弯曲中的静力学:剪力图和弯矩图
MA 02139,剑桥
麻省理工学院
材料科学与工程系
David Roylance
2000 年 11 月 15 日
引言
梁是细而长的构件,它们与桁架杆件的区别在于:梁不仅能承受轴向载荷,也能承受
横向载荷。梁的连接方式也比桁架杆件更为复杂:梁可通过螺栓或焊接而连在一起,因此连
接处可将弯矩和横向力传递到梁内。梁是最常用的构件之一,它们是飞机、建筑物、汽车、
人体和其他许多结构的支承框架。
梁的几何尺寸及梁横截面各部分的命名是相当标准的:如图1所示,L为长度或跨度;b
为宽度; h为高度(也称为深度)。梁横截面的形状不一定是矩形,倒是常常采用由垂直的
腹板和位于梁1顶、底部的水平翼缘所组成的截面。
图 1 梁的几何尺寸及梁横截面各部分的命名
在模块13和14中将看到,弯曲载荷引起的梁的应力和位移沿着梁的长度方向和高度方向
都有变化。为了计算这些量并掌握这些量的空间变化规律,第一步是要画出剪力图 和
弯矩图 ,这些图反映了梁中产生的内力——剪力和弯矩沿梁长度的变化情况。以下将
讲述剪力图和弯矩图的画法。
)(xV
)(xM
图2 悬臂梁
1 建筑用刚梁的
表
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示已标准化,例如W 8×40表示名义深度为8英寸、单位长度重为40 lb/ft的宽翼缘梁。
1
受力图
先举一个简单的例子,梁的一端固定(即 “悬臂梁”),其自由端受到载荷P的作用,
如图2所示。在位置 x处,假想用截面将梁横向截断,截出部分的受力图表明:为了保持平
衡,其横截面上必有剪力V 和弯矩M 。在模块13中将证明:由弯曲载荷引起的横截面上切
应力的合力就是剪力、而正应力的合力就是弯矩。通常,规定外法线指向 x轴正向的截面为
正,简记为+ x截面,规定+ x面上指向 轴正向的剪力为正。弯矩按右手法则用矢量来表
示时,则+
y
x面上指向 轴正向的弯矩矢量为正。即弯矩矢量垂直纸面向外、或弯矩有使纸
面逆时针方向转动趋势时为正。另外一种判别法为:若梁弯曲后的形状是向上凹,则弯矩为
正。对本例中的梁,其静力学方程为:
z
注意:离载荷端的距离越远,弯矩也越大。因此,梁越长,M 最大值与V 的比值就越
大。这一结论对大多数梁都成立,所以,对长度与高度之比值较小的梁来说,剪切效应往往
更为重要。
图3 剪力图和弯矩图
如上所述,可以证明梁的应力和位移是V 和M 的函数,所以需要计算V 和M 是如何
沿着梁的长度而变化的,具备这一计算能力是十分重要的。 图和 图分别称为剪
力图和弯矩图。在确定应力之前,必须先得到这两张图。对自由端加载的悬臂梁,图3所示
的剪力图和弯矩图显然是由式(1)和式(2)得出的。
)(xV )(xM
图4 墙对悬臂梁的约束反力
分析悬臂梁时,从自由端处开始是最容易的,但坐标原点的选取是任意的。我们并非总
能猜出最容易的处理方法,所以应该考虑:如果坐标原点取在图4所示的墙上,将出现什么
情况。现在画受力图时,在坐标原点处必须画上力和力偶,这就是墙对梁的反作用力及力偶。
正是外加载荷和反作用力及力偶,共同使梁保持平衡状态。如果梁是静定的,从梁整体的受
2
力图,就能确定这些反作用力及力偶,并且必须在继续进行后续步骤之前先行求得。对图4
所示的梁:
于是,在距原点为 x处,截面上的剪力和弯矩分别为
坐标原点这样选择时,代数式与前有所不同,但图5所示的 图和 图除了符
号的变化外,和图3是一样的:V 依然是一个常数,且等于
)(xV )(xM
P;M 从自由端的零线性地变
化到墙体固定端的 。 PL
图5 悬臂梁另一种形式的剪力图和弯矩图
分布载荷
图6 分布载荷和自由体截段
横向载荷也可能以分布的形式而不是集中于一点的方式作用于梁上,如图6所示,图中
的分布载荷看起来就像沙子堆积在梁上。为方便起见,我们用单位长度上的力来表示分布载
荷,于是 d)(xq x就是分布载荷 作用在长为d)(xq x的微段上的载荷。由此载荷引起的剪力
为
3
式中, 为 起点处的0x )(xq x值,ξ 为积分变量,表示从 x起往回度量的长度。因此,
就是从 到位置
)(xV
0x x处 曲线下的面积。考虑梁上与点)(xq x距离为ξ 、宽度为dξ 的微段,其
上作用的载荷增量为 )(ξq dξ ,该段载荷对点 x之矩的增量为 ξξ )(q dξ ,于是通过矩平衡
