No.1 机械振动
一、选择题
1. 一质点作简谐振动, 其运动速度与时间的关系曲线如图所示。若质点的振动规律用余弦函数描述,则其初相应为:
[ C ] (A)
(B)
(C)
(D)
(E)
解:若振动方程为
则速度方程为:
可见速度相位比位移相位超前
。
由图可知速度的初相为-
,则位移的初相
。
2. 如图所示,一质量为m的滑块,两边分别与劲度系数为k1和k2的轻弹簧联接,两弹簧的另外两端分别固定在墙上。滑块m可在光滑的水平面上滑动,O点为系统平衡位置。现将滑块m向左移动x0,自静止释放,并从释放时开始
计时。取坐标如图所示,则其振动方程为:
[ C ]
解:滑块初位移为
,初速度为0,则振幅
, 初相
。设滑块处在平衡位置时,劲度系数分别为k1和 k2 的两个弹簧分别伸长Δx1和Δx2 ,则有
,当滑块位移为x时,滑块受到合力
角频率
所以振动方程为:
3. 一质点在x轴上作简谐振动,振幅A = 4cm,周期T = 2s, 其平衡位置取作坐标原点。若t = 0时刻质点第一次通过x = -2cm处,且向x轴负方向运动,则质点第二次通过x = -2cm处的时刻为:
[ B ] (A) 1s ; (B)
; (C)
; (D) 2s。
解:由旋转矢量图可知,两次通过x = -2cm所用时间为
,
所以第二次通过t = -2cm处时刻为
(s)
4. 已知一质点沿y轴作简谐振动,其振动方程为
。与其对应的振动曲线是:
[ B ]
解:
,
t = 0时,
,
故选B
5. 一弹簧振子作简谐振动,当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅的1/4时,其动能为振动总能量的:
[ E ] (A)
; (B)
; (C)
; (D)
; (E)
。
解:弹簧振子的总能量为
当
时,
所以动能为
6. 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线,若
这两个简谐振动可叠加,则合成的余弦振动
的初相为:
[ B ]
解:两个谐振动x1和x2 反相,且
,
由矢量图可知合振动初相与x1初相一致,
即
。
二、填空题
1. 一简谐振动的表达式为
,已知
时的初位移为0.04m, 初速度为0.09m(s-1,则振幅A = 0.05m,初相位( = -36.9(
解:已知初始条件,则振幅为:
初相:
因为x0 > 0, 所以
2. 两个弹簧振子的的周期都是0.4s, 设开始时第一个振子从平衡位置向负方向运动,经过0.5s后,第二个振子才从正方向的端点开始运动,则这两振动的相位差为 ( 。
解:从旋转矢量图可见,
t = 0.05 s 时,
与
反相,
即相位差为(。
3. 一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动,当这物块的位移等于振幅的一半时,其动能是总能量的 3/4 (设平衡位置处势能为零)。当这物块在平衡位置时,弹簧的长度比原长长
,这一振动系统的周期为
解:谐振动总能量
,当
时
,所以动能
。
物块在平衡位置时, 弹簧伸长
,则
,
,
振动周期
4. 上面放有物体的平台,以每秒5周的频率沿竖直方向作简谐振动,若平台振幅超过
,物体将会脱离平台(设
)。
解:在平台最高点时,若加速度大于g,则物体会脱离平台,由最大加速度
得最大振幅为
5. 一水平弹簧简谐振子的振动曲线如图所示,振子处在位移零、速度为
、加速度为零和弹性力为零的状态,对应于曲线上的 b , f 点。振子处在位移的绝对值为A、速度为零、加速度为-(2A和弹性力-kA的状态,对应于曲线的 a ,e 点。
解:位移
,速度
,对应于曲线上的
b、f点;若|x|=A,
,又
, 所以x = A,对应于曲线上的a、e点。
6. 两个同方向同频率的简谐振动,其振动表达式分别为:
(SI) 和
(SI)
它们的合振动的振幅为
,初相位为
。
解:将x2改写成余弦函数形式:
由矢量图可知,x1和x2反相,合成振动的振幅
,初相
三、计算题
1. 一质量m = 0.25 kg的物体,在弹簧的力作用下沿x轴运动,平衡位置在原点. 弹簧的劲度系数k = 25 N·m-1.
(1) 求振动的周期T和角频率.
(2) 如果振幅A =15 cm,t = 0时物体位于x = 7.5 cm处,且物体沿x轴反向运动,求初速v0及初相.
(3) 写出振动的数值表达式.
解:(1)
1分
s 1分
(2) A = 15 cm,在 t = 0时,x0 = 7.5 cm,v 0 < 0
由
得
m/s 2分
或 4/3 2分
∵ x0 > 0 ,∴
(3)
(SI) 2分
(3) 振动方程为
(SI)
2. 在一平板上放一质量为m =2 kg的物体,平板在竖直方向作简谐振动,其振动周期为T =
s,振幅A = 4 cm,求
(1) 物体对平板的压力的表达式.
(2) 平板以多大的振幅振动时,物体才能离开平板?
解:选平板位于正最大位移处时开始计时,平板的振动方程为
(SI)
(SI) 1分
(1) 对物体有
① 1分
(SI) ②
物对板的压力为
(SI)
③ 2分
(2) 物体脱离平板时必须N = 0,由②式得 1分
(SI)
1分
若能脱离必须
(SI)
即
m 2分
3. 一定滑轮的半径为R,转动惯量为J,其上挂一轻绳,绳的一端系一质量为m的物体,另一端与一固定的轻弹簧相连,如图所示。设弹簧的倔强系数为k, 绳与滑轮间无滑动,且忽略摩擦力及空气的阻力。现将物体m从平衡位置拉下一微小距离后放手,
证明
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物体作简谐振动,并求出其角频率。
解:取如图x坐标,原点为平衡位置,向下为正方向。
m在平衡位置,弹簧伸长x0, 则有
……………………(1)
现将m从平衡位置向下拉一微小距离x,
m和滑轮M受力如图所示。
由牛顿定律和转动定律列方程,
…………………
(2)
………………
(3)
………………………
(4)
……………
……(5)
联立以上各式,可以解出
,(※)
(※)是谐振动方程,
所以物体作简谐振动,角频率为
� EMBED Equation.3 ���
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� EMBED Equation.3 ���
T2
T1
� EMBED Equation.3 ���
mg
x
o
x0
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
x
t
� EMBED Equation.3 ���
-2
� EMBED Equation.3 ���
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� EMBED Equation.3 ���
m
� EMBED Equation.3 ���
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� EMBED Equation.3 ���
Mg
N
T1
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