2004 年全国初中数学联合数学竞赛试题
第一试
一．选择题
1．已知 abc≠0，且 a+b+c=0, 则代数式
2 2 2a b c
bc ca ab
+ + 的值是（ ）
(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0
2．已知p,q均为质数，且满足 5p2+3q=59，则以p+3,1-p+q,2p+q-4为边长的三角形是（ ）
(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 等腰三角形
3． 一个三角形的边长分别为 a,a,b，另一个三角形的边长分别为 b,b,a，其中 a>b，若两个
三角形的最小内角相等，则 a
b
的值等于（ ）
(A)
3 1
2
+
(B)
5 1
2
+
(C)
3 2
2
+
(D)
5 2
2
+
4．过点 P(-1,3)作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为 5，这样的直线可以作（ ）
(A) 4条 (B) 3条 (C) 2条 (D) 1条
5．已知b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个实数根，则ab的取值范围为（ ）
(A)
1
8
ab ≥ (B) 1
8
ab ≤ (C) 1
4
ab ≥ (D)
1
4
ab ≤
6．如图，在 2×3矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，则
以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为（ ）
(A) 24 (B) 38 (C) 46 (D) 50
二．填空题
1．计算 1 1 1 1
1 2 2 3 3 4 2003 2004
+ + + ++ + + +L = .
2．如图 ABCD是边长为 a的正方形，以 D为圆心，DA为半径的圆弧与以 BC为直径的半
D
A
C
N
P
B
圆交于另一点 P，延长 AP交 BC于点 N，则 BN
NC
= .
3．实数a,b满足a3+b3+3ab=1,，则a+b= .
4．设 m是不能
表
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示为三个合数之和的最大整数，则 m= .
第二试（A）
一． 已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整数，求整数n的值。
二． 已知如图，梯形 ABCD中，AD∥BC, 以两腰 AB,CD为一边分别向两边作
正方形 ABGE和 DCHF，设线段 AD的垂直平分线 l 交线段 EF于点 M，EP⊥l
于 P，FQ⊥l于 Q。求证：EP=FQ
l
A
B C
D
E
F
G
H
M
P
Q
三． 已知点A(0,3)，B(-2,-1)，C(2,-1) P(t,t2)
为抛物线y＝x2上位于三角形ABC内（包括
边界）的一动点，BP所在的直线交AC于E，
CP所在的直线交AB于F。将 BF
CE
表示为自
变量t的函数。
第二试（B）
一． 已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整数，求整数n的值。
二． 已知如图，梯形 ABCD中，AD∥BC, 以两腰 AB,CD为一边分别向两边作
正方形 ABGE和 DCHF，设线段 AD的垂直平分线 l交线段 EF于点M。
求证：M为 EF的中点。
l
A
B C
D
E
F
G
H
M
三． 已知点A(0,3)，B(-2,-1)，C(2,-1) P(t,t2)为抛物线y＝x2上位于三角形ABC内
（包括边界）的一动点，BP所在的直线交AC于E， CP所在的直线交AB于F。将
BF
CE
表示为自变量t的函数。
第二试（C）
一． 已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整数，求整数n的值。
二． 已知如图，梯形 ABCD中，AD∥BC, 以两腰 AB,CD为一边分别向两边作
正方形 ABGE和 DCHF， 连接 EF，设线段 EF的中点为M。
求证：MA=MD。
A
B C
D
E
F
G
H
M
三． 已知点A(0,3)，B(-2,-1)，C(2,-1) P(t,t2)为抛物线y＝x2上位于三角形ABC内
（包括边界）的一动点，BP所在的直线交AC于E， CP所在的直线交AB于F。将
BF
CE
表示为自变量t的函数。
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