方程,可得弯矩 为 )(xM
对于 曲线下直到点)(xq x为止的面积,其形心与点 x的距离为
式(4)与此形心坐标有关,因此式(4)可写成
式中, d∫= )(ξqQ ξ 即为曲线下的面积。故从静力学角度来看,分布载荷 等价于作用
在 曲线下面积形心处的、大小为 的集中载荷。
)(xq
)(xq Q
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图7 分布载荷和集中载荷
例1 简支梁受到三角形分布载荷和集中载荷的作用,如图7所示。为确定支座反力 和
,三角形分布载荷可用一个静力学等价的力来代替。此等价力的大小为
1R
2R
4
此等价力作用在三角形面积的形心处,作用点与三角形顶点的距离为载荷分布总长度的2/3
(见题1图)。现在,对梁左端取矩就可求出约束反力 : 2R
然后由垂直方向的受力平衡可求出另一个约束反力 : 1R
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连续积分法
图8 分布载荷、剪力和弯矩之间的关系
在式(3)中,我们已经注意到:剪力曲线是载荷曲线对长度的积分再加一个负号。这
个结果也可用另外的方法得到,从梁中取出长为d x的微段,在微段的左、右两截面上,剪
力和弯矩分别从V 和M 变化到 dV 和+V +M dM (见图8),分布载荷 在此微小的
距离内可看作常数,则该自由体的静力平衡方程为:
)(xq
或
上式与式(3)等价。对微段中点的矩平衡方程为
当增量d x缩短至趋近于零时,含有高阶微量dV d x的项与其它项相比可以忽略不计,剩下
的是
5
或
因此,沿梁轴线任意点处的剪力等于弯矩曲线在该点处斜率的负值,弯矩曲线在任意点处的
值等于剪力曲线下到该点为止所围面积的负值。
如下例所示,通过对分布载荷 的连续积分,可得到剪力曲线和弯矩曲线。 )(xq
_______________________________________________________________________________
图9 悬臂梁中的剪力和弯矩函数
例2 悬臂梁上作用着负的分布载荷 0)( qxq −= =常数,如图9所示。于是
式中, 为积分常数。在靠近 处(梁的左端)取微段,由其受力图可得, ,
故 必为零。再积分,得弯矩函数:
1c 0=x 0)0( =V
1c
式中, 为另一个积分常数。因为2c 0)0( =M ,故 也为零。 2c
_______________________________________________________________________________
无可否认,上例是容易求解的,因为我们挑选的边界条件恰为零,而且整段梁上只受
一个载荷的作用。当集中载荷或分布载荷作用于梁的不同位置时,就必须对各载荷之间的每
一段分别积分求解。每一段的积分都会出现未知的积分常数,要确定这些常数,必须借助于
各段梁的挠曲线在交界处斜率和挠度的连续性。这是一个颇为劳神费力的过程,但若用我们
即将介绍的奇异函数法,就会容易得多。
在不画受力图或不列平衡方程的情况下,常常也可画出V 和M 图。由于这些曲线互为
积分或求导的结果,利用斜率和面积之间的关系,将使作图变得更为容易。
6
应用这些规律,可逐步从 曲线得出 曲线、再得出 曲线。不管集中载荷
作用于梁上哪一点, 曲线必在该点处突变,突变值即该载荷值,但方向相反;类似地,
在梁上集中力偶作用处, 曲线也必定不连续、有突变。
)(xq )(xV )(xM
)(xV
)(xM
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图10 简支梁
例3 为说明这一过程,考虑图10所示的简支梁,该梁长为 ,其右半段作用负的分布
载荷 。求解 、 的步骤如下:
L
0qq −= )(xV )(xM
1、 由静力平衡方程求出支座的约束反力。将分布载荷用集中载荷 )2/(0 LqQ −= 来代替,
集中载荷作用在 分布区中点处(见图10(b))。对A点取矩: q
然后由垂直方向的力平衡方程,求得梁右端的约束反力:
注意:只有两个平衡方程可用,因为水平方向的力平衡方程不能提供有关的信息。因此,若
支座多于两个,梁将是超静定的。
受力图即 图再加上梁在两端的约束反力,如图10(c)所示。 )(xq
