f(4,5)，得tanα＝－eq \f(3,4)，tan2α＝－eq \f(24,7).
答案：－eq \f(24,7)
3．(2010·四川高考)(1)①证明两角和的余弦公式C(α＋β)∶cos(α＋β)＝cos αcosβ－sinαsinβ；
②由C(α＋β)推导两角和的正弦公式S(α＋β)∶sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.
(2)已知△ABC的面积S＝eq \f(1,2)，
·
＝3，且cosB＝eq \f(3,5)，求cosC.
解：(1)①如图，在直角坐标系xOy内
作单位圆O，并作出角α，β与－β，
使α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终
边交⊙O于点P2；角β的始边为OP2，
终边交⊙O于点P3，角－β的始边为OP1，终边交⊙O于点P4，
则P1(1,0)，P2(cos α，sin α)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，
P4(cos(－β)，sin(－β))．
由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得
[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos (－β)－cos α]2＋[sin
(－β)－sin α]2，
展开并整理，
得2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcosβ－sin αsin β)．
∴cos(α＋β)＝cos αcosβ－sin αsinβ.
②由①易得，cos(eq \f(π,2)－α)＝sin α，sin(eq \f(π,2)－α)＝cos α.
sin(α＋β)＝cos[eq \f(π,2)－(α＋β)]＝cos[(eq \f(π,2)－α)＋(－β)]
＝cos(eq \f(π,2)－α)cos(－β)－sin(eq \f(π,2)－α)sin(－β)
＝sinαcosβ＋cosαsin β，
∴sin(α＋β)＝sin αcosβ＋cosαsin β.
(2)由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c，
则S＝eq \f(1,2)bcsinA＝eq \f(1,2).
·
＝bccosA＝3>0，
∴A∈(0，eq \f(π,2))，cosA＝3sinA.
又sin2A＋cos2A＝1，∴sinA＝eq \f(\r(10),10)，cosA＝eq \f(3\r(10),10).
由cosB＝eq \f(3,5)，得sinB＝eq \f(4,5).
∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝eq \f(\r(10),10).
故cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－eq \f(\r(10),10)
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