上海应用技术学院复变函数积分变换复习卷(答案)

上海应用技术学院 2008—2009学年第二学期 《复变函数与积分变换》期（末）复习卷 课程代码:  B2220081  学分:  2  考试时间:        分钟 课程序号:                                                             班级：            学号：              姓名:              我已阅读了有关的考试规定和纪律要求，愿意在考试中遵守《考场规则》，如有违反将愿接受相应的处理。 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分 应得分                     100 得 分                                               试卷共 5 页，请先查看试卷有无缺页，然后答题。 一．填空题（每空2分，共36分） 1. 若 ， ，则 材= 2. 复数 的指数形式是 ，幅角主值 = 。 3. 复数 = ， = （计算过程可见第三题）。 4. 设 解析，则 ， == 。 5. 设C为自原点到 的直线段，则积分 = （用牛顿-莱布尼兹公式）。 6. 级数 是 条件收敛 （填发散、条件收敛或绝对收敛）。 7. = 。（请分别用柯西积分公式或留数 定理 三点共线定理勾股定理的证明证明勾股定理共线定理面面垂直的性质定理 计算） 8. 设. ，则 是可去奇点（选：可去奇点、极点或本性奇点）， = 0 。 9.  函数 的奇点是 （都是一级极点） 10.   是 的 本性奇点 （选：可去奇点、极点或本性奇点）， =  1  。 11. 函数 的幂级数展开式是 。 12. 拉普拉斯变换的定义是 。 13. 若 , 则 。 二．计算（前2题各4分，第3题6分） （1）说明函数 在一点 连续、可导、解析的关系。 讨论 的连续、可导、解析性。 答：函数在一点 连续、可导、解析的关系是：解析 可导 连续，反之不成立。 对 ，设 ，则 ，即 。 由于 都是连续函数，故 在复平面上处处连续。 由于 。显然 可微，但只在 处满足柯西-黎曼方程 。因此 只在 处可导，但在复平面上处处不解析。 （2）分别求 和 的模、幅角、实部、虚部。 解： 所以模为 ，幅角4 + 2 k (主值为4 - )，实部 、虚部 。 所以模为 ，幅角 + 2 k (主值为 )，实部 、虚部 。 （3） 验证 是调和函数，并求 ，使函数 为解析函数。 解： ，因此u是调和函数。 下面用偏积分法求v：由 ，得到 ；再由 ，得 ， ，所以当 时， 为解析函数。 三. 求 , 解： 。其中k = 0时可得相应主值。 四. 求 在 内的罗朗展开。 在 内的罗朗展开。 将函数 展成 z 的罗朗级数，并指出收敛范围。 解：1. 对 ，因为在 内有 ，故在 内有 2. 对 ，在 内时 3. 五．计算 1. ，其中C是从0到 的直线段。 解：由于z e z 是解析函数，用分部积分法可得 2. 其中C是从0到 的直线段 解：由于被积函数不解析，本题只能沿曲线来计算积分。 直线段的参数方程为 z =(2 + i)t ( t从0到1),d z =(2 + i)d t。所以得到 3.设 ，求 （6分） 解： 所以 进而得 4. （6分）。求积分 , 为不通过 的闭曲线. 解：当a不在C内时，由柯西-古萨基本定理，得 当a在C内时，由高阶导数公式，得 。 5. 解： 的一级极点有z = 0.5+k，其中 在C内。且由法则Ⅲ可求得在各极点处的留数为 。故由留数定理得 六. 求拉氏变换 ， ， 。 求下列函数的拉氏逆变换 1.     2.. 解： 七. 设 在区域D内解析， 。用柯西-黎曼方程证明 也在区域D内解析。 证明： ，为常数 - i与解析函数f (z) 的乘积，故 也在区域D内解析。 （注意：这里不是用柯西-黎曼方程证明的，请大家自己写出用柯西-黎曼方程证明的过程） 八. 叙述留数定理的内容。 叙述柯西积分定理（即柯西-古萨基本定理）内容. 叙述柯西积分公式及高阶导数公式内容. 上海应用技术学院2010—2011学年第一学期 一．选择题（每小题3分，共15分） 1. 方程 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示                                        （        ） Ａ.       Ｂ.   Ｃ.     Ｄ. 以上都不对 2. 设z = , 则                                 （        ）　 Ａ.  .          Ｂ. .      