不等式证明的技巧

不等式证明的技巧 翔宇教育集团宝应中学 王朝和 知识与方法 证明不等式的方法很多，技巧性强；如较低 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 的，在所证不等式两端同乘以一个常数；1的代换；利用函数的单调性，等等。不等式证明的技巧，本人的理解有如下三个方面： 一．基本技巧 我认为不等式的证明的基本思想和技巧是通过“放大和缩小”的思想和方法，对两个数、两个量、两个式的值的大小关系的“确定”过程，这种大小关系的确定一般有比较法、 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 法 、综合法三种基本方法。 二．构造法 1．构造重要不等式的结构，再利用相关的重要不等式来证明不等式。 2．构造函数，利用函数性质来证明不等式。 3．构造图形，利用几何知识来证明不等式。 三．转化法 1．反证法 2．数学归纳法 3．变量代换法 4．从“特殊”到“一般”的转化方法 5．以“直”代“曲”的转化方法 6．“整体”与“部分”合理巧妙转化 范例选讲 例1 已知 ，求证： 分析 因所证不等式两端是同底的对数、单项式，故“作差比较”、“作商比较”均可以。 解 （作差比较） （1）当 时，因 ，所以 EMBED Equation.3 （2）当 时，因 ，所以 EMBED Equation.3 综合以上可知，所证不等式成立。 （作商比较） 因 ，所以 ， ， 所以， 评注 本题虽是一道很简单的不等式证明题，也显示出了证明不等式的技巧性：合理选择方法，可以回避讨论。 例2 实数 满足 ，且 求证： 分析 这是一道美国数学竞赛 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 ，直接证明比较困难，因此，可考虑运用反证法证明。 解 设 中有 个非负数，记为 ，有 个负数，记为 ，其中 ，且 不妨设 ，即 . 因 ， 又 ， 则 所以 因为 所以 又因为 ， 所以 因 ，故 ，且 ，则 所以 都为非负数. 即 因而 ，这与 相矛盾， 即假设不成立，所证结论： 成立. 评注 反证法的实质是从否定结论出发，通过逻辑推理，导出矛盾。运用“正难则反”的策略，是证明不等式中常见技巧。 例3 平面上给定一个由有限多条线段组成的集合，线段总长为1. 证明：存在一条直线 ，使得已给线段在 上的射影之和小于 分析 可将给定的线段排序，再通过中心对称构造一个周长为2的凸多边形。 解 证明：取一条不与已给线段垂直的直线作 轴，将所给线段按照斜率的大小排成一列： （其中负的下角标 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示该线段的斜率为负，非负的下角标则表示斜率非负）。经过平移可以将这些线段按照上面的次序一个接一个地首尾相连形成一条凸折线。设端点为A、B，AB中点为O。关于O作中心对称，产生一个凸多边形（包括退化为直线段），周长为2，每一条边与对应边平行（或共线）。 这个多边形的最小宽度，也就是各对平行边之间的最小距离，设为 ，以O为圆心， 为直径的圆一定完全在多边形内，否则，设圆O与某条边 相交于X，那么X关于O的对称点 是圆O与对边 的交点， 与 的距离小于 ，即小于 ，与 为最小宽度矛盾。 由于圆O的周长为 ，所以 ，即 ，这是因为面积一定的闭曲线中，以圆的周长最小。 取直线 与距离最小的平行边垂直，则各已知线段在 上的射影之和不超过 ，也就小于 评注 本题的解答过程中通过“排序----平移----中心对称”等方法上的处理使所给线段呈现一种简单有序的易于估算的状态，困难得以化解。这种通过对称、旋转等变换，以直代曲，将复杂的不等式化归为基本不等式是一种重要的技巧。 例4 设 三边长为 ，有不等式 ------① 试证不等式①中的系数 是最优的. 分析 可将系数 一般化，设系数为 ，再证明 的取值范围是 . 证明 在不等式①中，取 ，设 令 ，所以 又因在 中，三边长为 ，取 ，显然有不等式 所以，要使 ，注意到 为正数，则须 ，即 ，但已证不等式①是成立的，故 是不等式①的最优值. 评注 将“特殊”向“一般”转化也是常见的技巧。 例5 设 ，且 ，证明 （1998年第39届IMO预选试题） 分析 可利用均值不等式构造三个同向不等式相加来进行证明，也可以将所证不等式进行等价转化。 证法一: 因 ，所以 ① 4 ② ③ 以上三式相加可得： 上述不等式都是在 时取等号. 所以，当且仅当 时原不等式取等号. 证法二: 原不等式等价于 由于对任意正数 ，有 ，下面证明更强的不等式： ④ 成立. 设 ， 则 ，且 在 上是严格递增函数，因为 只需证明 即可. 其证明如下： 假设 ，则 . 由 ，得 ， . 因 ， 所以 故原不等式成立. 等号当且仅当 时成立. 评注 证法1利用均值不等式进行证明，显得简洁、清晰；证法2是将所证不等转化为更强的不等式，再进行证明。 例6 已知 ，且 ，证明： 成立的条件. 分析 因 是关于 的轮换对称式。 证明 设 ，又因 ， 则 . 不等式等号当且仅当 或 或 时成立. 评注 对于“轮换对称式”，不能将其中的变量排序；有时只能找到一个最小字母作“弱”排序。 例7 设 ，且满足 ，试证： 分析 由已知条件 ，可知所证不等式与 等价. 故可运用“含参数基本不等式”来证明之. 证明 由 （ 为参数），得 则有 ① ② ③ ①+②+③，得 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ④ 因 ，取 ，代入④中，得 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 评注 本题是先将所证不等式进行等价转化，再运用“含参数基本不等式”进行证明，当然也可利用柯西不等式进行证明，还可以直接利用基本不等式来证明。 