聚集高考数学题中的合情推理

聚集高考数学 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 中的合情推理 林建森 （福建省石狮石光华侨联合中学　３６２７００） 　　著名数学教育家波利亚认为“合情推理 是数学发现与创造的源泉”．教育观念悄然发 生变革的今天，合情推理已走进了高中数学 新课程，合情推理已作为一个专题 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 ——— “推理与证明”纳入高中数学新课程教材中 （选修系列１－２和选修系列２－２）．《普通高中 数学课程标准（实验）》指出：“合情推理是根 据已有的事实和正确的结论、实验和实践的 结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结 果的推理过程，归纳、类比是合情推理常用的 思维方法．在解决问题的过程中，合情推理具 有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用， 有利于创新意识的培养．”因此，对合情推理 能力的考查，是近年高考数学试题的一个新 特点．本文结合近几年高考数学中的合情推 理有关问题进行分类解析，供大家复习参考． １　函数中的合情推理问题 例１　（２０１１年山东高考题）设函数 ｆ（ｘ）＝ ｘｘ＋２ （ｘ＞０），观察： ｆ１（ｘ）＝ｆ（ｘ）＝ ｘｘ＋２ ， ｆ２（ｘ）＝ｆ（ｆ１（ｘ））＝ ｘ３ｘ＋４ ， ｆ３（ｘ）＝ｆ（ｆ２（ｘ））＝ ｘ７ｘ＋８ ， ｆ４（ｘ）＝ｆ（ｆ３（ｘ））＝ ｘ１５ｘ＋１６ ， … 根据以上事实，由归纳推理可知：当ｎ∈Ｎ＋， 且ｎ≥２ 时，ｆｎ （ｘ）＝ｆ（ｆｎ－１ （ｘ））＝ ． 解析　观察知：４个等式等号右边的分 母为ｘ＋２，３ｘ＋４，７ｘ＋８，１５ｘ＋１６，即（２－ １）ｘ＋２，（４－１）ｘ＋４，（８－１）ｘ＋８，（１６－１）ｘ ＋１６，所以归纳出ｆｎ（ｘ）＝ｆ（ｘｎ－１（ｘ））的分 母为（２ｎ－１）ｘ＋２ｎ，故当ｎ∈Ｎ＋且ｎ≥２时， ｆｎ（ｘ）＝ｆ（ｆｎ－１（ｘ））＝ ｘ（２ｎ－１）ｘ＋２ｎ． 评注　归纳就是从特殊到一般的过程， 是由小见大，即从许多小的特殊的现实中总 结出大的一般的原理．能否完成归纳，关键在 于通过思考后，能否发现载体 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面、题设条件 或变化过程中所隐含在现象背后的规律．该 试题以函数为载体借助归纳与概括来考查考 生的合情推理能力． 