运用合情推理和演绎推理解题

高中数学教与学 2011年 运用合惰推理和演绎推理解题 吴明德 (江苏省泰兴市第一高级中学，225400) 合情推理和演绎推理是数学解题中最重 要的推理形式 ，合理运用这些推理可以帮助 我们探求解题思路，找到解决问题的突破 口， 并在方法的选择上作 出最佳的决断．今举几 例说明之． 一 、归纳—— 显现问题本质 例 1 以正六边形的6个顶点及正六边 形内的2 0l1个定点为顶点作三角形 ，恰好将 这个正六边形完全分割成若干个 角形区域 (无任何重叠)，则这样的三角形区域最多共 有一 分析 要使三角形个数最多，则在这 2 017个点中任三点均不共线．但正六边形内 点太多，如何确定三角形的个数呢?可先从正 六边形内的点较少时分析起．设正六边形内 的点的个数为 n，相应三角形 区域 的个数为 a ，画图可数得 a =6，a：=8，a，=10，⋯．不 难发现在正六边形内每增加一个点所得三角 形的个数相应增加2个，所以{a }是公差为2 的等差数列，易得 a =6+2 010×2=4 026． 例 2 设数列{a }各项均正，首项 a。： 1，若。 +( +1)。 +。： (n∈N )，求数歹u ． t^ +1 {a }的通项公式． 分析 由递推式一时很难找到求通项的 方法，但计算得 ：。 = 1 ， n =了1 ， n =I11 ， ⋯ ． 运用 归纳 推理，我们猜想：a = ，即 {(na )}应该为常数列 ，所以我们把 目标锁定 在推得 na 一1=0或(n+1)a =tl,a 上． · 1 8 · 事实上 ，递推式 口】变形为 (a +l+a )[(n+1)a +1一nn ]=0． 又 {a， }各项均正，所 以(n+1)a = na ，即{(na )}为常数列．又 a =1，所以。 1 一 ● 例 3 若 {1，2}时恒有 -1)+ 等)= ． 求_厂( )的解析式． 分析 先从特殊值人手． 当 ：3时 2)+ )：3； 令 一1=÷，有 ：吾，代人 一 1)+ 等)= ， ( ) 得 ／I )+八一1)= 3； 令 一1=一1，有 =0，代人( )得 _厂(一1)+-厂(2)=0． 由以上三式消去 一1)和 )得，(2) 一 三 一 4。 由于经过三次赋值，可以求得_厂(2)，故运 用归纳推理我们猜测 ：经过三次赋值 )的 解析式也可以求出． 事实上 ，由 一1=t得 ：t+1，代入 ( )得 + )= ① 由 一1=_t-1得 = ，4Lz．( ) 第3朝 得 )+f( ． 1 )= ． ② 由 一1=___1 何tN = t-I_2 ，代人( )得 — )+_，( )= t- 2． ③ ① +③ 一② 并化简得 = ， 于是 ，( )= ( ≠0、1)． 评注 通过特例分析，归纳探究 出问题 的本质或一般规律 ，据此锁定解题 目标，“难 题”因归纳而突破． 二、类比—— 启迪解题方法 例 4 已知二次函数_厂( )满足条件： (1)l厂(一1)=0； (2)对一切 ∈R，都有 ≤，( )≤L： 成立． 求I厂(z)的解析式． 分析 本题常用基本不等式 、判别式等 知识解，但较繁，既然定 比分点公式可以由两 个点的坐标求出另一个点 的坐标 ，那么我们 当然也可以由两个函数的解析式求得另一个 函数的解析式． 由 ∈R， ≤ )≤L ，可设 尸。( ， 0)，P(．八 )，0)，P2(- 5+-- ,o。。。j，且 = A (A >0)，则 + A ． 八 )：— T · 一 1十A ． 由_厂(～ )=0，得——T =0，解 得 A =1． ． · ． )= 1 2+ 1 + 1 ． 例5 设函数 ( )=_ _哪， ( )= 高中数学教与学 ( 一．( ))(n∈N，／7,≥ 2)，是否存在 n ∈ (寺，吉)，使得 。(。)= ?若存在，求出一个 这样的 n；若不存在 ，说明理由． 分析 Fhf,( )= ，类比二倍角正 切公式t 2 ： ，则函数关系可写成 l — tan (tan O／)=tan 2a．