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椭圆轨迹求法

椭圆轨迹求法椭圆轨迹求法一.定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义，可用定义直接探求.例1：已知两圆C1：，C2：，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程分析：动圆满足的条件为：①与圆C1相内切；②与圆C2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式解：设动圆圆心Ｍ（，），半径为，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C1，∴，圆Ｍ外切于圆C2　，∴，∴， ∴　动圆圆心Ｍ的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，且，，故所求轨迹方程为：．例2：在周长为定值的△ABC中,已知|AB|=6,且当顶点C位于定点...

椭圆轨迹求法一.定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义，可用定义直接探求.例1：已知两圆C1：，C2：，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程分析：动圆满足的条件为：①与圆C1相内切；②与圆C2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式解：设动圆圆心Ｍ（，），半径为，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C1，∴，圆Ｍ外切于圆C2　，∴，∴， ∴　动圆圆心Ｍ的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，且，，故所求轨迹方程为：．例2：在周长为定值的△ABC中,已知|AB|=6,且当顶点C位于定点P时,cosC有最小值为.建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程.解:以AB所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系,设|CA|+|CB|=2a(a>3)为定值,所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆,所以焦距2c=|AB|=6因为又,所以,由题意得此时,|PA|=|PB|,P点坐标为P(0,±4).所以C点的轨迹方程为例3.①已知,A(3,0),B(-3,0),且三边长|AC|、|AB|、|BC|依次成等差数列，求顶点C的轨迹方程.②如图,已知圆B：(x+1)2+y2=16及点A(1,0),C为圆B上任意一点，求线段AC的垂直平分l与线段CB的交点P的轨迹方程.③一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0内切，求动圆圆心的轨迹方程.解①:由题意,故C点的轨迹为以A,B为焦点,长轴长为12cm的椭圆.故所求轨迹方程为②故P点的轨迹为以A,B为焦点,长轴长为4cm的椭圆.故P点的轨迹方程为 ③圆A:,圆B:,.设动圆半径为r,则由平面几何得知:故P点的轨迹为A,B为焦点,长轴长为12cm的椭圆.故所求轨迹方程为例4.设为直角坐标系内轴正方向的单位向量，，且．求点的轨迹的方程；解析：由已知可得又知，即点到两定点的距离之和为定值8，又8>4所以的轨迹为以为焦点椭圆，故方程为例5.一束光线从点出发,经直线上一点反射后,恰好穿过点．求以、为焦点且过点的椭圆的方程;解析：设点关于直线的对称点,则,解得,∴∵,根据椭圆的定义,得===,∴,,．∴椭圆的方程为．二.待定系数法：求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求。例1.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，求该椭圆的方程．分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式：＝１（，进行求解，避免讨论。解：设所求的椭圆方程为＝１（．∵椭圆经过两点，∴　解得　，故所求的椭圆标准方程为．例2.(08年江苏)已知三点P(5,2),,求以为焦点且过点椭圆的标准方程.解:设椭圆方程为,由已知,(1)又点在椭圆上,故(2) 由(1)、（2）得：.故椭圆方程为例3.已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆与圆交于两点,恰是该圆的直径,是的斜率为,求此椭圆方程.解:设椭圆方程为,.圆的方程可化为,圆心(2,1),直径||=.则而在椭圆上,故有相减得:故椭圆方程可化为.的方程为代入椭圆方程得:由得故所求椭圆方程为三.椭圆的另类作法考查轨迹方程1.定长线段的规则移动考查轨迹方程.例1.如图,线段的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，，点M是上一点，且，求点M的轨迹方程.解：设则由得得2．由圆上点的比例点考查轨迹方程。例2．从圆上任意一点向轴作垂线段且线段上一点，满足关系式,求点M的轨迹方程.解：设则代入,得3.由椭圆的几何作法考查轨迹方程.例3.如图，以原点为圆心，分别以a、b(a>b>0)为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作ANOx,垂足为N，过点B作BMAN，垂足为M.求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹方程。解:设则消去得:评析:①第一类即椭圆规的理论依据.②第二类很好地反映了椭圆经过伸缩变换转化为圆,反之亦然,以此为思路,可转化椭圆问题为圆的相关问题解决.③第三类也是椭圆的参数方程的推导方法 .4.由动弦的中点轨迹考查椭圆的轨迹方程例4.(06江西)如图:椭圆右焦点为,过点的一动直线绕点转动,并且交椭圆于两点,为线段中点,求点的轨迹方程.解:设.则相减得:(1)当时,则得(2)当时,点即为,满足上式.(3)故所求轨迹方程为5.斜率之积为常数考查轨迹方程例5.的两个顶点A、B的坐标分别是(-6,0)、(6,0),边AC、BC所在直线的斜率之积等于,求顶点C的轨迹方程.解:设则而四：转化已知条件例1：设Q、G分别为的外心和重心,已知,,｡求点的轨迹解析:设,∵,∴又∵Q是外心,且∵∴,即例2.已知M（4，0）、N（1，0），若动点P满足。求动点P的轨迹方程；解设动点P（x，y），则由已知得，化简得∴点P的轨迹是椭圆例3.已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且．求动点的轨迹的方程；解析：设，则，∵，∴．即，即，所以动点的轨迹的方程．

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