2010年全国初中数学联赛试题及解答

2010 年全国初中数学联合竞赛试题 第一试 一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1. 若 均为整数且满足 ，则 | |, ,a b c 10 10( ) ( )a b a c− + − =1 || | |a b b c c a− + − + − =（ ） A．1. B．2. C．3. D．4. 2．若实数 满足等式, ,a b c 2 3 | | 6a b+ = ， 4 9 | | 6a b c= ，则 可能取的最大值为（ ） c− A．0. B．1. C．2. D．3. 3．若 是两个正数，且 ba, ,0111 =+−+− a b b a 则（ ） A． 10 3 a b< + ≤ . B． 1 1 3 a b< + ≤ . C． 41 3 a b< + ≤ . D． 4 2 3 a b< + ≤ . 4．若方程 的两根也是方程2 3 1 0x x− − = 4 2 0x ax bx c+ + + = 的根，则 的值为（ ） 2a b c+ − A．－13. B．－9. C．6. D． 0. 5．在△ ABC 中，已知 ，D，E 分别是边 AB，AC 上的点，且°=∠ 60CAB °=∠ 60AED ， ，CEDBED =+ CDECDB ∠=∠ 2 ,则 =∠DCB ( B ) A．15°. B．20°. C．25°. D．30°. 6．对于自然数n，将其各位数字之和记为 ，如na 2009 2 0 0 9 11a = + + + = ， ， 则 （ ） 2010 2 0 1 0 3a = + + + = 1 2 3a 2009 2010a a a a+ + + + + =L A．28062. B．28065. C．28067. D．28068. 二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分） 1．已知实数 ,x y满足方程组 则 3 3 19, 1, x y x y ⎧ + =⎨ + =⎩ 2 2x y+ = . 2．二次函数 的图象与cbxxy ++= 2 x轴正方向交于 A，B 两点，与 轴正方向交于点 C．已知y ACAB 3= ， ，则°=∠ 30CAO c = ． 3．在等腰直角△ABC 中，AB＝BC＝5，P 是△ABC 内一点，且 PA＝ 5 ，PC＝5，则 PB＝______． 4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有 5 个或 10 个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放_______个球. 第二试 （A） 一．设整数 （ ）为三角形的三边长，满足, ,a b c a b c≥ ≥ 2 2 2 13a b c ab ac bc+ + − − − = ，求 符合条件且周长不超过 30 的三角形的个数. N Q I P C A MB 二．已知等腰三角形△ABC 中，AB＝AC， ∠C 的平分线与 AB 边交于点 P，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与 BC 边的切点，作 MD//AC，交 ⊙I 于点 D.证明：PD 是⊙I 的切线. 三．已知二次函数 的图象经过两点 P ，Q (2 . 2y x bx c= + − (1, )a ,10 )a （1）如果 都是整数，且, ,a b c 8c b a< < ，求 的值. , ,a b c （2）设二次函数 的图象与2y x bx c= + − x轴的交点为 A、B，与 轴的交点为 C.如果关于y x 的方程 的两个根都是整数，求△ABC 的面积. 2 0x bx c+ − = 第二试 （B） 一．设整数 为三角形的三边长，满足, ,a b c 2 2 2 13a b c ab ac bc+ + − − − = ，求符合条件且周 长不超过 30 的三角形的个数（全等的三角形只计算 1 次）. 二．题目和解答与（A）卷第二题相同. 三．题目和解答与（A）卷第三题相同. 第二试 （C） 一．题目和解答与（B）卷第一题相同. 二．题目和解答与（A）卷第二题相同. 三．设 p是大于 2 的质数，k为正整数．