杯赛专题——质数、合数及分解质因数
学而思 朱红老师
【名师点题】
质数、合数以及分解质因数是数论中极为重要的一大板块，特别是分解质因数常常是我们解决数
论题目的关键的第一步。
数论问题常常与代数思想相结合，所以同学们在做题的时候要将题目中的条件转化为数学语言，
再结合学习的数论知识求出
答案
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。
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【考点
分析
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】
（1）分解质因数往往是解决大量数论题目的第一步，因此分解质因数正确与否决定了这道题我们是
否能够成功做出来，并且在分解质因数的过程中如果分解出了一个较大的质数那么这个数通常
就是我们解题的“突破口”。
（2）在做数论题目时，乘法比加减法对我们解题要重要得多，所以同学们在解答题目时写出来的算
式能够转化成乘法算式的尽量转化为乘法算式的形式，这是为什么呢？因为分解质因数的形式
就是乘法。
（3）有些较大的数是否为质数较难判定，所以很多同学在考试时间紧迫的情况下就草率地判定其为
质数，直接导致答案错误，所以在这里要提示各位同学，对于质数的判定一定要细心严谨。
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【
真题
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回放】
【真题】（2009 年华罗庚金杯初赛考题）在 19，197，2009 这三个数中，质数的个数有（ ）个。
【分析】检验一个数 p 是否为质数的方法是：找一个小于 p 且最接近 p 的完全平方数 k2，列出不大于
k 的所有质数，如果 p 不能被这些质数整除，那么 p 就是质数，如果 p 能被这些质数中的任
意一个整除，那么 p 就是合数。
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【经典解析】
【例 1】三位数 ABC是一个质数，巧的是 A，B，C， AB，BC也都是质数，求三位数 ABC ？
【分析】一位数质数只有 2，3，5，7，而 3+5+7=15，能被 3 整除，所以 A，B，C 中一定有一个是 2。
因为 AB，BC也都是质数，所以 B 和 C 都不是 2，所以 A=2。因为 AB是质数，所以 B 不
是 5 或者 7，所以 B=3。由 BC是质数可得 C=7，所以这个数是 237。
【例 2】是否存在两个正整数，使得它们的和、差(大减小)、积、商的和为 2006？
【分析】假设存在这样的两个正整数，设其分别为 a，b(a>b)。因为两个数的商是整数，所以设 a=bk，
则两个数的和、差、积、商分别是 b+bk，bk-b，b2k，k。
所以它们的和、差、积、商的和=b2k+2bk+k=k(b+1)2。
因为 2006=2×17×59，不可能写成一个整数乘以一个完全平方数的形式，所以不存在两个正
整数，使得它们的和、差、积、商的和为 2006。
浙公网安备 33021202002483