例２　（２０１０年福建高考题）（Ⅰ）已知函 数ｆ（ｘ）＝ｘ３－ｘ，其图像记为曲线Ｃ． （ⅰ）求函数ｆ（ｘ）的单调区间； （ⅱ）证明：若对于任意非零实数ｘ１，曲 线Ｃ与其在点Ｐ１（ｘ１，ｆ（ｘ１））处的切线交于 另一点Ｐ２（ｘ２，ｆ（ｘ２）），曲线Ｃ与其在点Ｐ２ 处的切线交于另一点Ｐ３（ｘ３，ｆ（ｘ３）），线段 Ｐ１Ｐ２，Ｐ２Ｐ３ 与曲线Ｃ所围成封闭图形的面 积分别记为Ｓ１，Ｓ２，则 Ｓ１ Ｓ２ 为定值． （Ⅱ）对于一般的三次函数ｇ（ｘ）＝ａｘ３＋ ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ（ａ≠０），请给出类似于（Ⅰ）（ⅱ） 的正确命题，并予以证明． 解析　（Ⅰ）略． （Ⅱ）记函数ｇ（ｘ）＝ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ（ａ ≠０）的图像为曲线Ｃ′，类似于（Ⅰ）（ⅱ）的正 确命题为：若对于任意不等于－ｂ３ａ 的实数 ２３ 数学教学研究　　　　　　　　第３０卷第１０期　２０１１年１０月 ｘ１，曲线Ｃ′与其在点Ｐ１（ｘ１，ｇ（ｘ１））处的切线 交于另一点Ｐ２（ｘ２，ｇ（ｘ２）），曲线Ｃ′与其在点 Ｐ２ 处的切线交于另一点Ｐ３（ｘ３，ｇ（ｘ３）），线 段Ｐ１Ｐ２，Ｐ２Ｐ３ 与曲线Ｃ′所围成的封闭图形 的面积分别为Ｓ１，Ｓ２，则 Ｓ１ Ｓ２ 为定值． 证法１　因为平移变换不改变面积的大 小，故 可 将 曲 线 ｙ＝ｇ（ｘ）的 对 称 中 心 －ｂ３ａ ，ｇ －ｂ３（ ）（ ）ａ 平移至坐标原点，因而不 妨设ｇ（ｘ）＝ａｘ３＋ｈｘ，且ｘ１≠０． 类似（Ⅰ）（ⅱ）的计算可得 Ｓ１＝２７４ａｘ ４ １，Ｓ２＝２７×１６４ ａｘ ４ １≠０． 故Ｓ１ Ｓ２＝ １ １６． 证法２　由 ｇ（ｘ）＝ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ（ａ≠０）， 得　ｇ′（ｘ）＝３ａｘ２＋２ｂｘ＋ｃ， 故曲线Ｃ′在点（ｘ１，ｇ（ｘ１））处的切线方程为 ｙ＝（３ａｘ２１＋２ｂｘ１＋ｃ）ｘ－２ａｘ３１－ｂｘ２１＋ｄ． 由　 ｙ＝ａｘ３＋ｂｘ２＋ｃｘ＋ｄ， ｙ＝（３ａｘ２１＋２ｂｘ１＋ｃ）ｘ 　 －２ａｘ３１－ｂｘ２１＋ 烅 烄 烆 ｄ 得　（ｘ－ｘ１）２［ａ（ｘ＋２ｘ１）＋ｂ］＝０， 所以　ｘ＝ｘ１ 或ｘ＝－ｂａ－２ｘ１ ， 即　ｘ２＝－ｂａ－２ｘ１ ， 故　Ｓ１＝∫ ｘ１ ｘ２ （ａｘ３＋ｂｘ２－（３ａｘ２１＋２ｂｘ１）ｘ 　　　＋２ａｘ３１＋ｂｘ２１）ｄｘ ＝ （３ａｘ１＋ｂ）４ １２ａ３ ． 用ｘ２ 代替ｘ１，重复上述计算过程，可得 ｘ３＝－ｂａ－２ｘ２ ，Ｓ２＝ （３ａｘ２＋ｂ）４ １２ａ３ ． 又ｘ２＝－ｂａ－２ｘ１ 且ｘ１≠－ｂ３ａ ，所以 Ｓ２＝ （３ａｘ２＋ｂ）４ １２ａ３ ＝ （－６ａｘ１－２ｂ）４ １２ａ３ ＝１６ （３ａｘ１＋ｂ）４ １２ａ３ ≠０． 故Ｓ１ Ｓ２＝ １ １６． 评注　本试题为类比研究题，在设问形 式上创新，联系高等数学背景，揭示数学的发 生、发展过程．考查考生探索、研究及理性思 维、合情推理，综合应用．