线性代数 答案

行列式与矩阵典型例题 （一）行列式的计算 1. 数字型行列式的计算 例 1 计算行列式 nnn n n baaaaa b b b D 12321 1 2 1 00000 00000 00000 -- - = L L LLLLLLL L L 解：由于前 n-1 行都只有一个元素不为 0，由行列式定义知 Dn 只含一项：b1b2⋯bn，且符号为 ,)1()1( 2 )1(2( ),1,,1( -- - -=- nn nn Lt 从而 n nn n bbbD L212 )2)(1( )1( -- -= 。 例 2 计算下列行列式 （1） 621721342 4435431014 327427246 )2(;222 -+++ bacacb cba cba 解（1）： cbacbacba cba cba bacacb cba cba ++++++ = +++ 222222 222 222 111 )( 111 )( cba cbacbacba cba cba ++=++= ))()()(( bcacabcba ---++= （2） 6211001000 4431002000 3271001000 6217211000 4435432000 3274271000 621721342 4435431014 327427246 == - 555 10294 29400 21110 32711 10 62111 44312 32711 10 ´-=--== 例 3 计算下列 n阶行列式 axaaa aaxaa aaaxa aaaax Dn - - - - = L LLLLL L L L 解 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 2 1)2]()2([ ---+= nn axanxD 说明：一定要注意此种形式的行列式；例如： 1)]()1([ ---+== nn xaxna axxx xaxx xxax xxxa D L LLL L L L )1()1( 0111 1011 1101 1110 1 --== - nD nn L LLLLL L L L 1)1]()1(1[ 1 1 1 1 ---+== nn aan aaa aaa aaa aaa D L LLLLL L L L 例 4 计算 n阶行列式 ),,2,1(0 0001 0001 0001 1111 3 2 1 nia a a a a D i n n L L LLLLLL L L L =¹= 解： ))(1( 0000 0000 0000 11111 2 2 1 3 2 2 1 n n i i n n i i n aaa a a a a a a D L L LLLLLL L L L å å = = -= - = 例 5 计算行列式 a a a a + + + + 4444 3333 2222 1111 。 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 3 解： a a a aaaa a a a a D + + + ++++ = + + + + = 4444 3333 2222 10101010 4444 3333 2222 1111 4 a a a a a a a a 000 000 000 1111 )10( 4444 3333 2222 1111 )10( += + + + += 3)10( aa += 例 6 设行列式 2235 0070 2222 0403 - - =D 求第四行各元素的余子式之和的值。 解：由行列式展开知，D的第四行各元素余子式之和的值为行列式 1111 0070 2222 0403 1 -- - =D 的值 因为将 D1接第四行展开得 444342411 )1()1( AAAAD +-++-= 43 34 42 24 41 14 )1)(1()1()1)(1( MMM +++ --+-+--= 44434241 MMMM +++= 所以计算 100 244 043 7 111 222 043 )1)(7( 1111 0070 2222 0403 23 1 = --- --= -- - = +D 28 44 01 7 44 43 7 -= - == 从而 D中第四行各元素的余子式之和的值为-28。 说明：若求 D中第四行各元素代数余子式之和呢？ 例 7 计算 n阶行列式 xy yx yx yx Dn 000 000 000 000 L L LLLLLL L L = Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 4 解：将行列式按第一列展开得 nnnn n yx yx yx y y x yx yx xD 1111 )1( 00 00 000 )1( 000 00 00 )1( +++ -+=-+-= L LLLLL L L L LLLLL L L 说明：请注意这种形式的行列式！ 2. 含参数行列式的计算 例 8 计算行列式 311 151 113 -- - -- = l l l D 。 解： 311 151 101 )2( 311 151 202 311 151 113 -- - - -= -- - -- = -- - -- = l ll l l ll l l l D )6)(3)(2( 41 25 )2( 411 251 001 )2( ---= - - -= -- --= lll l l l l ll 例 9 计算三阶行列式 324 1 223 +-- -+ -- = l l l kkD 。 解： 321 10 221 )1( 321 10 221 324 1 223 +- -+ - -= +-- -+ -- = +-- -+ -- = l ll ll l l l l l kkkkD 2)1)(1( 100 10 221 )1( +-= + -+ - -= ll l ll k 3．抽象行列式的计算 例 10 设 A, B均为 n阶方阵， 1*2,3,2 --== BABA 求 解 3 244222 12 1111111* - ------- -===×= n n BABABABA 例 11 设三阶矩阵 32 3 2 3 2 ,,,,, 3 2 ggba g g b g g a 其中 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = BA 都是三维行向量，且已知 2,18 == BA ， 求 BA - 。 