三角形内心的一条性质与应用

三 角形 内心 的 一 条 性 质与 应 用 陈 万 龙 �湖南华容二中 � 众所周知 三角形的内心就是三角形内 切圆的圆心 , 也就是三角形的三条内角平分 线的交点 ! 它具有到三角形三边距离相等的 基木性质 ! 此外还具有如下重要的性质 ! 在△∀ # ∃中 , %是内 心 , 乙∀ 的平分 线和 △∀ # ∃的外接圆相交于& �图 ∋ � 。 则 & ( ) & # 二 & ∃ 。 证明 显 然 & # ) 丫 ∀ ( · %& ) ∗ “ 一 + ∋ , 又由性质知 # & ) & ( ! ! + ∋ “ 二 ∗ “ 一 −∋ % · % & 又△月. (。△/ # & 。 二 ∗ 0 一 月 % 。 # & , 。 ∀ ( . ( ”万万 一 万刀1 ! 二 厂方& 则 月 ∋ ! # & ) 0∗ 2! & ∃ 。 从而只须证 明& ( ) & ∃ 。 事实上 , 由 于 %为△∀ # ∃的内心 , ! ,! 艺 3 ) 匕 4 , 乙 工 ) 艺 , , 又艺 ∋ ) 匕 5 。 从而匕 , ) 匕 5 , 因此 乙 , 十 乙 3 ) 乙 4 十 乙 5 又 乙& % ∃ 二 乙 , 6 乙 3 。 ⋯乙& % ∃ ) 匕% ∃ & ! 因此 & ( 二 & ∃ ! 其实 , 它的逆命 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 也成立 。 即 , 若 % 在 △ ∀ # ∃ 中匕∀的平分线 ∀ & 上 �& 在7 ∀ # ∃ 上 � , 且& ( 二 & ∃ , 则%为△∀ # ∃的内心 ! 性质逆命题的证明留给读者 。 利用这个性质 , 对解决某些涉及三角形 内心及外接 圆的数学问题是显得非 常 方 便 的 。 下面举例说明之 。 故 + ∋ “ 二 刀 “ 一 0∗ 2! 例 , 设 %为△月# ∃ 的 内心 , ∀ , 、 # , 、 ∃ ‘ 分 别为△% # ∃ , △ % ∀ ∃ 、 △ % ∀ # 的外心 �图 3 � 、 求证△∀ # ∃和△ ∀ ‘#’ ∃, 有相同的外接圆心 �∋ 8 9 9 年美国奥林匹克 竞 赛 试 题 � 。 浦吸廖。::汀!!!!、,# 刁, �月口� 例 ∋ 设三角形外 接 圆圆心为7 , 半 径为 ∗ , 其内切圆圆心为% , 半 径 为 , �图 , � ! 求 证 + ∋ , 二 ∗ “ 一 0∗ ; �欧 拉公 式 ! 第四 届%< 7试题� 。 证明 很明显 , 只要证 明 ∀ 、 # 、 ∃ 、 ∀’ 、 #, 、 ∃, 六点共圆即 可 ! 作 △ ∀ # ∃ 的 外接圆 ! 延长∀ (交该外接圆于点 ∀ “ 。 由于%是△∀ # ∃的内心 , 故由性质有 ∀ “% 二 ∀ 沙 # 二 ∀ (− ∃ 。 故∀ “是△% # ∃的外心 ! ⋯ ∀ “ 二 ∀ , 即∀ 尹在 △ ∀ # ∃的外接圆上 。 同理可证 #, 、 ∃ 产也都在△ ∀ # ∃ 外接 圆上 。 故 月 、 # 、 ∃ 、 且 ‘ 、 # ‘ 、 ∃ , 六 点 共 圆 , 即△ ∀ # ∃与△∀ ’# ‘∃ 产有相同的外接圆 证明 连结 ∀ (并延长与 + + 交于& , 过 & 作+ + 的直径 & / , 连结 / # , & # 及=% . , 其中.为切点。 副已、。 例 3 △ ∀ # ∃中 , 边月# ) 月 ∃ , 有一个圆 内切于△ ∀ # ∃ 的 外 接 圆 , 并且与 ∀ # 、 ∀ ∃相 切于尸 、 > 。 �图 4 � ! 