导数基本公式

§2.2 导数的基本公式与运算法则 利用定义 求函数 的导数是比较复杂的。自然希望有一些基本公式和运算法则来简化求导过程。 （1） 常数的导数等于0. 故 .所以 （2） 幂函数的导数公式： 设 则 于是 . 因而 ，故有 . 以后我们可以证明：对任意实数 ，都有 如 ，即 . 而 . （3） 若 ， 都可导，则 证 当 取自变量 ，则 ， 分别取得相应的改变量 . 于是 的改变量为 故 . 此公式可以推广为 . 例如，已知 ，则 . （4） 乘积的导数公式： . 证 当 取改变量 ，则 , 分别取改变量 . 而函数的改变量为 （ ） 因而 .当 时， ， 的值并不改变，又因为 可导,所以 连续，故有 因此 故 . 即 . 当 时，则有 . 或写为 . 如果计算 可以用如下步骤： 例如 求 的导数 . 解 （五）商的导数 证 当给自变量 一个改变量 时, . 取得相应的改变量 . 而函数 的改变量应为 . 当 取极限时，因 可导， 连续，故有 , 因此 EMBED Equation.3 .即 特别，当 时， .而 . 例如 已知 ，求 . 解 (六) 对数的导数 . 为证明此结论，先求 . 因为 即证明了 ，故有 这是因为 （七） 三角函数的导数 （1） 证 设 ，则 . 因而 由 的连续性，有 .而 ，所以 即 类似可以证明 (2) (3) . 故 . 利用 可证明 (4) 利用 ，可证明 例如 求 的导数。 EMBED Equation.3 （八） 复合函数的求导法则 定理2.1 设函数 与 构成复合函数 . 若 在点 处有导数 ，且 在对应点 处有导数 ，则复合函数 在点 处也有导数，且 或写为 . 例如，把函数 视为 ， 的复合，则有 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . 注意绝对不能简单地写为 （错！）. 现在给出上述定理的证明。 证 给 以改变量 .于是得到函数 的改变量 （这里的 可能是0）；同时，由 又得到 的改变量 ,其中 . 由定理条件， 对 可导，得 再由极限的性质可知 ， 其中 . 当 时，上式化为 （其中 ）。 当 时，显然 这时我们规定 即 ，于是不论 是否为0，都有 （其中 ）。 以 除上式两端，得 .令 ，因为 可导，所以连续，于是有 . 从而 . 这样便得到 即 ，或 ，或 . （证毕） 对于多层复合函数，有类似求导法则。 例如，若 对 可导， 对 可导， 对 可导， 对 可导. 则 . 例2.1 设 ，求 . 解 令 EMBED Equation.3 , 则 例2.2 设 ，求 . 解 令 ， 则 例2.3 求 [ 解 令 ，则 200.10.31 1. 区别 2. 反函数的导数 3. 隐函数求导法则 4. 取对数求导法（是要点） 例2.4 设 求 . 解 设 ,有两个中间变量 ，由复合函数求导法知 当我们比较熟练以后，中间变量可以不写出。例如， 例2.5 设 求 . 解 是一个分段函数： . 当 时， 当 时， 是一个复合函数，令 ，因此 于是有 . 请记住这个事实： 的导数与 的导数有相同的公式，都等于 . 例2.6 已知 可导，求 和 解 首先要注意导数符号“ ”在不同的位置表示对不同变量求导，做题时应注意加以区分。 表示对 求导，而不是对 求导，但 则表示对 求导，而不是对中间变量 求导，所以 例2.7 设 可导，试解下列各题 (1) ，求 . 解 . （2） 求 . . （3） 求 . 解 （注意，其中 (u )是指对中间变量u的导数，而不是对 求导） (4) 求 . 解 . （九）反函数的导数 设函数 在点 的某领域内连续，严格单调，在点 处有不等于0的导数 ,则其反函数 在相应点 处可导，且 . 证 当 的反函数 的自变量 取得改变量 时，因变量 取得相应的改变量 . 当 时必有 ，(否则，若 , 则有 ，但 是一一对应 .故有 ，于是 此与 矛盾，所以 因此，当 时 . 又因为 在相应点连续，所以当 时， . 于是，当上式取极限，有 .此表明当 存在且 ，则其反函数 的导数也存在，且 . 换一个写法：若 ，则其反函数的导数 （当 ）. 例2.8 证明导数公式 证 令 它是函数 的反函数，由反函数的求导法则，有 = . 例2.9 证明导数公式 解 令 是 的反函数， 因此 例2.10 证明公式 ，其中 . 证 令 ， ，它是函数 的反函数，因此，由反函数的求导公式，有 . 即 ， 读者自己证明： 例2.11 求 的导数。 解 注意, 这是一个复合函数 . 例2.12 求 的导数。 解 利用复合函数的求导法则，有 . 例2.13 已知 则 PAGE 6 _1091531883.unknown _1096630011.unknown _1190299636.unknown _1190301209.unknown _1223141519.unknown _1223193701.unknown _1223724637.unknown _1223725174.unknown _1223725620.unknown _1223726344.unknown _1223726823.unknown _1223725561.unknown _1223724771.unknown _1223382271.unknown _1223724599.unknown _1223193940.unknown _1223142010.unknown _1223142180.unknown _1223142212.unknown _1223141699.unknown _1190308754.unknown _1190309959.unknown _1190371318.unknown _1190371483.unknown _1190694013.unknown _1190309990.unknown _1190310201.unknown _1190309974.unknown _1190309702.unknown _1190309931.unknown _1190308937.unknown _1190301838.unknown _1190302101.unknown _1190302248.unknown _1190302341.unknown _1190301973.unknown _1190301539.unknown _1190301639.unknown _1190301247.unknown _1190300891.unknown _1190301090.unknown _1190301112.unknown _1190300930.unknown _1190300284.unknown _1190300626.unknown _1190299914.unknown _1119704462.unknown _1187353536.unknown _1190265968.unknown _1190299305.unknown _1190299613.unknown _1190299078.unknown 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