该试题的第（Ⅱ）题 先用类比写出类似于（Ⅰ）（ⅱ）的命题，再加 以推理证明，能较好地考查考生的合情推理 能力． ２　三角函数中的合情推理问题 例３　（２０１０年福建高考题）观察下列等 式： ①ｃｏｓ　２α＝２ｃｏｓ２α－１； ②ｃｏｓ　４α＝８ｃｏｓ４α－８ｃｏｓ２α＋１； ③ｃｏｓ　６α＝３２ｃｏｓ６α－４８ｃｏｓ４α＋１８ｃｏｓ２α －１； ④ｃｏｓ　８α＝１２８ｃｏｓ８α－２５６ｃｏｓ６α ＋１６０ｃｏｓ４α－３２ｃｏｓ２α＋１； ⑤ｃｏｓ　１０α＝ｍｃｏｓ１０α－１２８０ｃｏｓ８α ＋１１２０ｃｏｓ６α＋ｎｃｏｓ４α ＋ｐｃｏｓ２α－１． 可以推测，ｍ－ｎ＋ｐ ． 解析　因为２＝２１，８＝２３，３２＝２５，１２８＝ ２７，所以ｍ＝２９＝５１２；观察可得ｐ＝５０；把α ＝０代入⑤得ｃｏｓ　０＝５１２ｃｏｓ　０－１２８ｃｏｓ　０＋ １１２０ｃｏｓ　０＋ｎｃｏｓ　０＋５０ｃｏｓ　０－１，得ｎ＝ －４００．所以ｍ－ｎ＋ｐ＝９６２． 评注　本试题以考生所学的三角函数、 数列知识为背景，巧妙地设置了试题，既考查 三角变换、数列的性质，又考查了合情推理、 归纳，关注对考生的探究与发现的考查． ３　数列中的合情推理问题 例４　（２００５年湖南高考题）自然状态下 的鱼类是一种可再生的资源，为持续利用这 ３３第３０卷第１０期　２０１１年１０月　　　　　　　　数学教学研究 一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞 强度对鱼群总量的影响．用ｘｎ 表示某鱼群在 第ｎ年年初的总量，ｎ∈Ｎ＊，且ｘ１＞０．不考虑 其它因素，设在第ｎ年内鱼群的繁殖量及捕 捞量都与ｘｎ 成正比，死亡量与ｘ２ｎ 成正比，这 些比例系数依次为正常数ａ，ｂ，ｃ． （Ⅰ）求ｘｎ＋１与ｘｎ 的关系式； （Ⅱ）猜测：当且仅当ｘ１，ａ，ｂ，ｃ满足什么 条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不 要求证明） （Ⅲ）设ａ＝２，ｃ＝１，为保证对任意ｘ１∈ （０，２），都有ｘｎ＞０，ｎ∈Ｎ＊，则捕捞强度ｂ的 最大允许值是多少？证明你的结论． 解析　（Ⅰ）从第ｎ年初到第ｎ＋１年初， 鱼群的繁殖量为ａｘｎ，被捕捞量为ｂｘｎ，死亡 量为ｃｘ２ｎ，因此 ｘｎ＋１－ｘｎ＝ａｘｎ－ｂｘｎ－ｃｘ２ｎ，ｎ∈Ｎ＊．（＊） 即　ｘｎ＋１＝ｘｎ（ａ－ｂ＋１－ｃｘｎ），ｎ∈Ｎ＊． （Ⅱ）若每年年初鱼群总量保持不变，则 ｘｎ 恒等于ｘ１，ｎ∈Ｎ＊，从而由（＊）式得ｘｎ（ａ －ｂ－ｃｘｎ）恒等于０，ｎ∈Ｎ＊，所以 ａ－ｂ－ｃｘ１＝０， 即　ｘ１＝ａ－ｂｃ ． 因为ｘ１＞０，所以ａ＞ｂ． 猜测：当且仅当ａ＞ｂ，且ｘ１＝ａ－ｂｃ 时，每 年年初鱼群的总量保持不变． （Ⅲ）若ｂ的值使得ｘｎ＞０，ｎ∈Ｎ＊． 由ｘｎ＋１＝ｘｎ（３－ｂ－ｘｎ），ｎ∈Ｎ＊，知 ０＜ｘｎ＜３－ｂ，ｎ∈Ｎ＊， 特别地，有０＜ｘ１＜３－ｂ，即０＜ｂ＜３－ｘ１． 