Matlab在材料力学超静定问题求解及梁变形可视化中的应用

　收稿日期 : 2006207206 作者简介 : 王玉山 (19792) ,男 ,助教 ,从事固体力学研究。e2mail :wysbgxn @shzu. edu. cn 第 25 卷 　第 1 期 2007 年 2 月 石河子大学学报 (自然科学版) Journal of Shihezi University(Natural Science) Vol. 25 　No. 1 Feb. 2007 文章编号 :100727383 (2007) 0120109203 Matlab 在 材料 关于××同志的政审材料调查表环保先进个人材料国家普通话测试材料农民专业合作社注销四查四问剖析材料 力学超静定问题求解及 梁变形可视化中的应用 王玉山1 , 王 　锐2 (1 石河子大学水利建筑 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 学院 ,新疆石河子 832003 ; 2 石河子大学师范学院物理系 ,新疆石河子 ,832003) 摘要 : 针对材料力学中复杂的超静定计算问题和抽象的梁的变形问题 ,本文应用 Matlab 计算软件编制了程序 ,实现 了对超静定问题的求解以及对梁变形的可视化。 关键词 : Matlab ; 材料力学 ; 应用 中图分类号 : TB301 　　　　文献标识码 : A 　　　　 　　Matlab[1 ]是一种集数值计算、符号运算、可视化 建模、仿真和图形处理等多种功能于一体的优秀的 图形化语言。它提供了强大的科学计算、灵活的程 序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计的功 能。目前 ,Matlab 已经成为国际上最流行的科学与 工程计算的软件工具 ,它可以将使用者从繁琐的底 层编程中解放出来 ,把有限且宝贵的时间更多地用 在解决问题中。Matlab 因其使用上的方便、强大功 能及良好的用户界面 ,在科学研究机构及高等学校 范围内已被广泛使用。 材料力学作为一门与工程设计和计算有关的技 术科学 ,其中很大一部分内容可以采用计算机分析 , 但是常用的算法语言 ,如 FORTUAN 语言 ,编制的程 序实现过程往往过于烦琐 ,且很难实现计算结果的 可视化。本文应用Matlab 语言对材料力学中的某些 问题 ,应用了计算机的分析 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ,编制了相应的程 序 ,使计算和作图问题变得简单、高效。 1 　运用 Matlab 求解拉压杆系的超静 定问题 　　对于物体系统 ,求解平衡问题往往对应着一个 复杂的线性方程组的求解 ,非常麻烦 ,常需要花费较 多时间来解题。然而 ,应用Matlab 来求解非常简单 , 其数学模型为矩阵形式的线性方程组 AX = B ,求解 时只需写 X = A \ B 即可以得到结果。 例 1 :如图 1 所示 ,三根杆组成的桁架 ,三杆的 材料相同 ,弹性模量 E = 200GPa ,各杆横截面面积分 别为 A1 = 200mm2 ,A2 = 300mm2 ,A3 = 400mm2 ,若 F = 40kN。试求各杆的内力及节点 A 的位移。 解 : 设各杆受拉 , A 点应各杆变形而引起的 x 方向 位移Δx , y 方向位移Δy。 1) 由胡克定律[2 ]得变形为 : Δl i = N il i EA i , i = 1 ,2 ,3。 (1) 图 1 　桁架示意图 2) 变形的几何关系[3 ]为 : Δl i =Δxcosαi +Δysinαi , i = 1 ,2 ,3。 (2) 式 (2) 中 ,αi 为从 x 轴逆时针旋转到杆的伸长方向间 夹角。 令 EA il i = Ki , 上式联立得 Δl i = N i Ki =Δxcosαi +Δysinαi , i = 1 ,2 ,3。 © 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 图 2 　节点 A 的受力 3) 如图 2 以节点 A 为对象建立平衡方程 ∑ 3 i = 1 Fx = 0 , N1cosα1 + N2cosα2 + N3cosα3 = 0 ; ∑ 3 i = 1 Fy = 0 , N1sinα1 + N2sinα2 + N3sinα3 = - F。 由于以上线性方程组具有唯一解 , 下面利用 Matlab 矩阵左除命令求解。 