求证 尸 、 >连线 的 中 “ ? ∀价 、、、 1‘习卜尸 2 卜家 · 点是△∀ # ∃的内切圆圆心 ! �第二十届%< 7 试题� 证明 设 / 是△∀ # ∃外接圆 + + 产 与 内 切圆+ + 的切点 ! 连结 ∀ 7交尸口 于 < , 交 # ∃于. , 交 + + 于& , 显然<是尸 >的中点 , ∀ < 土尸> , ∀ <平分乙# ∀ ∃ ! 连结+ + ‘并 延长 , 则/ 是+ + 尸与+ + 产的一个交点 , 设另 一个交点为≅ , 再连结7 尸 , 有7 尸 ! 上∀ # ! 又 7 & Α 7 ∀ ) 7 / Α 7 ≅ ) 7尸 · �/ ≅ 一 7 Β � � 而 �尸 ! �∀ # � ∃ % � 十 % 得 �尸 · & ∋ 二 � 月 # ∀ ( ) ∗ +△, ( − . ∗ +△刁/ 0 # ‘( 。尸 � ! � ∃ . , ( 1 比较) 、 1即得, ( ! ∀ ( ∀ 为△ ∃ , 2的内心 。 注 3 此处证明没有用到 ∃ , 二 ∃ 2这一条 件 # 由此去掉此条件 , 可 能更符合 4∀ �试题 下面就来证明 5 # 6 式 # 由于△, 7 ( 。△2 7 , 。 #’# 7 (7 , 又 , 8 为 乙∃ , 2 的平分线 , #’# , ( , 2 # , ( , 2 丫 目 7 ( ( 8。 于是等答 ! 9岑舟 #“ 9 7 , 4 2 # 由于 4 为△∃ , 2 内心 , 由性质有 , 7 ! 7 ( : ( 8 不万; 一 了七 # 等47# 例 < 圆的内 接四边形∃ , 2( 被每一对角线分 成的共对三角形 的内心是一矩形 的四个顶点 。 5第一届 中国数 的水平 # 例 = >为△∃ , 2 的 内心 , 乙2 的 平分 线 交 ∃ , 边及三角形的外接 圆 分别于( 和7 5图 < 6 求证 3 > > > 4 ( 4 7 2 8 5第二届 证明 “友谊杯 ” 国际数学竞赛试题6 。 将待证等 式 变 形 即 为 7 (4 7 资 · 5 ‘ 学奥林匹克集训试题 6 # 尸户、、 口一、 尸户, 、 ?产户、、证明 设 ∃ , 、 , 2 、 2( 、 ( ∃ 中点 分别为∀ 、 ≅ 尹 、 ∀ ‘ 、 ≅ , 则由性质知 ∀ 8 。 ! ∀ ∃ ! ∀ , ! ∀ 4 ( , 其中4 。、 4 ( 分 别 为 △∃ , ( 和 △ ∃ , 2 的 内 心 , 故 △4Α ∀与为等腰 三 角 形 。 又 ∀ ∀ ‘ 平 分 乙( ∀ 2 , 3 # ∀∀ 产土 4 。4( # 同理∀∀ , 土几 4 , , # ,# 4 ? , 了4 。4 抓4 , 、 4 , 分别为△ ( , 2和△ ∃ ( 2的内心 6 # 同样 4 , 4 。了4 , 几二 ,# 四边形4 ? ? 。几 为平行四边形 , 但∀∀ ‘土≅ ≅ 产 , 而 4 万, 、 4 3 4Α 分别与它们垂直 # 3 # > , 几> 几 4 。 、 #’# 4 , 4 3 4 。4 。为矩形 # , 2卜飞、、一,Β一Χ Χ介州了工7 ΔΕ?,#几、,刁 构造 方 程 模 型与 函数 模型 解不 等 式 Φ 甘 大 旺 5 湖北咸宁高中 6 本文突破解不等式的定势思维 , 构造方 范学院物理数学系入学试题 6 解不等式 程模型与函数模型来求不等式的解集 , 以帮 >0Γ 3 5护 一 =Η Ι ϑ6 Κ > # 助学生开拓解题思路 、 提高创造才能 # 解 原不等式等价于 例 > 5 >Γ Λ Γ年前苏联利彼茨克国立师 。Κ 尹 一 =二 Ι ϑΚ Λ # >ϑ