而ｘ１∈（０，２），所以ｂ∈（０，１］ 由此猜测ｂ的最大允许值是１． 下证：当ｘ１∈（０，２），ｂ＝１时，都有ｘｎ∈ （０，２），ｎ∈Ｎ＊． （ⅰ）当ｎ＝１时，结论显然成立． （ⅱ）假设当ｎ＝ｋ时结论成立，即ｘｋ∈ （０，２），则当ｎ＝ｋ＋１时， ｘｋ＋１＝ｘｋ（２－ｘｋ）＞０． 又因为 ｘｋ＋１＝ｘｋ（２－ｘｋ） ＝－（ｘｋ－１）２＋１ ≤１＜２， 所以ｘｋ＋１∈（０，２），故ｎ＝ｋ＋１时结论也成立． 由（ⅰ），（ⅱ）可知，对于任意ｎ∈Ｎ＊，都 有ｘｎ∈（０，２）． 综上所述，为保证对任意ｘ１∈（０，２），都 有ｘｎ＞０，ｎ∈Ｎ＊，则捕捞强度ｂ的最大允许 值是１． 评注　该题以数列应用为背景考查考生 的合情推理与演绎推理能力，充分显示了数 学的归纳性和演绎性两个方面． 例５　（２００８年江苏高考题）将全体正整 数排成三角形数阵： １ ２　３ ４　５　６ ７　８　９　１０ １１　１２　１３　１４　１５ …………………… 根据以上的排列规律，第ｎ（ｎ≥３）行从左向 右第３个数是 ． 解析　该数阵的第１行有１个数，第２ 行有２个数，…，第ｎ行有ｎ个数，则第ｎ－１ （ｎ≥３）行的最后一个数为 （ｎ－１）（１＋ｎ－１） ２ ＝ ｎ２ ２－ ｎ ２ ， 则第ｎ行的第３个数为ｎ ２ ２－ ｎ ２＋３ （ｎ≥３）． 评注　数表其实是数列的一种分拆，不 同的分拆方式就会产生不同的数表，本题中 的数阵是对正整数数列的一种重排，只要找 出其排列规律便不难求得答案，本试题以三 角形数表为载体，考查了学生观察、归纳、猜 想的思维能力．源于杨辉三角的数表蕴含着 ４３ 数学教学研究　　　　　　　　第３０卷第１０期　２０１１年１０月 丰富的性质，数表型试题在各地高考试卷中 屡见不鲜，如２００８年山东高考试卷第１９题． ４　立体几何中的合情推理问题 例６　（２００３年全国高考题）在平面几何 里，有勾股定理：“设△ＡＢＣ的两边ＡＢ，ＡＣ 互相垂直，则ＡＢ２＋ＡＣ２＝ＢＣ２．”拓展到空 间，类比平面几何的勾股定理，研究棱锥的侧 面面积与底面面积间的关系，可以得出的正 确结论是：“设三棱锥Ａ－ＢＣＤ 的三个侧面 ＡＢＣ，ＡＣＤ，ＡＤＢ 两 两 相 互 垂 直，则 ．” 解析　与△ＡＢＣ 相对应的，是三棱锥 Ａ－ＢＣＤ；与Ｒｔ△ＡＢＣ的两条边交成１个直 角相对应的，是三棱锥Ａ－ＢＣＤ 的三个侧面 ＡＢＣ，ＡＣＤ，ＡＤＢ在一个顶点处构成３个直 二面角；与Ｒｔ△ＡＢＣ的直边ＡＢ，ＡＣ的长度 相对应的，是三棱锥 Ａ－ＢＣＤ 的三个侧面 ＡＢＣ，ＡＣＤ，ＡＤＢ 的 面 积 Ｓ△ＡＢＣ，Ｓ△ＡＣＤ， Ｓ△ＡＤＢ；与Ｒｔ△ＡＢＣ的斜边ＢＣ 的长度相对 应的，是三棱锥Ａ－ＢＣＤ 的底面ＢＣＤ 的面积 Ｓ△ＢＣＤ；类比平面几何的勾股定理ＡＢ２＋ＡＣ２ ＝ＢＣ２，在三棱锥Ａ－ＢＣＤ 中有Ｓ２△ＡＢＣ＋Ｓ２△ＡＣＤ ＋Ｓ２△ＡＤＢ＝Ｓ２△ＢＣＤ． 