4) Matlab 程序如下 : F = 40000 ; E = 200e9 ;L = 4 ; A1 = 200e - 6 ;A2 = 300e - 6 ;A3 = 400e - 6 ; a1 = 3 3 pi/ 2 ; a2 = 11 3 pi/ 6 ; a3 = 0 ; L1 = L 3 tan (pi/ 6) ;L2 = L/ cos(pi/ 6) ;L3 = L ; K1 = E 3 A1/ L1 ; K2 = E 3 A2/ L2 ; K3 = E 3 A3/ L3 ; D = [ cos ( a1) , cos ( a2) , cos ( a3) , 0 , 0 ; sin ( a1) , sin (a2) ,sin (a3) ,0 ,0 ; ⋯ 1/ K1 ,0 ,0 , - cos (a1) , - sin (a1) ;0 ,1/ K2 ,0 , - cos (a2) , - sin (a2) ; ⋯ 0 ,0 ,1/ K3 , - cos(a3) , - sin (a3) ] ; B = [0 ; - F ;0 ;0 ;0 ] ; format long , X = D \ B \ 4)程序运行结果 : X = 35521. 4236006235(N1) 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示 1 杆内力 ; 08957. 1527987531 (N2) 表示 2 内力 ; - 07757. 1218692990 (N3) 表示 3 杆内力 ,负号 表示与假设方向相反 ; - 0. 0003878561 (Δx) 表示节点 A 在 X 方向位 移 ; - 0. 0020508303 (Δy) 表示节点 A 在 Y 方向位 移。 2 　运用Matlab 绘制梁的内力图和变形图 Matlab 具有强大的绘图功能 ,可以方便地把计 算结果用图形表示出来 ,如梁的内力图 ,甚至复杂的 变形图 ,都可以快速地绘制出来。 例 2 　如图 3 所示 ,外伸梁受到均布荷载、集中 力的作用 ,已知抗弯刚度 EI ,试作出梁的剪力图、弯 矩图、截面转角图、挠曲线图。 图 3 　外伸梁示意图 　　解 :1) 剪力、弯矩方程的建立[4 ] 。 Ra = 8 qa2 + 5 qa2 4 a , Rb = 8 qa2 - qa2 4 a 。 对于 CA 段梁 ,其剪力和弯矩方程分别为 : Q1 = - F ,0 < x < a ; M1 = - Fx ,0 ≤x ≤a。 对于 AB 段梁 ,剪力和弯矩方程分别为 : Q2 = - F + Ra - q ( x - a) , a < x < 5 a ; M2 = - Fx + Rax q ( x - a) 2 2 , a ≤x ≤5 a。 2) 积分求转角、挠度方程。 由挠曲线近似微分方程 EIω″= - M ( x) [5]积分得 : θ= ∫x0 MEId x + C1 =θ0 ( x) + C1 ; ω= ∫x0θd x + C2 = ∫x0θ0 ( x) d x + C1 x + C2 =ω0 ( x) + C1 x + C2。 2 个待定的积分常数 C1 和 C2 可以由边界条件 ω( a) =ω(5 a) = 0 确定 ,即 ω( a) =ω0 ( a) + C1 a + C2 = 0 , ω(5 a) =ω0 (5 a) + 5 aC1 + C2 = 0。 3) Matlab 程序[6 ] 。 a = 1 ;q = 1000 ; E = 200e9 ; I = 2e - 6 ;F = q 3 a ; Ra = 13 3 q 3 a/ 4 ; Rb = 7 3 q 3 a/ 4 ; x = linspace (0 ,5 3 a ,101) ; dx = (5 3 a) / 100 ; Q1 = - F 3 ones(1 ,20) ; M1 = - F 3 x(1 :20) ; Q2 = - F + Ra - q 3 (x (21 :100) - a) ; Q3 = - F + Ra - q 3 4 3 a + Rb ; M2 = - F 3 x(21 :101) + Ra 3 (x (21 :101) - a) - q 3 (x(21 :101) - a) .^ 2/ 2 ; Q = [Q1 ,Q2 , Q3 ] ; M = [ - M1 , - M2 ] ; A0 = cumtrapz(M) 3 dx/ ( E 3 I) ; 积分求转角 ,不 含积分常数。 