若函数 的图象与 x轴的两 个交点的横坐标至少有一个为整数，求 k的值． 4)1(2 −+++= pkpxxy 2010 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案 第一试 一 选择题 1. B 2. C 3. C 4. A 5. B 6. D 二 填空题 1. 13 2. 1 9 3. 10 4. 15 第二试 （A） 一 解 由已知等式可得 ① 2 2 2( ) ( ) ( ) 2a b b c a c− + − + − = 6 m n m n+ + + = 2 2 13mn 令 ，则 ，其中 均为自然数. ,a b m b c n− = − = a c m n− = + ,m n 于是，等式①变为 ，m n2 2 2( ) 26 + + = ② 由于 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的 只有两组： 和 ,m n ,m n 3, 1 m n =⎧⎨ =⎩ 1, 3. m n =⎧⎨ =⎩ （1）当 时， ，3, 1m n= = 1b c= + 3 4a b c= + = + .又 为三角形的三边长，所以, ,a b c b c a+ > ， 即 ， 解 得 . 又 因 为 三 角 形 的 周 长 不 超 过 30 ， 即 ，解得 ( 1) 4c c c+ + > + 3c > ( 4) ( 1) 3a b c c c c+ + = + + + + ≤ 0 25 3 c ≤ .因此 253 3 c< ≤ ，所以 可以取值 4，5，6，7， 8，对应可得到 5 个符合条件的三角形. c （2）当 时， ，1, 3m n= = 3b c= + 1 4a b c= + = + .又 为三角形的三边长，所以, ,a b c b c a+ > ， 即 ， 解 得 . 又 因 为 三 角 形 的 周 长 不 超 过 30 ， 即 ，解得 ( 3) 4c c c+ + > + 1c > ( 4) ( 3) 3a b c c c c+ + = + + + + ≤ 0 23 3 c ≤ .因此 231 3 c< ≤ ，所以 可以取值 2，3，4，5， 6，7，对应可得到 6 个符合条件的三角形. c 综合可知：符合条件且周长不超过 30 的三角形的个数为 5＋6＝11. 二． 证明 过点 P 作⊙I 的切线 PQ（切点为 Q）并延长，交 BC 于点 N. 因为 CP 为∠ACB 的平分线，所以∠ACP＝∠BCP. N Q I P C A MB 又因为 PA、PQ 均为⊙I 的切线，所以∠APC＝∠NPC. 又 CP 公共，所以△ACP≌△NCP，所以∠PAC＝∠PNC. 由 NM＝QN，BA＝BC，所以△QNM∽△BAC，故 ∠NMQ＝∠ACB，所以 MQ//AC. 又因为 MD//AC，所以 MD 和 MQ 为同一条直线. 又点 Q、D 均在⊙I 上，所以点 Q 和点 D 重合，故 PD 是⊙I 的切线. 三． 解 点 P 、Q 在二次函数(1, )a (2,10 )a 2y x bx c= + − 的图象上，故 1 ， ，解得 ， b c a+ − = 4 2 10a c a+ − = 9 3b a= − 8c a 2= − . （1）由 知 解得1 38c b a< < 8 2 9 3 9 3 8 , a a a a − < −⎧⎨ − <⎩ , a< < . 又 为整数，所以 ，b a ，a 2a = 9 3 15= − = 48 2 1c a= − = . (2) 设m 是方程的两个整数根，且,n m n≤ . 由根与系数的关系可得m n ，mn3 9b a+ = − = − c a2 8− = − 6，消去 ，得 ， a 9 8( )mn m n− + = −= 两边同时乘以 9，得 ，分解因式，得 (81 72( ) 54mn m n− + = − 9 8)(9 8) 10m n− − = . 