评注　类比的思想方法，就是将生疏的 问题和熟知的问题进行比较，对生疏的问题 作出猜想，并由此寻求问题的解决途径或结 论．它是中学数学中重要的思想方法之一．在 立体几何的试题中，类比的思想方法广泛存 在．由平面上直线ａ∥ｂ，ｂ∥ｃ，ａ∥ｃ，可类比出 空间内的平面α∥β，β∥γ，α∥γ；与平行四边 形类比可得到平行六面体的不少类似性质； 球与圆类比可推出两球相切等球的有关性 质；“面面垂直”与“线线垂直”，四面体与三角 形均有较多的类比性质等，都是类比的思想 方法获得运用的体现与展示．在平时的学习 过程中，应注意将空间问题和数量关系、位置 结构相似的平面问题进行类比，这样可以开 拓思路，诱发灵感，增强数学发现能力，同时 还可以沟通知识间的联系． ５　解析几何中的合情推理问题 例７　（２００３年上海高考题）设Ｆ１，Ｆ２ 分别为椭圆Ｃ：ｘ ２ ａ２＋ ｙ２ ｂ２＝１ （ａ＞ｂ＞０）的左右 焦点，已知椭圆具有性质：若Ｍ，Ｎ 是椭圆Ｃ 上关于原点对称的两个点，点Ｐ是椭圆上任 意一点，当直线ＰＭ，ＰＮ 的斜率都存在，并 记为ｋＰＭ，ｋＰＮ时，那么ｋＰＭ与ｋＰＮ之积是与点 Ｐ 位置无关的值．试对双曲线Ｃ：ｘ ２ ａ２－ ｙ２ ｂ２＝１ ， 写出具有的类似的性质，并加以证明． 解析　类似的性质：若 Ｍ，Ｎ 是双曲线 Ｃ上关于原点对称的两个点，点Ｐ是双曲线 上任意一点，当直线ＰＭ，ＰＮ 的斜率都存 在，并记为ｋＰＭ，ｋＰＮ时，那么ｋＰＭ与ｋＰＮ之积是 与点Ｐ位置无关的值． 证明　设点Ｍ 坐标为（ｍ，ｎ），则点Ｎ 的 坐标为（－ｍ，－ｎ），其中ｍ ２ ａ２－ ｎ２ ｂ２＝１． 又设点Ｐ的坐标为（ｘ，ｙ），则 ｋＰＭ＝ｙ－ｎｘ－ｍ ，ｋＰＮ＝ｙ＋ｎｘ＋ｍ ， ｋＰＭ·ｋＰＮ＝ｙ－ｎｘ－ｍ ·ｙ＋ｎ ｘ＋ｍ＝ ｙ２－ｍ２ ｘ２－ｍ２． 将ｙ２＝ｂ ２ ａ２ｘ ２－ｂ２，ｎ２＝ｂ ２ ａ２ｍ ２－ｂ２ 代入， 得ｋＰＭ·ｋＰＮ＝ｂ ２ ａ２ 为定值，故类比猜想成立． 评注　此题是一道典型的考查类比能力 的试题，题目要求考生通过椭圆具有的性质 类比推理出双曲线所具有的性质，并加以证 明．该试题主要考查思想方法上的类比，它显 示出类比是形成猜想，获得新认识的一条重 要途径．但需要区分的是，类比并不是完完全 全的照搬．关键是要将条件、过程或结果进行 恰当的类比，寻找到“类比点”． ６　等式中的合情推理问题 例８　（２０１１年陕西高考题）观察下列等 式： ５３第３０卷第１０期　２０１１年１０月　　　　　　　　数学教学研究 １＝１ ２＋３＋４＝９ ３＋４＋５＋６＋７＝２５　 ４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０＝４９ …… 照此规律，第ｎ个等式为 ． 