2、从梁的左端开始作剪力图,在支座 处,V 值立即跳到A 8/0Lq− ,且与 处的约束反力
(集中力)反向,V 保持此值不变直到
A
2/Lx = 处,如图10(d)所示。
3、在 处,随着 分布曲线下方所围的面积开始增加, 曲线保持斜率
不变、 值开始增大。当 时,剪力的增加量为 ,此即 曲线下的总面积,
2/Lx = )(xq )(xV 0q+
)(xV Lx = 2/0Lq )(xq
7
因此该处的剪力为 )8/3()2/()8/( 000 LqLqLq =+− 。然后,剪力突变、突变值与约束反力
反向,使剪力跌落至零。( 图应该永远是封闭的,这是检验图形的
一个方法。)
)8/3( 0LqRB = MV、
4、如图10(e)所示,弯矩图在开始时为零,因为梁的左端没有集中力偶的作用。然后,
曲线保持斜率 (此即前半段梁的剪力值)不变。当
)(xM
8/0Lq+ 2/Lx = 时,弯矩值已增加到
。 16/20Lq
5、在 以后,随着剪力值的增大,弯矩曲线的斜率开始减小。由于弯矩函数总是比
剪力函数高一次,故此时弯矩曲线呈抛物线状。剪力曲线在
2/Lx =
8/5Lx = 处穿过 轴,在
该点处,弯矩曲线的斜率也将减小至零值。弯矩的最大值为 ,此即V 曲线下直
至该点的总面积。
0=V
128/9 20Lq
6、在 之后,弯矩曲线仍为抛物线、弯矩值不断下降,直至在 处达到零值。 8/5Lx = Lx =
_______________________________________________________________________________
奇异函数
奇异函数是一类特殊函数,可自动处理梁中经常出现的不规则载荷。它们很象常见的多
项式函数,但直到在梁上指定点被“激活”之前,其值为零。奇异函数的正式定义为
式中, = −2,−1, 0,1,2,…。函数 是单位阶跃函数;n 0〉−〈 ax 1−〉−〈 ax 用来表示集中载荷;
用来表示集中力偶。这些函数中的前5个如图11所示。 2−〉−〈 ax
图11 奇异函数
8
奇异函数的积分与多项式的积分很相似:
但是当 =-1和 =-2时,有特殊的积分规则,为强调这种特殊的处理方法,将指数 用作
下标:
n n n
_______________________________________________________________________________
例4 将奇异函数用于例3中的梁,载荷函数可写成
式中也可包括梁右端的约束反力,但该项仅当 Lx = 时才被“激活”、而求解的问题也就到
右端为止。将上式积分一次:
式中自动包含了积分常数,因为 中已明确地包含了 端约束反力的影响。再积分一次: )(xq A
验证后表明,此结果与前面的相同。
Maple 符号处理软件为绘制这类函数图提供了一种有效的方法。下列程序将说明:用
海维赛德(Heaviside)函数表示奇异性时,如何画出本例中的弯矩曲线。
TM
# 用a 和 n定义函数 sfn
# 输入用奇异函数表示的弯矩方程
# 提供 和 的数值: q L
# 画函数曲线
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图12 用Maple程序和奇异函数画出的弯矩图
习题
1 (a)-(c) 对图示分布载荷,确定其等价力的大小和作用位置。
2 (a)-(c) 求出题1中各种情况下支座的约束反力。
题1图
3 (a)-(h) 画出图示各种载荷情况下的剪力图和弯矩图。
4 (a)-(h) 对题3中各种载荷情况下的剪力和弯矩,写出其奇异函数表达式。
5 (a)-(h) 对题3中各种载荷情况,用Maple(或其它)软件画出其剪力图和弯矩图。需
要时可用下列数值: = 25 in, a = 5 in, = 10 lb/in,L w P =150 lb。
6 如图所示,在轴向载荷P的作用下,梁的横向挠度为 )/sin()( 0 Lyy πδδ = 。试求
沿梁轴线的弯矩 。 )(yM
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7 对图示圆弧形曲杆,试求沿其轴线的弯矩 )(θM 。
题2图
题6图
题7图
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