一个关于空间曲线的拟合方法

© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 第 26 卷 　第 2 期 2003 年 6 月 　　　　　　 华 　东 　地 　质 　学 　院 　学 　报 JOURNAL 　OF 　EAST　CHINA 　GEOLOGICAL 　INSTITUTE Vol126 　No12 Jun. 2003 收稿日期 :2003203213 作者简介 :孙忠贵 (1971 —) ,男 ,讲师 ,主要从事计算机软件的研究及开发。 一个关于空间曲线的拟合方法 孙忠贵 (聊城大学数学与系统科学系 ,山东 聊城　252059) 摘　要 :由于空间曲线方程较平面曲线复杂 ,其形式具有不唯一性 ,在对空间一组点进行拟合时 ,其精确 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式难以获得 , 在一些常用数学软件如 Matlab、Mathematica 中均未给出这类曲线的拟合方法。因此 ,笔者设计了一个关于空间曲线的拟合 方法 ,并通过实例验证了该方法对某些空间曲线的有效性。 关键词 :拟合 ;数值 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ;空间曲线 ;投影 中图分类号 :O24 　　文献标识码 :B 　　文章编号 :100022251 (2003) 022153 \ | 02 　　对于较经典的空间曲线 ,很容易对其数学性质 进行研究 ,对于 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数形式较复杂的空间曲线 ,为了 研究它的数学性质 ,可在其上取一些点 ,然后对这 组点进行拟合 ,从而得到一个较简单的空间曲线 , 该曲线便是对原曲线的近似。对这组空间的点进 行拟合时 ,主要思路是 :先把这组点向 xoy 平面做 投影 ,然后利用数学软件对平面上投影点进行拟合 (张韵华等 ,2000 ;杨风翔等 ,1996 ;杨珏等 ,1996) ,最 终实现对空间曲线的拟合。 1 　一个空间曲线拟合的一般方法 设 Γ: f ( x , y , z) = 0 g ( x , y , z) = 0 为一空间曲线 ,其中 f ( x , y , z) = 0 的形式较复杂 , g ( x , y , z) = 0 的形式较简单。为了讨论Γ的性质 , 令 z等步长变化 ,通过解方程组 ,在Γ上得到一系列 点 P ,再在 xoy 而上做出这一系列点的投影 P ,然后 通对 P′(平面上的点) 进行拟合得曲线 Γ′: h ( x , y) = 0 z = 0 则 Γ″: h ( x , y) = 0 g ( x , y , z) = 0 便是 P的拟合曲线 ,又由于Γ″中 h , g均为较简 单的函数形式 ,故讨论Γ″的性质比讨论Γ的性质要 简单的多。 2 　实例验证 在解2002全国大学生数学建模竞赛 A 题“车灯 线光源的优化设计”时 , 得到线光源上一点 M (0 , m , p) (其中 p = 0. 03 , m = 0. 003) 发出光线能反射 到测试点 B 的反射点的轨迹为 LB : x 2 + y2 - ym + p 2 2 - pz x 2 + ( y - m) 2 + ( z - p2 ) 2 = x 2 + y2 - 1. 3 y + p (25 - z) x 2 + ( y - 1. 3) 2 + ( z - 25) 2 　　　　　 (1) x 2 + y2 = 2 pz 　　(2) 其中 (2) 式中 z ∈[0 ,0. 021 6 ]. 为了计算光强 ,须对 LB 进行第一类曲线积分。但实践证明 , 由于 LB 的 (1) 式过于复杂 ,即便借助数学软件仍不能对 LB 进 行精确化简或积分 ,为此对 LB 进行空间曲线拟合。 首先令 z 取步长为 0. 001 ,在[0 ,0. 021 6 ] 上取 一系列点 P。详细 Mathematica 程序及数据如下 : p = 0. 03 ; m = 0. 003 ; For[ z = 0 , z < = 0. 021 6 , z = z + 0. 001 , Print [ Solve[{ ( x 2^ + y 2^ - 1. 3 3 y + p 3 (25 - z) ) 2^/ ( x 2^ + ( y - 1. 3) 2^ + ( z - 25) 2^) = = ( x 2^ + y 2^ - y 3 m + p 3 ( p/ 2 - z) ) 2^/ ( x 2^ + ( y - m) 2^ + ( z - p/ 2) 2^) , x 2^ + y 2^ = = 2 3 p 3 z} ,{ x , y} ] ] ] © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net P = Table[ { { - 0. 007 406 91 ,0. 002 266 64} , { 0. 007 406 91 ,0. 002 266 64} ,{ - 0. 010 708 ,0. 002 310 66} , { 0. 010 708 ,0. 002 310 66} , { - 0. 013 208 3 ,0. 002 353 92} ,{ 0. 013 208 3 ,0. 002 353 92} , { - 0. 015 305 5 ,0. 002 396 38} ,{ 0. 015 305 5 , 0. 002 396 38} ,{ - 0. 017 148 1 ,0. 002 438 02} , { 0. 017 148 1 ,0. 