于是 (tan )： (tan 2a)=tan 4 ， (tan )= (tan 4a)：tan 8 ，⋯， (tan )=tan 2"or( ∈N，n≥ 2)． 由 。(0)= 得 tan 21~O~= ，则2 ： 盯 1T + + 号， = ( ∈z)．于是n=tan ： k1r+ tan ．当 =85 n=tan =2一 (÷， )，故存在。=2—4-3-． 评注 通过方法类比，启迪解题思维、探 求解题新思路；通过结构类 比，产生知识联 想，让方法适当迁移，解法因类比而精彩． 三、演绎 —— 点拨证明思路 例 6 已知。、b、c为正数，且0+b<2c， 求证： c 一 、 < 。 < + 、 ． 分析 设二次函数-厂( )的图象开 口向 上 ，它的两个零点是 和 ( < )，则有 _厂( )<0甘 < < ．本题要证明的是“n在 某个二次函数的两个零点之间”，故可构造二 次函数l厂( )，证-厂(。)<0即可． 由条件可得 c> ≥ ，c >。b． 设_厂( )=( —c+ c 一ab) ． ( 一 一 l二 ) = 一 2cx +。6． 贝0_厂( )=口 一2ae+ab=以(日+b一2c)<0． 由上面的推理 ，本题得证． 例7 设 。、b、c为正数 ，且 口+b+C=6， · 1 9 · 高中数学教与学 2011生 例谈目标函数中变量的选择 孔祥武 (江苏省常州市第一中学，213003) 我们在解析几何中求最值范 围时，常常 需要构建合适的 目标 函数，把问题转化为函 数的最值问题．解题 的关键是分析引起 函数 值变动的原因，这个原 因可能是某条线段的 长度变化引起的，也可能是某条直线的斜率 变化引起的，亦可能是某个点的坐标变化引 起的，等等．“横看成岭侧成峰，远近高低各不 同”．从不同的角度看问题 ，选择不同的变量， 会产生繁简不一的方法，因此在解题伊始，我 们需要多角度思考，选择合适的变量．下面介 绍几个例子来说明问题． 一 、选择点的坐标作变量 例 l 如图1，在平面直角坐标系xOy中， 2 2 椭圆 c： + y =1(0>b>0)的左焦点为 u 0 F，右顶点为A，动点 M 为右准线上一点(异于 右准线与 轴的交点)，设线段 FM交椭圆C于 1 点P，已知椭圆C的离心率为÷，点M的横坐 j o 标为÷． (1)求椭圆 C的标准方程； (2)设直线PA的斜率为k．，直线MA的斜 率为k ，求 。·k 的取值范围． ·●⋯ ·● ⋯ ·●⋯ ·● ⋯ ·●⋯ ·●⋯ ·● ⋯ ·●⋯ ·● ⋯ ·●⋯ ·● ⋯ ·● ⋯ ·●⋯ ·● ⋯ -●⋯ -● ⋯ ·●⋯ ·●⋯ ·● ⋯ ·●⋯ -● ⋯ ·●⋯ ·● ⋯ -●⋯ ·●⋯ ·● ⋯ ·●⋯ ·● ⋯ t●⋯ ·● ⋯ ·● ⋯ -●⋯ ·● ⋯ ·●⋯ ·● ⋯ ·●⋯ ·●⋯ ·● ⋯ -●·· 求证 ： 、 + +厢 < ． 分析 本题是一组数的和与平方和的不 等关系，这让我们想起方差和平均数的关系． 设 五为一组数据 。， ， ，⋯， 的平均数，则 这组数据的方差 Sz： [( 一 )z+( ：一 ) +．．‘+( 一 ) =音( 2+-．‘机2 一 凡 ． 显然 S ≥0，于是 + +⋯ + ≥n ． 既然它的成立具有任意性，取一组数 n、b、C， 由演绎推理可得 。2+6 +c ≥3·(半 ) =12， ． ． ． ≥6． ① 。’ ^ ⋯ ＼ 由 + +⋯+ ：≥nx～，得 · 20 ． ≤ ／~—．2—2—互2． 对于 函数 。、b、c，再取 一组 数 『『、 厂 、 ■ ，则有 而 丽 厢 3 ≤√——— —一 ， 所以、 + + 了 ≤6． ② 又①取等号的条件是。=b：C，而②取 等号的条件是0+1=b+2=C+3，而它们不 可能同时成立，所以 ／a+1十 ,／b+2+ 厂— r上 +b +c √。+j‘—— 乏 ——‘ 评注 用“三段论”进行演绎推理的关 键是寻求相关问题 的一般原理，有了“大前 提”，证明具体问题就容易了，思路因演绎而 明晰．