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 5 解： 22 3 12 3 2 3 12222 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 =-=-=-=-= - =- BABB r BA g g a g a g g b g g a g g ba Q 例 12 设A为三阶方阵， 1a ， 2a ， 3a 是三维线性无关的列向量，若 211 aaa +=A ， 322 aaa +=A ， 133 aaa +=A ，则行列式 =A 。 解：法一 利用分块矩阵，有 ),,()A A () ( 133221321321 aaaaaaaaaaaa +++== AA 两边取行列式有 133221321 aaaaaaaaa +++=A 13323212 aaaaaaa ++++= 213212 aaaaa --++= 2132 aaa= 3212 aaa= 又∵ 1a ， 2a ， 3a 线性无关，∴ 0321 ¹aaa 从而得 2=A 法二 )()( 133221321 aaaaaaaaa +++=A ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = 110 011 101 )( 321 aaa 两边取行列式得 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = 110 011 101 321321 aaaaaaA 又 0321 ¹aaa ∴ 2 110 011 101 ==A 法三 )()( 133221321 aaaaaaaaa +++=A Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 6 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = 110 011 101 )( 321 aaa 令 ( )321 ,, aaa=P 由 1a ， 2a ， 3a 线性无关知 P可逆 从而 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ =- 110 011 101 1 APP 由相似的性质知 2 110 011 101 ==A 例 13 设 A为三阶实矩阵，且 AaAa ijij 求,1, 33 -== . 解：由 T ij AAEAAA =\== * ij * A a , 又 从而有 32* AEAAAAAA T === 所以 1A0A 0)1( 232 ===-= 或这时AAAA 又将 A按第三行展开得 0233 2 32 2 31333332323131 >++=++= aaaAaAaAaA 从而 1=A 说明：此例的变化有 ① 设 A为三阶实矩阵，且 AaAA ijij 求,1, 11 -== ； ② 设 A为三阶实矩阵，且 AaaA ijij 求,0, 11 ¹-= ； ③ 设 A为 )2( ³nn 阶非零实矩阵，且 AAa ijij 求,= 。 （二）矩阵的运算 例 14 已知 BCA = ，其中 nACB 求),2,1,2(, 1 2 1 -= ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = 。 解： ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - - - == 212 424 212 BCAQ ABCBCBCA 2)(2))((2 === AAAAAAA 2223 22)2( ===×= ⋯ AA nn 12 -= 用数学归纳法证明 当 n =2时 A2=2A 结论成立 假设对 n-1时结论成立，下证对 n也成立 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 7 AAAAAAA nnnnn 12221 2)(2)2( ---- ==== 由归纳原理，结论成立。从而 AA nn 12 -= 例 15 设 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = 100 410 321 A ，求 nA 解 BEA += ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ + ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = 000 400 320 100 010 001 又 BEEB = 所以 ( ) 221 2 )1( BEnnBnEEBEA nnnnn -- -++=+= ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - + ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ + ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = 000 000 800 2 )1( 000 400 320 100 010 001 nnn ÷÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç è æ - = 100 410 421 2 n nnn 例 16 设 ÷÷ ÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç ç è æ = 3100 9300 0020 0012 A ，求 nA 。 