002 438 02} , { - 0. 018 811 ,0. 002 478 8} ,{ 0. 018 811 ,0. 002 478 8} , { - 0. 020 338 5 ,0. 002 518 73} ,{ 0. 020 338 5 , 0. 002 518 73} ,{ - 0. 021 759 1 ,0. 002 557 79} , { 0. 021 759 1 ,0. 002 557 79} ,{ - 0. 023 092 4 , 0. 002 595 99} ,{ 0. 023 092 4 ,0. 002 595 99} , { - 0. 024 352 9 ,0. 002 633 36} ,{ 0. 024 352 9 , 0. 002 633 36} ,{ - 0. 025 551 4 ,0. 002 669 92} , { 0. 025 551 4 ,0. 002 669 92} , { - 0. 026 696 ,0. 002 705 73} ,{ 0. 026 696 ,0. 002 705 73} , { - 0. 027 793 7 ,0. 002 740 84} ,{ 0. 027 793 7 , 0. 002 740 84} ,{ - 0. 028 849 6 ,0. 002 775 31} , { 0. 028 849 6 ,0. 002 775 31} ,{ - 0. 029 868 2 , 0. 002 809 22} ,{ 0. 029 868 2 ,0. 002 809 22} , { - 0. 030 853 2 ,0. 002 842 66} ,{ 0. 030 853 2 , 0. 002 842 66} ,{ - 0. 031 807 7 ,0. 002 875 72} , { 0. 031 807 7 ,0. 002 875 72} ,{ - 0. 032 734 4 , 0. 002 908 47} ,{ 0. 032 734 4 ,0. 002 908 47} , { - 0. 033 635 6 ,0. 002 9410 3} ,{ 0. 033 635 6 , 0. 002 941 03} ,{ - 0. 034 513 2 ,0. 002 973 49} , { 0. 034 513 2 ,0. 002 973 49} , { - 0. 035 369 ,0. 003 005 93} ,{ 0. 035 369 ,0. 003 005 93} } ] 然后对在 xoy 面上的投影 P′进行拟合 ,得拟合 函数为 y = 0. 613 7 x2 + 0. 002 3 z = 0 故 LB 的近似函数为 L′B : y = 0. 613 7 x2 + 0. 002 3 x 2 + y2 = 2 pz L′B 与LB 相比较 ,方程形式大大化简 ,有利于我们 讨论该函数的数学性质。 详细 Mathematica 程序及拟合效果如下 : pic1 = ListPlot [ P] ; In[1 ] : = Fit [ P ,{ 1 , x , x 2^} , x ] ; Out[1 ] = 0. 002 256 387 361 659 817 79 - 1. 887 212 068 042 709 48‘3^ - 9 x + 0. 613 716 939 907 977 376‘x^ 2) pic2 = Plot[0. 002 256 387 361 659 817 79‘+ 0. 613 716 939 907 977 376‘x^ 2 ,{ x , ( - 0. 037 , 0. 037) } ]; Show[pic1 ,pic2 ] 图 1 　拟合效果 Fig. 1 　Effect of the fitting 3 　结语 在对空间曲线进行拟合时 ,拟合效果与构成空 间曲线的曲面性质密切相关。只要能找到较简单的 曲面 g ( x , y , z) = 0 ,保证在对曲线进行投影时没 有重点或重点很少 ,便会得到较好结果。用投影法 进行曲线拟合的实质是一种降维方法 ,通过投影将 三维问题降为二维 ,也给 n ( n > 3) 维空间中的曲 线拟合提供了一种降维思路。 参 考 文 献 杨风翔 ,翟瑞彩. 1996. 数值分析[M] . 天津 :天津大学出版社. 杨珏 ,何旭洪 ,赵昊彤. 1999. Mathematica 应用指南 [ M] . 北京 :人民 邮电出版社. 张韵华 ,奚梅成 ,陈长松. 2000. 数值计算方法和算法 [ M] . 北京 :科 学技术出版社. A Fitting Method for Space Curve SUN Zhong2gui (Department of Mathematics and System Science , Liaocheng University , Liaocheng SD 252059 ) Abstract : We can not get the fitting method for space curve from Matlab , Mathematica or other mathematical software directly. This paper presents a fitting method for space curve and proves the theory is effective from an example. Key Words : fitting ; numerical analysis ; space curve ; projection 451 华　东　地　质　学　院　学　报　　　　　　　　　　　　　　　　　　2003 年