1993年全国初中数学联赛试题及解答

1993年全国初中数学联赛试题及解答 1993 年全国初中数学联合竞赛试题第一试一. 选择题 1.多项式除以的余式是（） 1612 +− xx 12 −x (A)1; (B)-1; (C) 1−x ; (D) ; 1+x 2.对于命题 Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形. Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是（） (A)Ⅰ,Ⅱ都对 (B)Ⅰ对,Ⅱ错 (C)Ⅰ错,Ⅱ对. (D)Ⅰ,Ⅱ都错. 3.设 x是实数, 11...

1993 年全国初中数学联合竞赛试题第一试一. 选择题 1.多项式除以的余式是（） 1612 +− xx 12 −x (A)1; (B)-1; (C) 1−x ; (D) ; 1+x 2.对于命题 Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形. Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是（） (A)Ⅰ,Ⅱ都对 (B)Ⅰ对,Ⅱ错 (C)Ⅰ错,Ⅱ对. (D)Ⅰ,Ⅱ都错. 3.设 x是实数, 11 ++−= xxy .下列四个结论: Ⅰ. y 没有最小值; Ⅱ.只有一个 x 使 y 取到最小值; Ⅲ.有有限多个 x (不止一个)使 y 取到最大值; Ⅳ.有无穷多个 x使 y 取到最小值. 其中正确的是（） (A)Ⅰ (B)Ⅱ (C)Ⅲ (D)Ⅳ 4.实数满足方程组 54321 ,,,, xxxxx ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =++ =++ =++ =++ . ; ; ; ; 5215 4154 3543 2432 1321 axxx axxx axxx axxx axxx 其中是实常数,且 ,则的大小顺序是（） 54321 ,,,, aaaaa 54321 aaaaa >>>> 54321 ,,,, xxxxx (A) ; (B) ; 54321 xxxxx >>>> 53124 xxxxx >>>> (C) ; (D) . 52413 xxxxx >>>> 24135 xxxxx >>>> 5.不等式的整数解的个数（） 73)1(1 2 +<−<− xxx (A)等于 4 (B)小于 4 (C)大于 5 (D)等于 5 6.在中,ABCΔ BCAOOA =∠ ,, 是垂心是钝角 , 则 )cos( OCBOBC ∠+∠ 的值是( ) (A) 2 2− (B) 2 2 (C) 2 3 (D) 2 1− . 7.锐角三角ABC的三边是a, b, c,它的外心到三边的距离分别为 m, n, p,那么 m:n:p 等于( ) (A) cba 1:1:1 ; (B) cba :: (C) (D) . CBA cos:cos:cos CBA sin:sin:sin 8. 13333 ) 9 1 9 2 9 4(3 −+− 可以化简成( ) (A) )12(3 33 + ; (B) )12(3 33 − (C) 123 − (D) 123 + 二. 填空题 1.当 x 变化时,分式 1 563 2 2 1 2 ++ ++ xx xx 的最小值是___________. 2.放有小球的 1993 个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有 7 个小球, 且每四个相邻的盒里共有 30 个小球,那么最右面的盒里有__________个小球. 3.若方程有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则 =____________. kxx =−− )4)(1( 22 k 4.锐角三角形ABC中, °=∠ 30A .以BC边为直径作圆,与AB, AC 分别交于D, E,连接DE, 把三角形ABC分成三角形ADE与四边形 BDEC,设它们的面积分别为S1, S2,则S1:S2=___________. 第二试一.设 H 是等腰三角形 ABC 垂心,在底边 BC 保持不变的情况下让顶点 A 至底边 BC 的距离变小,这时乘积的值变小,变大,还是不变?证明你的结论. HBCABC SS ΔΔ ⋅ 二. 中, BC=5, AC=12, AB=13, 在边 AB ,AC 上分别取点 D, E, 使线段 DE 将分成面积相等的两部分.试求这样的线段 DE 的最小长度. ABCΔ ABCΔ 三.已知方程分别各有两个整数根及 , 且 00 22 =++=++ bcxxcbxx 及 21, xx 21, xx ′′ ,021 >xx 021 >′′xx . (1)求证: ;0,0,0,0 2121 <′<′<< xxxx (2)求证: ≤ ≤ ; 1−b c 1+b (3)求所有可能的值. cb, 1993 年全国初中数学联赛试题答案一．选择题 1．（A） ∵ ，∴ 余式为 1. 1)1(1 66612 +−=+− xxxx 2．（B）命题 I正确，证明如下：如图，ABCDE 为圆内接五边形，各内角相等.由 BA ∠=∠ ，BCE=CEA，于是 BC=EA. ∴ EABC = . 同理可证 EACDABDEBC ==== .故 ABCDE 是正五边形. 命题 II 不正确，反例如下：如图，ABCD 为圆内接矩形，∠A=∠B=∠C=∠D =90°, ，CDAB = DABC = ，但 BCAB ≠ ，显然，ABCD 满足命题 II 条件，但不是正四边形. 3．（D）因为 1−x 、 1=x 分别表示数轴上点 x 到点 1 和点-1 的距离. 因此，当-1≤x≤1 时， 211 =++−= xxy ；当时，1−++=++−= xxxy ；当时，1>x 212211 >−+=++−= xxxy . 