2 集合之间的关系
教材分析
集合之间的关系是集合运算的基础和前提，是用集合观点理清集合之间内在联系的桥梁和工具．这节内容是对集合的基本概念的深化，延伸，首先通过类比、实例引出子集的概念，再结合实例加以说明，然后通过实例说明子集包括真子集和两集合相等两种情况．这节内容的教学重点是子集的概念，教学难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区别．
教学目标
1. 通过对子集概念的归纳、抽象和概括，体验数学概念产生和形成的过程，培养学生的抽象、概括能力．
2. 了解集合的包含、相等关系的意义，理解子集、真子集的概念，培养学生对数学的理解能力．
3. 通过对集合之间的关系即子集的学习，初步体会数学知识发生、发展、运用的过程，培养学生的科学思维方法．
任务分析
这节内容是在学生已经掌握了集合的概念和表示方法以及两个实数之间有大小关系的基础上，进一步学习和研究两个集合之间的关系，采用从实例入手，由具体到抽象，由特殊到一般，再由抽象、一般到具体、特殊的方法，知识的产生、发生比较自然，易于学习、接受和掌握；采用分类讨论的方法阐述子集包括真子集、等集（两集合相等）两种情况，这可以使学生更好地认识子集、真子集、等集三者之间的内在联系．
教学设计
一、问题情境
1. 元素与集合之间的关系是什么？
元素与集合是从属关系，即对一个元素x是某集合A中的元素时，它们的关系为x∈A．若一个对象x不是某集合A中的元素时，它们的关系为x
2. 集合有哪些表示方法？
列举法，描述法，Venn图法．
数与数之间存在着大小关系，那么，两个集合之间是不是也存在着类似的关系呢？先看下面两个集合：A＝｛1，2，3｝，B＝｛1，2，3，4，5｝．它们之间有什么关系呢？
二、建立模型
1. 引导学生分析讨论
集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素．
集合B中的元素4，5不是集合A中的元素．
2. 与学生共同归纳，明晰子集的定义
对于上述问题，教师点拨，A是B的子集，B不是A的子集．
子集：对于两个集合A，B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作AB（或BA），就说集合A是集合B的子集．
用符号语言可表示为：如果任意元素x∈A，都有x∈B，那么AB．
规定：空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合A，有
INCLUDEPICTURE "http://www.teacher.com.cn/netcourse/tkc204a/images/020201.gif" \* MERGEFORMATINET A．
3. 提出问题，组织学生讨论
给出三个集合：A＝｛1，2，3｝，B＝｛1，2，3，4，5｝，C＝｛1，2，3｝．
（1）A是B的子集吗？B是A的子集吗？
（2）A是C的子集吗？C是A的子集吗？
4. 教师给出真子集与两集合相等的定义
上述问题中，集合A是集合B的子集，并且集合B中有元素不属于集合A，这时，我们就说集合A是集合B的真子集；集合A是集合C的子集，且集合A与集合C的元素完全相同，这时，我们就说集合A与集合C相等．
真子集：如果集合A是集合B的子集，即AB，并且B中至少有一个元素不属于集合A，那么集合A叫作集合B的真子集，记作AB或BA．
AB的Venn图为
两集合相等：如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，即AB，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A 中的元素，即BA，那么就说集合A等于集合B，记作A＝B．
A＝B的Venn图为
思考：设A，B是两个集合，AB，AB，A＝B三者之间的关系是怎样的？
5. 子集、真子集的有关性质
由子集、真子集的定义可推知：
（1）对于集合A，B，C，如果AB，BC，那么AC．
（2）对于集合A，B，C，如果AB，BC，那么AC．
（3）AA．
（4）空集是任何非空集合的真子集．
三、解释应用
［例 题］
1. 用适当的符号（∈，，＝，，）填空．
（1）3 ___________ ｛1，2，3｝．
（2）5 ___________ ｛5｝．
（3）4 ___________ ｛5｝．
（4）｛a｝ ___________ ｛a，b，c｝．
（5）0 ___________ ．
（6）｛a，b，c｝ ___________ ｛b，c｝．
（7） ___________ ｛0｝．
（8） ___________ ｛｝．
（9）｛1，2｝ ___________ ｛2，1｝．
（10）G＝｛x｜x是能被3整除的数｝ ___________ H＝｛x｜x是能被6整除的数｝．
2. 写出集合｛a，b｝的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集．
3. 说出下列每对集合之间的关系．
（1）A＝｛1，2，3，4，｝，B＝｛3，4｝．
（2）P＝｛x｜x2＝1｝，Q＝｛-1，1｝．
（3）N，N*．
（4）C＝｛x∈R｜x2＝-1｝，D＝｛0｝．
［练 习］
1. 用适当的符号（∈，，＝，，）填空．
（1）a ___________ ｛a｝．
（2）b ___________ ｛a｝．
（3） ___________ ｛1，2｝．
（4）｛a，b｝ ___________ ｛b，a｝．
（5）A＝｛1，2，4｝ ___________ B＝｛x｜x是8的正约数｝．
2. 求下列集合之间的关系，并用Venn图表示．
A＝｛x｜x是平行四边形｝，
B＝｛x｜x是菱形｝，
C＝｛x｜x是矩形｝，
D＝｛x｜x是正方形｝．
拓展延伸
填 表
表2-1
集 合
集合中元素的个数
子集的个数
真子集的个数
｛a｝
1
｛a，b｝
2
｛a，b，c｝
3
｛a，b，c，d｝
4
…
…
（1）你能找出“集合中元素的个数”与“子集的个数”、“真子集的个数”之间关系吗？
（2）如果一个集合中有n个元素，你能写出计算它的所有子集个数与真子集个数的公式吗？（用n表达）
点 评
这篇案例结构严谨，思路清晰，概念和关系的引出注重从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认识过程．具体地说就是，先结合实例研究两个具体集合的关系，从而引出子集的定义，然后再结合实例说明AB，包括AB，A＝B两种情况，再给出真子集、等集的定义．这样的处理方式，符合学生的认知规律，符合新课程的理念，例题与练习由浅入深，注重数形结合，使学生从不同角度加深了对集合之间的关系的理解．拓展延伸注重培养学生从特殊到一般地解决数学问题的能力．值得注意的是，在引出子集定义时，最好明确指出，集合之间的“大小”关系实质上就是包含关系．
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