解析　把已知等式与行数对应起来，则 每一个等式的左边的式子的第一个数是行数 ｎ，加数的个数是２ｎ－１；等式右边都是完全 平方数： 行数 等号左边的项数 １＝１　　　 ２＋３＋４＝９ ３＋４＋５＋６＋７＝２５ ４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０＝４９ …… １ ２ ３ ４ … １ ３ ５ ７ … 所以 ｎ＋（ｎ＋１）＋…＋［ｎ＋（２ｎ－１）－１］ ＝（２ｎ－１）２， 即　ｎ＋（ｎ＋１）＋…＋（３ｎ－２）＝（２ｎ－１）２． 评注　归纳 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 时，看符号左边式子的 变化规律，右边结果的特点，然后归纳出一般 结论．行数、项数及其变化规律是解答本题的 关键． ７　进位制中的合情推理问题 例９　（２０１１年湖南高考题）对于ｎ∈ Ｎ＊，将ｎ表示为 ｎ＝ａ０×２ｋ＋ａ１×２ｋ－１＋ａ２×２ｋ－２ ＋…＋ａｋ－１×２１＋ａｋ×２０， 当ｉ＝０时，ａｉ＝１，当１≤ｉ≤ｋ时，ａｉ 为０或 １．记Ｉ（ｎ）为上述表示中ａｉ为０的个数（例如 １＝１×２０，４＝１×２２＋０×２１＋０×２０，故Ｉ（１） ＝０，Ｉ（４）＝２），则 （Ⅰ）Ｉ（１２）＝ ； （Ⅱ）∑ １２７ ｎ＝１ ２Ｉ（ｎ）＝ ． 解析　（Ⅰ）因为 １２＝１×２３＋１×２２＋０×２１＋０×２０， 故　Ｉ（１２）＝２； （Ⅱ）在２进制的ｋ（ｋ≥２）位数中，没有０ 的有１个，有１个０的有Ｃ１ｋ－１个，有２个０的 有Ｃ２ｋ－１个，……有ｍ个０的有Ｃｍｋ－１个，……有 ｋ－１个０的有Ｃｋ－１ｋ－１＝１个．故对所有２进制为 ｋ位数的数ｎ，在所求式中的２Ｉ（ｎ）的和为： １·２０＋Ｃ１ｋ－１·２１＋Ｃ２ｋ－１·２２ 　＋…＋Ｃｋ－１ｋ－１·２ｋ－１＝３ｋ－１． 又１２７＝２７－１恰为２进制的最大７位 数，所以 ∑ １２７ ｎ＝１ ２Ｉ（ｎ）＝２０＋∑ ７ ｋ＝２ ３ｋ－１ ＝１０９３． 评注　该试题以进位制为载体，由特殊 到一般地考查二进制与十进制的相互转化， 通过观察、归纳得出一般的规律，本试题能较 好地考查考生的归纳推理能力和运算能力． ８　幂指数运算中的合情推理问题 例１０　（２０１１年江西高考题）观察下列 各式：５５＝３１２５，５６＝１５６２５，５７＝７８１２５，…， 则５２０１１的末四位数字为（　　）． （Ａ）３１２５　　　　　　（Ｂ）５６２５ （Ｃ）０６２５ （Ｄ）８１２５ 解析　观察发现幂指数是奇数的，结果 后三位数字为１２５，故排除Ｂ，Ｃ选项；而５２０１１ ＞３１２５，故Ａ也不正确，所以选Ｄ． 评注　该试题考查考生对“数”和“式”的 归纳，发现隐藏的规律．