解 由分块矩阵知 ÷÷ ø ö çç è æ = C B A 0 0 ，其中 ÷÷ ø ö çç è æ = 20 12 B ， ÷÷ ø ö çç è æ = 31 93 C ∴ ÷÷ ø ö çç è æ = n n n C BA 0 0 又 PEB +=÷÷ ø ö çç è æ +÷÷ ø ö çç è æ = 2 00 10 20 02 ∴ ( ) PEnEPEB nnnn 1)2()2(2 -+=+= ÷÷ ø ö çç è æ = - n nn n 20 22 1 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 8 而 ÷÷ ø ö çç è æ 31 93 的秩为 1，有 ÷÷ ø ö çç è æ =÷÷ ø ö çç è æ - 31 93 6 31 93 1n n 从而 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ × ×× × = -- -- - 11 11 1 63600 696300 0020 0022 nn nn n nn n n A 例 17 设 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - - = 100 001 010 A ， APPB 1-= ，其中 P为三阶逆阵，求 22004 2AB - 解 ∵ APPB 1-= ∴ PAPB 200412004 -= 又 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - - = ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - - = 100 010 001 100 001 010 2 2A ∴ EAA == 100222004 )( 故 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - =-=- 100 030 003 22 222004 AEAB （三）伴随矩阵 例 18 设 A为 n阶方阵， *A 为 A的伴随矩阵 1±¹k 求 *)(kA 解 设 nijaA )(= 则 ÷÷ ÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç ç è æ = nnn n n AA AA AA A L MOM L L 1 212 111 * 又 nijkakA )(= ，故 ijka 的代数余子式为 1 1 1 1 1 1 1 1 11- 11 1 1 11- 11 1 1 11 111 - + - +- ++++ +--- + nnn ni ni n jnjnn jijii jijii jj- ka ka ka ka kakaka kakaka kakaka kakaka M M LL MMMLM LL LL MMMMM LL Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 9 ),2,1 ,,2,1(1 njniAk ij n LL === - 从而 *1 11 1 n 1 1 1 1 11 1 *)( Ak AkAk AkAk kA n n nn n n-n - -- - = ÷÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç è æ = L MOM L 例 19 设 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ = 0004 1 3 1000 02 100 0010 A ，求 A中所有元素的代数余子式之和åå = = 4 1 4 1i j ijA 解 ∵ 0 24 1 4 1 6 1)1()1( 0 0 21 3 2 1 ¹-=´´-=-== AA A A A 其中 ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç è æ = 3 100 02 10 001 1A ， ( )412 =A ∴ A可逆，故 1* -= AAA 又 ÷÷ ÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç ç è æ =÷÷ ø ö çç è æ = - - - 0300 0020 0001 4000 0 0 1 1 1 21 A AA 从而 ÷÷ ÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç ç è æ -== - 0300 0020 0001 4000 24 11* AAA 因此有 ( )åå = = -=-=+++-= 4 1 4 1 12 5 24 104321 24 1 i j ijA （四）可逆矩阵 例 20 设 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - -= 121 011 322 A ，求 1-A 解： 方法一（用伴随矩阵求 1-A ）因为 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 10 1 12 01 11 -= - =A ， 1 11 01 12 -=- -=A ， 1 21 11 31 =- - =A ， 4 12 32 21 =-=A ， 5 11 32 22 =- =A ， 6 21 22 23 -=- -=A ， 3 01 32 31 =- =A ， 3 01 32 32 =-=A ， 4 11 22 33 -=- =A 又 1 340 150 041 322 121 011 121 011 322 -= - =- - = - -=A 故 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - -- -- = ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ -- - - -==- 461 351 341 461 351 341 1 *1 A A A 方法二 （用初等行变换求 1-A ） ( ) ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - - ® ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - - ® ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - -= 021340 110110 010011 001322 100121 010011 100121 010011 001322 AE ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - -- -- ® ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ --- -- -- ® 461100 351010 341001 461100 351010 341001 ∴ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - -- -- =- 461 351 341 1A 例 21 已知 A, B为三阶方阵，且满足 EBBA 42 1 -=- ，其中 E为三阶单位阵 （1）证明矩阵 A-2E可逆； （2）若 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - = 200 021 021 B ，求矩阵 A。 解 （1）由等式 EBBA 42 1 -=- ，两边左乘 A 得 02442 =---= BAABAABB EEBEA 8)4)(2( =-- Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 11 即 ( ) EAEEBEA 2,4 8 1)2( -\=úû ù êë é -- 可逆， 且 )4( 8 1)2( 1 EBEA -=- - （2）由（1）知 BEBA 2)4( =- 1)4(2 --=\ EBBA 又 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - ---=\ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç ç è æ - -- - =- - 200 211 020 2 100 0 8 3 8 1 0 4 1 4 1 )4( 1 AEB 例 22 设 A是可逆对称阵，且 ( ) EBA =+ 2 ，化简 ( ) ( )TT ABEBAE 111 --- -+ 解： ∵ ( ) EBABABA =++=+ ))((2 ∴ BA + 可逆，且 BABA +=+ -1)( TT ABEBAE )()( 111 --- -+ ( ) ( ) úûùêëé -+= ---- TTT BAEBAAA 1111 )( [ ] [ ]BAEBAA T 111 )()( --- -+= ( ) ( )BAEABA 11 -- -+= ( )( )BABA -+= （五）矩阵方程 例 23 已知 A，B均为 3阶方阵，矩阵 Z满足 EAZBBZABZBAZA +-=- 其中 E为三阶单位阵， 则 Z= （A） ( ) 122 -- BA （B） ( ) ( ) 11 -- +- BABA （C） ( ) ( ) 11 -- -+ BABA （D）条件不满足，不能确定 解 应选（B） 例 24 设矩阵 A的伴随矩阵 ÷÷ ÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç ç è æ - = 8030 0101 0010 0001 *A ，且 EBAABA 311 += -- ，其中 E为 4阶单位阵， 求矩阵 B。 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 12 解 （方法一） 由 1* -= nAA ，有 83 =A ，得 2=A 用 A右乘矩阵方程的两边，得 ABAB 3=- 用 *A 左乘两边得 AABAABA *** 3=- EBAEB 62 * =- ( ) EBAE 62 * =- 于是 *2 AE - 可逆， ∴ 1* )2(6 --= AEB 计算得 ÷÷ ÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç ç è æ - = 1030 0606 0060 0006 B （方法二） 同前有 ABAB 3=- ，即 ( ) AEAB 13 --= ∵ EAAA =* 有 ( ) ( ) 1*1* 2 -- == AAAA ∴ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ - = 4 104 30 0202 0020 0002 A 于是 ( ) ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ - = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ - -=- - - 3 4010 0102 0010 0001 4 304 30 0102 0010 0001 1 1EA ∴ ( ) ÷÷ ÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç ç è æ - =-= - 1030 0606 0060 0006 3 1 AEAB （六）初等变换与初等矩阵 例 25 设 A为 3阶矩阵，将 A的第 2行加到第 1行得 B，再将 B的第 1列的-1倍加到第 2列得C， Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 13 记 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = 100 010 011 P ，则 （A） APPC 1-= （B） 1-= PAPC （C） APPC T= （D） TPAPC = 解 选（B） 由初等变换与初等矩阵之间关系知 BPA = CB = ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - 100 010 011 ∴ 1 100 010 011 -= ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - = PAPPAC 例 26 计算 20062007 100 001 010 987 654 321 100 001 010 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ 解 令 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = 100 001 010 P 则 PP =2007 EP =2006 ∴ 原式 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = 987 321 654 例 27 设 A为 n阶可逆阵，交换 A的第 i行与第 j行后得到 B。 （1）证明 B可逆；（2）求 AB-1 解：（1）由初等变换与初等阵的关系知 可逆即又又 BBABAAijEAijEBAijE 0 ,0,)()()( ¹\¹=-=== 。 （2） BijEBijEABAijE )()()( 1 ==\= -Q 而 )()( 11 ijEBBijEAB == -- 向量的线性相关性，矩阵的秩典型例题 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 14 （一）线性组合（线性表示） 例 1 设 T)0,2,1(1 =a ， Taa )3,2,1(2 -+=a Tbab )2,2,1(3 +---=a ， T)3,3,1( -=b 试讨论当 a，b为何值时 （I）b 不能由 1a ， 2a ， 3a 线性表示； （II） b 可由 1a ， 2a ， 3a 唯一地线性表示，并求出表示式； （III） b 可由 1a ， 2a ， 3a 线性表示，但表示不唯一，并求出表示式。 解 设有数 1x ， 2x ， 3x ，使得 baaa =++ 332211 xxx 记 )( 321 aaa=A ， )( 321 baaa=A 对 A施以初等行变换，有 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - - - ® ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ -+- --+ - = 000 10 1111 3230 3222 1111 ba ba baa baA （I）当 0=a ，b为任意常数时，有 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - - - ® 1000 100 1111 bA 知 )()( ARAR ¹ ，故方程组无解，而b 不能由 1a ， 2a ， 3a 线性表示。 （II）当 0¹a 且 ba ¹ 时， 3)()( == ARAR ，故方程组有唯一 解。 a x 111 -= ， a x 12 = ， 03 =x 则 b 可唯一地由 1a ， 2a ， 3a 线性表示，其表示式为 21 1)11( aab aa +-= （III）当 0¹= ba 时，对 A施以初等行变换，有 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç ç è æ - - ® 0000 1 110 11001 a a A 可知 2)()( == ARAR ， 故方程组有无穷多解，其全部解为 a x 111 -= ， ka x += 12 ， kx =3 ∴ 321 111 aaab kk aa +÷ ø ö ç è æ ++÷ ø ö ç è æ -= Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 15 例 2 已知 T)1,1,1(1 -=a ， Tt )1,,1(2 -=a ， Tt )2,1,(3 =a ， Tt )4,,4( 2 -=b ，若b 可由 1a ， 2a ， 3a 线性表示，且表示法不唯一，求 t及b 的表达式。 解 设 baaa =++ 332211 xxx ，按分量写出为 ï î ï í ì -=+- =++- =++ 42 4 321 2 321 321 xxx txtxx txxx 对增广矩阵进行初等行变换得 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ -- - -- ® ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - -- ® ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ -- -= 4310 8220 4211 11 411 4211 4211 11 411 22 2 tt t tt ttt t A ( )( ) ( )÷÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç è æ --+ - -- ® 4412 100 8220 4211 tttt t 由条件知， 3)()( <= ARAR 从而 4=t ，此时，增广矩阵可化为 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ ® ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ -- ® ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ -- ® 0000 4110 0301 0000 4110 4211 0000 8220 4211 A 令 kx =3 解出 kx 31 -= ， kx -= 43 所以 321 )4(3 aaab kkk +-+-= ， k" 例 3 设向量组 1a ， 2a ， 3a 线性相关，向量组 2a ， 3a ， 4a 线性无关，问： （1） 1a 能否由 2a ， 3a 线性表示？证明你的结论。 （2） 4a 能否由 1a ， 2a ， 3a 线性表示？证明你的结论。 解 （1） 1a 能由 2a ， 3a 线性表示 [证法 1] 因为已知向量组 2a ， 3a ， 4a 线性无关，那么它的部分组 2a ， 3a 线性无关，又因 1a ， 2a ， 3a 线性相关，故 1a 可 由 2a ， 3a 线性表示。 [证法 2] 因为向量组 1a ， 2a ， 3a 线性相关，故存在不全为零的数 1k ， 2k ， 3k ，使得 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 16 0332211 =++ aaa kkk 其中必有 01 ¹k 。否则，若 01 =k ，则 2k ， 3k 不全为零，使 03322 =+ aa kk 即 2a ， 3a 线性相关，进而 2a ， 3a ， 4a 线性相关与条件矛盾。于是 01 ¹k ，由此有 3 1 3 2 1 2 1 aaa k k k k --= ∴ 1a 可由 2a ， 3a 线性表示。 （2） 4a 不能由 1a ， 2a ， 3a 线性表示 [证法 1] （反证法）若 4a 能由 1a ， 2a ， 3a 线性表示，设为 3322114 aaaa xxx ++= 由（1）知 33221 aaa kk += 代入上式整理得 333122214 )()( aaa xkxxkx +++= 即 4a 可由 2a ， 3a 线性表示，从而 2a ， 3a ， 4a 线性相关。与已知矛盾。∴ 4a 不能由 1a ， 2a ， 3a 线性表示。 [证法 2] 考查方程组 4332211 aaaa =++ xxx 因为 1a ， 2a ， 3a 线性相关，∴系数矩阵 3)()( 321 <= aaaRAR ，又因 2a ， 3a ， 4a 线性无 关，∴增广矩阵 3),,,()( 4321 ³= aaaaRAR ，于是 )()( ARAR ¹ 方程组无解，因此， 4a 不能由 1a ， 2a ， 3a 线 性表示。 （二）线性相关 例 4 判断下列向量组的线性相关性： （1） )421( )221( )101( 321 === aaa （2） )021( )675( )401( )153( 4321 =--=== aaaa （3） )16941( )3201( )1146( 321 --==-= aaa 解： （1） ; 0 320 120 101 421 221 111 A 无关¹=== nm （2）m＞n，相关 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 17 （3） ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - --® ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ -- - = ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ =< 1146 16941 3201 6941 3201 1146 A 3 2 1 a a a nm ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ --® ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ -- --® 0000 191140 3201 191140 191140 3201 \<= ,2)( mAR 线性相关 例 5 设 )1 ,5 ,3 ,1( ),3 1 1 1( 21 --== aa ),1062( ),2123( 43 pp --=+-= aa ① P为何值时，向量组线性无关？ ② P为何值时，向量组线性相关？ 解：设 ( ) ÷÷ ÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç ç è æ + - -- -- == PP A 213 10151 6231 2311 4321 aaaa 则 14)2( ´-= pA ① 当 P≠2时， 4321 ,,, 0 aaaa\¹A 线性无关； ② 当 P=2时， 4321 ,,, 0 aaaa\=A 线性相关； 例 6 已知 321 ,, aaa 线性无关，试问常数 m, k满足什么条件时，向量组 312312 ,, aaaaaa --- mk 线性无关？（线性相关）？ 解 设 0)()()( 313232121 =-+-+- aalaalaal mk 即 0)()()( 332221113 =-+-+- allallall mk ，由 321 ,, aaa 线性无关知 ï î ï í ì =- =- =+- 0m 0 0 32 21 31 ll ll ll k 其系数矩阵的行列式 1 10 01 101 -= - - - = km m kD ① 当 1km 01 ¹¹-= 即kmD 时，向量组线性无关； ② 当 1km 01 ==-= 即kmD 时，向量组线性相关； 例 7 已知 n 维向量 1a ， 2a ， 3a 线性无关，若 1b ， 2b ， 3b 可由 1a ， 2a ， 3a 线性表示，设 ( ) ( )C321321 aaabbb = 证明： 1b ， 2b ， 3b 线性无关的充分必要条件是 0¹C Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 18 证明 记 ( )321 aaa=A ， ( )321 bbb=B 必要性：若 1b ， 2b ， 3b 线性无关，则 3)()( 321 == bbbRBR 又 3)()()( ££= CRACRBR 因此， 3)( =CR ，即矩阵 C可逆， 0¹C 充分性：若 0¹C ，即矩阵 C可逆， ( ) 3=CR 则 3)()()()( 321 ==== aaaRARACRBR ∴ 1b ， 2b ， 3b 线性无关. 例 8 已知向量组 1a ， 2a ， 3a 线性无关，则下列向量组中，线性无关的是 （A） 21 aa + ， 32 aa + ， 13 aa - （B） 21 aa + ， 32 aa + , 321 2 aaa ++ （C） 21 2aa + ， 31 32 aa + ， 133 aa + （D） 321 aaa ++ ， 321 2232 aaa +- ， 321 553 aaa -+ 解 由例 7方法易知，选（C） 例 9 已知向量组 1a ， 2a ， 3a 线性无关，向量组 21 aa a+ ， 321 2 aaa ++ ， 31 aa -a 线性相关， 则 a = 解 由例 7知 02 110 02 11 110 02 11 2 =-+= - + = - aaa aa a a 知 1=a 或 2-=a 例 10 设 A是 n阶矩阵，a 是 n维列向量，若 01 ¹- amA ， 0=amA ，证明向量组a ， aA ， a2A ，⋯， a1-mA 线性无关。 