例8 （1）设 ，满足： （a） （b） , 证明： （2）设 ，对所有不同的子集 ，有 ，证明： 分析 可运用数学归纳法进行证明。 证明 （1）当 时， 当 时， ， ，则 所以 假设 时命题成立. 那么，当 时，设 ，由条件 ， EMBED Equation.3 ， ，有 下面用反证法证明以上结论. 假设 ，则有 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 , 矛盾. 所以，当 时，原不等式成立. （2）对于集合 ，满足对 ，有 ，且 对所有 ，不妨设 令 （否则将 都减去一个数，使 ），又使设 中从第 个数开始， ，则 于是 ，那么 以此类推，则 EMBED Equation.3 评注 归纳法证明问题时，有时在第二步由 （或 ）去推证 时，要用到反证法，或分析法。另外，本题的第（2）小题用到了“调整法”。 训练题 1．已知 试证：当 时， 证明：（1）当 时，左边= 右边= ，所以，所证不等式成立. （2）假设 时不等式成立，即 成立. 当 时， EMBED Equation.3 所以，当 时，不等式也成立. 由（1）、（2）可知，当 时，所证不等式成立. 2．对任意实数 ， 试证： 证明：当 时，所证不等式显然成立. 当 不全为零时， 将所证不等式可变形为 令 ① ①式中的 均可取一切实数（ 不同时为零即可）. 不妨取变量 作为考查对象. （1）当 时， ，由 ，得 即 （2）当 时，将①式整理，得 可以为0，当 时，不等式显然成立； 当 时，因 ， ，即 或 由 得 当 时，不等式显然成立； 当 时， 即 即 解得： 或 同理，由 ，得 ，对任意实数 都满足的充要条件是： 解得 综合以上，可得 的取值范围是： 由此可得 即所证不等式成立. 说明：“双判别式法”可以解决： 的三元二次齐次不等式的证明问题. 3．过 内一点O引三边的平行线， ，点D、E、F、G、H、I都在 的边上， 表示六边形DEFGHI的面积， 表示 的面积. 求证： 证明：欲证 ，只须证明 注意到平行四边形AGOH、BIOD、CEOF，故命题的解决只在于能证明： ① 设 ，那么①式等价于 ② 依题设，有 ，从而 同理 所以， EMBED Equation.3 ③ 由柯西不等式有， 故②式成立，命题成立。 4．已知 ，且 ，求证： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 证明：构造函数 ，易知 在 上为增函数，所以对任意 ，有 ，则 再分别令 ，代入上式，相加得 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 5．已知 ，且 ， 证明： 证明：不妨设 ，①式等价于 即 因 ，只须证明： 即证： ② 因 对于②式，只须证明： ③ 把③左边看作 的二次函数，判别式 即证 ，即证： 即 分解因式可得 ，此不等式显然成立. 所以③式成立，即原不等式成立. PAGE 4 _1179952167.unknown _1179955561.unknown _1179996984.unknown _1179998574.unknown _1180012522.unknown _1180014277.unknown _1180014790.unknown _1180943052.unknown _1180943204.unknown _1180943699.unknown _1180944077.unknown _1180947938.unknown _1180949500.unknown _1180949518.unknown _1180949546.unknown _1180947969.unknown _1180944102.unknown _1180943952.unknown _1180944053.unknown _1180943927.unknown _1180943582.unknown _1180943627.unknown _1180943071.unknown _1180014921.unknown _1180015321.unknown _1180015322.unknown _1180015122.unknown _1180014826.unknown _1180014469.unknown _1180014674.unknown _1180014757.unknown _1180014673.unknown _1180014394.unknown _1180014417.unknown _1180014348.unknown _1180012839.unknown _1180013193.unknown _1180013284.unknown _1180013378.unknown _1180013412.unknown _1180013337.unknown _1180013226.unknown _1180013049.unknown _1180013104.unknown _1180012900.unknown _1180012661.unknown _1180012784.unknown _1180012600.unknown _1180012041.unknown 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