这种考查方式的重点 是要求考生用“慧眼”洞察出数或式与自然数 ｎ的内在联系，从而归纳得出普遍的结论． ９　图形中的合情推理问题 例１１　（２００９年湖北高考题）古希腊人 常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究 数，比如： 图１ 图２ ６３ 数学教学研究　　　　　　　　第３０卷第１０期　２０１１年１０月 特殊化策略及其应用途径 张徐生 （福建省周宁县第十中学　３５５４００） 引言　何谓特殊化策略？ “特殊化是从考虑一组给定的对象集合 过渡到考虑该集合的一个较小的子集，或仅 仅一个对象．”（Ｇ·波利亚）“特殊化”作为一 种化归策略，其基本思想：相对于“一般”而 言，“特殊”问题往往显得简单、具体、直观，容 易解决，并且在特殊问题的解决过程中，常常 孕育着一般问题的解决．所以我们常通过先 解决问题的特殊情况，再把从中得到的方法 或结果推广至一般问题，从而获得一般性问 题的解决． “特殊化”是中学数学里一种重要的思想 方法，在解题中有广泛的应用．在解选择题、 填空题时，运用特殊化策略常能独辟蹊径，化 繁为简，起到事半功倍的效果，就是用于解决 一些主观题，也有类似的情况，只要弄清其逻 辑关系，合理使用，也能达到理想的效果．特 殊化方法在解决数学问题中有以下途径：提 示解题方向、获取问题答案、直接解答问题和 寻找解题途径等，本文试图对此做一番探究． １　特殊探路，探求问题方向；一般论证，获得 问题解决 解决一些较为抽象复杂的数学问题时， 常因找不到解题方向以致茫然无措．特殊化 方法在解决问题中的功能之一就是提示解题 方向． 例１　判定函数ｆ（ｘ）＝ａｘ　１＋ ２２ｘ（ ）－１ 的奇偶性． 解析　特别地， ｆ（０）＝０，ｆ（１）＝３ａ， ｆ（－１）＝－３ａ，ｆ（１）＝－ｆ（－１）  ． 他们研究地图１中的１，３，６，１０，…，由于这 些数能够表示成三角形，将其称为三角形数； 类似的，称图２中的１，４，９，１６，…这样的数 为正方形数．下列数中既是三角形数又是正 方形数的是（　　）． （Ａ）２８９　　　　　　（Ｂ）１０２４ （Ｃ）１２２５ （Ｄ）１３７８ 解析　通过观察图形得，三角形数的一 般形式是１＋２＋３＋…＋ｎ＝ｎ （ｎ＋１） ２ ，正方 形数的一般形式是ｍ２，从４个选项选一个同 时满足两式的数，因为１２２５＝３５２＝４９×５０２ ， 故答案应选Ｃ． 　　评注　此试题以古希腊毕达哥拉斯学派 研究的多边形为背景，考查考生的直觉观察、 归纳推理等思维能力和运算能力，同时也让 考生在解题时领略到博大精深的数学文化． 从以上的试题解析可以看出，合情推理 的考题不仅存在于不同的题型中，也存在于 初、高中不同模块知识内容之中．由于它包含 了观察、归纳、抽象、概括、类比、猜想等基本 的思维活动，因此容易考查学生对基本的数 学思想方法的理解程度，也有助于促进教师 的教学方式和学生的学习方式的改进及完 善，所以，在中学数学教学中应引起广大教师 的重视． （收稿日期：２０１１－０７－０１） ７３第３０卷第１０期　２０１１年１０月　　　　　　　　数学教学研究