Ｃ.  0.      　    Ｄ. 以上都不对. 3. z = 0是 的几级极点                              （        ）. Ａ.  1.            Ｂ.  2.    　    Ｃ.  3.        　Ｄ. 以上都不对. 4. ，则Res =                              （        ）. Ａ.  1.            Ｂ.  1/2.    　 Ｃ. 1/3.        　  Ｄ. 以上都不对. 5. 沿正向单位圆周的积分 =                          （      ）. Ａ. 2 .      Ｂ. 0.    　    Ｃ. .          Ｄ. 以上都不对. 二．填空题（每小题3分，共15分） 3. =                       2. =                       4. 函数 的奇点是                         5. ，当a =          时是解析函数。 6. ，则 L =                        三．计算（每题7分，共49分） （1）求 的模、幅角、实部、虚部。（2） （3） ，其中c为从 – i 到0的曲线。 （4） （5）用留数定理计算 上海应用技术学院 2011—2012学年第二学期 一．选择题（每小题3分，共15分） 1. z = 0是 的什么点？                        （  B   ）. Ａ. 极点.      Ｂ. 可去奇点.  Ｃ. 本性奇点  Ｄ. 非孤立奇点. 2. ，则Res =                                （   A  ）. Ａ. 1.          Ｂ. 1/2.      　 Ｃ. 1/3.    　 Ｄ. 0 . 3. =                                                 （  B  ）. Ａ. 0.          Ｂ. sin i    Ｃ. cos i.    　 Ｄ. 1 . 4. 沿正向单位圆周的积分 =                      （  C  ）. Ａ. 2 .  Ｂ. 1.    　     Ｃ. 0 .         Ｄ. 2πi 5. 设m为正整数，z = a是 的m级零点 , 则z = a是 的几级极点 （  D    ）. Ａ. 1.      Ｂ. 2.          Ｃ.  m - 1.    　 Ｄ. m. 二．填空题（每小题3分，共15分） 7. =                    8. =                       9. 若 ，则z =    3.                   10. ，当a =    5 .           时在复平面上处处可导。 11. ，则 L =                        三．计算（每题7分，共56分） （1） ，试求 在复平面上何处可导？何处解析？ （2） （3） ，其中c为从1 - i 到0的任意一条曲线。 （4） （5）用留数定理计算 （6）给定调和函数 ，求调和函数v，使得 成为一个解析函数。 （7）将复函数 展成z的幂级数，并指出收敛域。 （8）设 ，求 四. 积分变换（每题4分，共8分） 1. 已知 ，求 L 2. 用拉普拉斯变换的微分性质证明 五. 证明题（6分） 若函数 与 在单连通区域D内处处解析，C是D内任意一条闭曲线。证明：若等式 在闭曲线C上处处成立，那么该等式在闭曲线C内也处处成立。 答案 三．计算（每题7分，共49分） （1） ，试求 在复平面上何处可导？何处解析？ 解： （2） 解： （3） ，其中c为从1 - i到0的任意一条曲线。 解： （4） 解： （5）用留数定理计算 解： （6）给定调和函数 ，求调和函数v，使复函数 成为一个解析函数。 解： （7）将复函数 展成z的幂级数，并指出收敛域。 解： 四. 积分变换（每题5分，共15分） 1. 已知 ，求 L 解： 2. 已知 ，求 L-1 解：          （5分） 3. 用拉普拉斯变换的微分性质证明 证明：设 （2分）。 由微分公式： （2分），得 五. 证明题（6分） 若函数 与 在单连通区域D内处处解析，C是D内任意一条闭曲线。证明：若等式 在闭曲线C上处处成立，那么该等式在闭曲线C内也处处成立。 证明：在C内任取一点z0，由于 与 都在C内解析，有柯西积分公式（1分）得 （两式共2分） 又因为 在闭曲线C上处处成立，所以有 ，因此得到 （1分）。再由z0在C内的任意性，便得知等式 在闭曲 线C内也处处成立。