所以 或 或9 8 1, 9 8 10 m n − =⎧⎨ − =⎩ , , ,9 8 2 9 8 5, m n − =⎧⎨ − =⎩ 9 8 10 9 8 1, m n − = −⎧⎨ 或− = −⎩ ,9 8 5 9 8 2, m n − = −⎧⎨ − = −⎩ 解得 或1, 2, m n =⎧⎨ =⎩ 10 , 9 13 , 9 m n ⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩ 或 2 , 9 7 , 9 m n ⎧ = −⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩ 或 1 , 93 2 , 3 m n ⎧ =⎪⎪⎨ ⎪ =⎪⎩ 又 是整数，所以后面三组解舍去，故m n,m n 1, 2= = n= − + = − 2n= − = − . 因此，b m ， c m ，二次函数的解析式为( ) 3 2 3 2y x x= − + . 易求得点 A、B 的坐标为（1,0）和（2,0），点 C 的坐标为（0,2），所以△ABC 的面积为 1 (2 1) 2 1 2 × − × = . 第二试 （B） 一 解 不妨设 ，由已知等式可得 a b c≥ ≥ 2 2 2( ) ( ) ( ) 2a b b c a c− + − + − = 6 6 ① 令 ，则 ，其中 均为自然数. ,a b m b c n− = − = a c m n− = + ,m n 于是，等式①变为 ，即 2 2 2( ) 2m n m n+ + + = 2 2 13m n mn+ + = ② 由于 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的 只有两组： 和 ,m n ,m n 3, 1 m n =⎧⎨ =⎩ 1, 3. m n =⎧⎨ =⎩ （1）当 时， ，3, 1m n= = 1b c= + 3 4a b c= + = + .又 为三角形的三边长，所以, ,a b c b c a+ > ， 即 ， 解 得 . 又 因 为 三 角 形 的 周 长 不 超 过 30 ， 即 ，解得 ( 1) 4c c c+ + > + 3c > ( 4) ( 1) 3a b c c c c+ + = + + + + ≤ 0 25 3 c ≤ .因此 253 3 c< ≤ ，所以 可以取值 4，5，6，7， 8，对应可得到 5 个符合条件的三角形. c （2）当 时， ，1, 3m n= = 3b c= + 1 4a b c= + = + .又 为三角形的三边长，所以, ,a b c b c a+ > ， 即 ， 解 得 . 又 因 为 三 角 形 的 周 长 不 超 过 30 ， 即 ，解得 ( 3) 4c c c+ + > + 1c > ( 4) ( 3) 3a b c c c c+ + = + + + + ≤ 0 23 3 c ≤ .因此 231 3 c< ≤ ，所以 可以取值 2，3，4，5， 6，7，对应可得到 6 个符合条件的三角形. c 综合可知：符合条件且周长不超过 30 的三角形的个数为 5＋6＝11. 第二试 （C） 三 解 由题意知，方程 的两根 中至少有一个为整数． 04)1(2 =−+++ pkpxx 21 , xx 由根与系数的关系可得 4)1(, 2121 −+=−=+ pkxxpxx ，从而有 pkxxxxxx )1(4)(2)2)(2( 212121 −=+++=++ ① （1）若 ，则方程为 ，它有两个整数根 和1k = 0)2(22 =−++ ppxx 2− 2 p− ． （2）若 ，则 . 1k > 01 >−k 因为 1 2x x+ = −p为整数，如果 中至少有一个为整数，则 都是整数. 21 , xx 21 , xx 又因为 p为质数，由①式知 2| 1 +xp 或 2| 2 +xp ． 不妨设 ，则可设2| 1 +xp 1 2x mp+ = （其中 m为非零整数），则由①式可得 2 12 kx m −+ = ， 故 1 2 1( 2) ( 2) kx x mp m −+ + + = + ，即 1 2 14 kx x mp m −+ + = + ． 又 1 2x x+ = −p，所以 14 kp mp m −− + = + ，即 41)1( =−++ m kpm ② 如果 m为正整数，则 ，( 1) (1 1) 3m p+ ≥ + × = 6 1 0k m − > ，从而 1( 1) km p m −+ + > 6 0 ，与②式 矛盾. 如果 m为负整数，则 ，( 1)m p+ < 1 0k m − < ，从而 1( 1) km p m 0−+ + < ，与②式矛盾. 因此， 时，方程 不可能有整数根． 1>k 04)1(2 =−+++ pkpxx 综上所述， ． 1=k