W0 = cumtrapz (A0) 3 dx ;积分求挠度 ,不含积分 常数。 011　　　　　　　　　　　　　　　　　　　石河子大学学报 (自然科学版) 　　　　　　　　　　　　　　　　第 25 卷 © 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 　　C = [1 ,1 ;5 ,1 ] \ [ - W0(21) , - W0 (101) ]’; A = A0 + C(1) ; W = W0 + C(1) 3 x + C(2) ; subplot (2 , 2 , 1) ,Qmax = max ( abs (Q) ) ,plot ( x , Q) ,title (′剪力图′) ,grid on subplot (2 ,2 ,2) , Mmax = max (abs (M) ) ,plot (x , M) ,title (′弯矩图′) ,grid on subplot (2 ,2 ,3) ,plot (x ,A) ,title (′转角′) ,grid on subplot (2 ,2 ,4) , Wmax = max (abs (W) ) ,plot (x , W) ,title (′挠曲线′) ,grid on 4)程序运行结果 (图 4) 。 图 4 中 ,弯距为正说明截面处的弯曲变形为下 凸上凹 (即下侧受拉为正) ,转角为正说明截面处的 转角转向为顺时针方向 ,挠度为正说明截面处的挠 度向下变形。此外 ,运用 max 和 abs 函数将最大剪 力、最大弯距及最大挠度输出 ,分别为 :剪力的最大 值为 2250N ,弯矩的最大值为 1531. 3N·m ,挠度的最 大值为 0. 0059mm。 图 4 　运用 Matlab 绘制的内力图和变形图 参考文献 : [1 ] 徐荣桥. 结构分析的有限元法与 MATLAB 程序设计 [M] .北京 :人民交通出版社 ,2006. [2 ] 苏翼林. 材料力学[M] .北京 :人民教育出版社 ,1979. [3 ] 陈怀琛. MATLAB 及其在理工课程中的应用指南 [M] . 西 安 :西安电子科技大学出版社 ,2004. [4 ] 林毓钅奇 ,陈 　瀚 ,楼志文. 材料力学 [M] . 西安 :西安交通 大学出版社 ,1996. [5 ] 孙训方 ,方孝淑 ,关来泰. 材料力学 [M] . 北京 :高等教育 出版社 ,2004. [6 ] 肖 　伟 ,刘 　忠 ,曾新勇 ,等. MATLAB 程序设计与应用 [M] .北京 :清华大学出版社 ,2005. Application of Matlab in Mechanics of Materials for Solving Statically Indeterminate Problem and Visualizing Beam Deformation WANG YU2shan , WANG Rui (1 College of Water Conservancy and Architecture Engineering ,Shihezi University ,Shihezi Xinjiang 832003 ,China ; 2 Teachers College ,Shihezi University ,Shihezi ,Xinjiang 832003 ,China) Abstract : In view of the large number of complicated statically indeterminate problems and deformation problems of ab2 stract beam in Mechanics of Materials studies ,the paper compiles some programs to calculate and plot by Matlab mathe2 matics calculation software. Key words : Matlab ; material mechanics ; application 111第 1 期 　　　　　　　　王玉山 ,等 : Matlab 在材料力学超静定问题求解及梁变形可视化中的应用 　　　　　　　　　 © 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net