证：（用定义，同乘） 设 0121 =+++ - aaa mm AxAxx L 由 0=amA 知 01 =+ amA ， 02 =+mA ，⋯ Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 19 用 1-mA 左乘（1）两边，得 011 = - amAx 又 01 ¹- amA ∴ 01 =x （2） 把 01 =x 代入（1）式，有 0 1 2 =++ - aa mm AxAx L 用 2-mA 左乘上式，可知 012 = - amAx 从而 02 =x 。类似地可证 03 === nxx L 所以a ， aA ，⋯， a1-mA 线性无关。 （三）两向量组等价的证明 例 11 已 知 raa ,,1 L 与 srr aaaa ,,,,, 11 LL + 有 相 同 的 秩 ， 证 明 raa ,,1 L 与 srrr aaaa ,,,,,1 LL + 等价。 证明：设 { } { }srrrA aaaaaa ,,,,,B ,,, 111 LLL +== ，且 tBRAR == )()( 。 显然，向量组 A可由向量组 B线性表示，下证向量组 B也可由向量组 A线性表示即可。 设 A中极大无关组为 iti aa ,,1 L ，由条件知 iti aa ,,1 L 也是 B中的一个极大无关组，由极大无关组的 定义知， sr aa ,,1 L+ 可由 iti aa ,,1 L 线性表示，从而可由 raa ,,1 L 线性表示，从而 B可由 A线性表示， 即 A与 B等价。 例 12 设 向 量 组 { }321 aaa=A ， 其 中 ( ),2011 =a ( ),3112 =a ( ),2113 +-= aa { }321 ,, bbb=B ，其中 ( )3211 += ab ， )612(2 += ab ， )412(3 += ab 试问： ① 当 a为何值时，向量组 A与 B等价？ ② 当 a为何值时，向量组 A与 B不等价？ 解 令 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ ++++ --== 463232 111110 221111 )( 321321 aaaa C bbbaaa 对C 作初等行变换得 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ -+-+ - - ¾®¾ 111100 112110 111201 aaaa C ① 当 1-¹a 时， 321 ,, aaa 线性无关，则 CACRAR 与由上例知3)()( == 等价，同理可计算出 )(3)( CRBR == 知 B 与 C 等价，故有 )()()( BRCRAR == 即 A与 B等价。 ② 当 a=-1时有 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. 20 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - - - ®= 202000 112110 111201 )( 321321 bbbaaaC 由于 )()( CRAR ¹ ，故 b 不能为 321 ,, aaa 线性表示，因此 A与 B不等价。 （四）向量组的极大无关组 例 13 设 向 量 组 ,)3111(1 T=a T)1531(2 --=a ， Tp )2123(3 +-=a ， Tp)1062(4 --=a （1）P 为何值时，该向量组线性无关，并在此时将向量 ,)10614( T=a 用 4321 ,,, aaaa 线 性表示； （2）P为何值时，该向量组线性相关？此时求出它的一个极大无关组。 解 令 ÷÷ ÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç ç è æ --- -- ---- -- ¾¾ ®¾ ÷÷ ÷ ÷ ÷ ø ö çç ç ç ç è æ + - -- -- = 82900 70700 34120 42311 10213 610151 16231 42311 ][ M M M M M M M M PPPP A 1 2 3 4( )h h h h h= （1） 2P ¹ 时，向量组 1 2 3 4 a a a a 线性无关，再用初等行变换将矩阵化为 1 0 0 0 2 0 1 0 0 (4 3 ) / 2 0 0 1 0 1 0 0 0 1 (1 ) / 2 P P P P æ ö ç ÷- -ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷- -è ø ∴ ( ) ( )1 2 3 4(1 )3 42 2 2PP P Pa a a a a--= + + +- - （2）当 P=2时，对 1 2 3 4( )h h h h 再进行初等行变换得 [ ] 1 2 3 4 1 1 3 2 1 0 0 0 0 2 1 4 0 1 0 2 ( , , , ) 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 7 0 0 0 0 0 h h h h - -æ ö æ ö ç ÷ ç ÷- - -ç ÷ ç ÷= ¾¾® ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷-è ø è ø ∴ 1 2 3, ,a a a 是一个极大无关组，是 4 22a a= 。 例 14 设 4维向量组 ( )Ta 11111 +=a ， ( )Ta 22222 +=a ， ( )Ta 33333 +=a ， ( )Ta+= 44444a ,问 a为何值时， 1a ， 2a ， 3a ， 4a 线性相关？当 1a ， 2a ，