而在-1 与 1 之间无穷多个实数 x，故有无穷多个 x 使 y 取到最小值. 4．（C）给定方程组中的方程按顺序两两相减分别得 2141 aaxx −=− ， 3252 aaxx −=− ， 4313 aaxx −=− ， 5424 aaxx −=− ， ∵ ， 54321 aaaaa >>>> ∴ ，，， . 41 xx > 52 xx > 13 xx > 24 xx > 于是有 . 52413 xxxxx >>>> 5．（A）注意到 ⇔+<−<− 73)1(1 2 xxx .0)6)(1( ,0)1)(2( <−+ >−− xx xx 210)1)(2( ><⇔>−− xxxx 或 . 610)6)(1( <<−⇔<−+ xxx . 于是原不等式的整数解是介于-1 与 6 之间且不等于 1,2 的整数.即 0,3,4,5 四个整数. 6．（A）设的三条高线 AD、BE、CF 相交于点 O.因ABCΔ ABCΔ 为钝角三角形，故其垂心 O 在的外部（如图）. ABCΔ ∵ B、D、F、O 四点共圆，故 21 ∠=∠ . 又由题设 BCOA = ，知 OAFRtΔ ≌ BCFRtΔ ， ∴ ，于是 BFOF = °=∠ 45BOF . 而 OCBOBC ∠+∠ °=∠−°= 135180 BOF ， ∴ °=∠+∠ 135cos)cos( OCBOBC 2 2−= . 7．（C）如图，设 O 是 ABCΔ 的外心， ROCOBOA === ， ABOC R m cos 2 1cos =∠= ，∴ ARm cos= . 同理，BRn cos= CRp cos= . ∴ CBApnm cos:cos:cos:: = . 8．（D）原式 13 1 3 2 3 1 3 1 )122() 9 1(3 − − +−= 1212 12 1)2(3 33 1 1 3 1 33 1 +=+= ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + +⋅= − . 二、填空题 1．4 22 26 22 10126 1 2 1 563 22 2 2 2 ++−=++ ++= ++ ++ xxxx xx xx xx 1)1( 26 2 ++−= x ∴ 当 x=-1 时，原式取最小值 4. 2．7 设从左到右小盒里的球数为 7,a2,a3,…,a1993, ∵ 307 432 =+++ aaa ， 305432 =+++ aaaa ， ∴ . 75 =a 同理 719931417139 ====== + aaaaa kL . 3． 7 4 设，原方程变为 .设此方程有根yx =2 0452 =−+− kyy )0(, βαβα << ，则原方程的四个根为 α± ， β± .由于它们在数轴上对应的四个点等距排列， ∴ )( αααβ −−=− ，故 αβ 9= .由韦达定理 5=+ βα ，得 2 1=α ， 2 9=β ，于是 4 94 ==− αβk ，∴ 4 7=k . 4．3 如图，BC 为圆的直径， °=∠−°=∠ 90180 BECAEB ， ∴ 2 330coscos =°== A AB AE . 又 ADEΔ ∽ ABCΔ ， ∴ 2 3== AB AE AC AD . 由此可知： 2)( sin 2 1 sin 2 1 AB AE AACAB AAEAD S S ABC AED = ⋅ ⋅ = Δ Δ 4 3= . 因而四边形 DBCE 面积 ABCSS Δ= 4 1 2 .∴ 3: 21 =SS . 第二试一、解法 1 不妨设角 A 是锐角，连接 AH 并延长交 BC 于 D 点.延长 BH、CH 分别交 AC 于 E，交 AB 于 F，如图. ∵ AHEBHD ∠=∠ ,∴ HAEHBD ∠=∠ . 因此 ∽ ，∴BDHRtΔ ADCRtΔ HD DC BD AD = . 又 ∴ 2 4 1 BCDCBDHDAD =⋅=⋅ ， BCDCBD 2 1== , 于是 ) 2 1)( 2 1( BCHDBCADSS HBCABC ⋅⋅=⋅ ΔΔ . 416 1 BC= 当∠A≥90°时，同理可证上式也成立，由于 BC 是不变的，所以当 A 点至 BC 的距离变小时，乘积 HBCABC SS ΔΔ ⋅ 保持不变. 解法 2 作图如解法 1，再延长 AD 至 G，使 DG=DH，并分别连接 BG，GC. 由ΔHBD≌ΔGBD 知， CAGCBHCBG ∠=∠=∠ . 因而，A,B,G,C 四点共圆.由相交弦定理，得 DCBDDGADHDAD ⋅=⋅=⋅ 2 4 1 BC= 因此， HBCABC SS ΔΔ ⋅ )2 1)( 2 1( BCHDBCAD ⋅⋅= 4 16 1 BC= 由于 BC 是不变的.所以当点 A 至 BC 的距离变小时，乘积保持不变. HBCABC SS ΔΔ ⋅ 二、由于，知ΔABC 是直角三角形.如图. 222 13125 =+ 30125 2 1 =⋅⋅=ΔABCS ，设，xAD = yAE = ，由于 AxyS ADE sin2 1=Δ 15= ， 13 5sin =A 知 xy = 78. 由余弦定理知： )cos1(2)(cos2 2222 AxyyxAxyyxDE −+−=−+= ) 13 121(782)( 2 −××+−= yx ≥12， 12)( 2 +−= yx 当 x=y 时，上式的等号成立，此时 3212 ==DE 达到最小值. 三、（1）假如 ,同由，知，对于已知两个方程用韦达定理得 01 >x 021 >xx 02 >x 2121 '' xxbxx −=−=+ ，这与已知，矛盾.因此， . 021 >xx 0'' 21 >xx 01

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