〔凸函数定义〕
1．设
是定义在闭区间
上的函数，若对任意
，
EMBED Equation.3 和任意
，有
成立，则称
是
上的凸(下凸)函数．
2．设
是定义在
上的函数，若对任意
，
且
和任意
，有
成立，则称
是
上的严格凸函数．
3．设
是定义在
上的函数，若对任意
，
EMBED Equation.3 和任意
，有
成立，则称
是
上的上凸函数．
当
为上凸函数时，不等式反向．
注意到在定义中，凸函数的条件(II)和(II′)是对区间内的任意两点x1和x2都成立，不难看出，这实际上就保证了函数在整个区间的凸性．即上凸函数图象上的任一段弧都在所对应的弦的上方；下凸函数图象上的任一段弧都在所对应的弦的下方．并且由此形成的弓形是凸的区域．正因为这种函数的图象具有这种特点，所以我们才把它形象地名之曰：凸函数．
现行教材中所涉及的一次函数、二次函数、指数、对数函数、三角函数等都存在上凸函数及下凸函数
在初等数学里，关于函数的凸性，可根据图象来判断．例如，不难根据图象可以得出：
指数函数y=ax(a＞0，a≠1)．是(-∞，∞)上的下凸函数．
对数函数y=logax(a≠1)．当a ＞1时，是(0，∞) 上的上凸函数；当0＜a＜1时，是(0，∞)上的下凸函数．
函数的凸性；也可以根据定义用初等MATCH_
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_1715988457806_0来证明．学过微分学的还可以根据函数的二阶导数的符号来判断函数的凸性．即，若函数f(x)对在定义域(a，b)内的所有x恒有f′′(x)＜0，则f(x)是(a，b)上的上凸函数；如果恒有f′′(x)＞0， 则f(x)是(a， b)上的下凸函数．
〔琴生〔Jensen）不等式〕
若
是区间
上的下凸函数，则对任意
，
，…，
EMBED Equation.3有
．
当且仅当
时等号成立．
当
为上凸函数时，不等式反向
〔琴生〔Jensen）不等式推论〕
若
是区间
上的下凸函数，则对任意
，
，…，
EMBED Equation.3和对任意满足
的正数
，
，…，
，有
．当且仅当
时等号成立．
当
为上凸函数时，不等式反向
1．在
中，求证下列各不等式：
（1）
；
（2）
，其中
且
．
证明：（1）考查正弦函数
，在
为上凸函数，故
．
即
．
（2）考查函数
，在
上是下凸函数．
_1049016728.unknown
_1049017601.unknown
_1049017671.unknown
_1049017910.unknown
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_1178112538.unknown
_1178113474.unknown
_1049018643.unknown
_1049018673.unknown
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_1049017764.unknown
_1049017823.unknown
_1049017686.unknown
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_1049016861.unknown
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_1049016731.unknown
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_1048858646.unknown
浙公网安备 33021202002483